# Kružnice

**Uzavřený sled** v grafu $G$ je sled $(v_{0}, \dots, v_{k})$, ve kterém platí $v_{0} = v_{k}$.

**Uzavřený tah** v grafu $G$ je tah $(v_{0}, \dots, v_{k})$, ve kterém platí $v_{0}= v_{k}$.

**Kružnice** v grafu $G$ je uzavřený sled délky alespoň 3, ve kterém se vrchol $v_{0}$ objevuje právě dvakrát a každý ostatní vrchol grafu nejvýše jednou. Číslo $k$ je délka dané kružnice.

# Prostor kružnic grafu

- $G = (V, E), \vert E\vert = m$
- každému faktoru grafu $G$ lze přiložit charakteristický vektor $x \in \mathbb{Z}^m_{2}$

**Věta**: Množina sudých faktorů (jejich char. vektorů) tvoří lineární podprostor vektorového prostoru $\mathbb{Z}^m_{2}$.

**Prostor kružnic** $\mathcal C(G)$ neorientovaného grafu $G$ je lineární prostor sudých faktorů (charakteristických vektorů).

- ? báze, dimenze $\mathcal C(G)$, počet prvků $\mathcal C(G)$ (počet sudých faktorů)

Konstrukce báze $\mathcal C(G)$
1) kostra grafu G ... T (lib. ale pevná)
2) systém fundamentálních kružnic
	- pro každou hranu  e grafu G, která není na T vezmeme kružnici v T + e - fundamentální kružnice příslušného e vzhledem ke kostře T
	- počet fund. kružnic $= m-n+1$
3) $\dim(\mathcal C(G)) = m-n+1$ (G souvislý)

Věta: fundamentální kružnice tvoří bázi $\mathcal C(G)$
- $\dim(\mathcal C(G)) = m-n+1$ (G souvislý)
- počet prvků $\mathcal C(G)$ = počet sudých faktorů G = počet podmnožin fundamentálních kružnic = $2^{m-n+1}$

