Přidání algebry limit a zpřehlednění poznámek z M1

KMA M1/5. Limita funkce a spojitost.md

@@ -9,15 +9,24 @@ $$
 
 a píšeme $\displaystyle\lim_{ x \to \infty }{f(x)} = b$.
 
-### Spojitost funkce
+### Algebra limit
+
+Mějme dány funkce $f$ a $g$, které mají stejný definiční obor $D$ a mají v bodě $x_{0} \in \mathbb{R}^*$ limitu
+
+$$\lim_{ n \to x_{0} } f(x) = a \in \mathbb{R}^*, \lim_{ n \to x_{0} } g(x) = b \in \mathbb{R}^*.$$
+
+Potom platí
+- $\displaystyle\lim_{ x \to x_{0} } (f(x) + g(x)) = a + b, \quad$ pokud je pravá strana definována,
+- $\displaystyle\lim_{ x \to x_{0} } (f(x) \cdot g(x)) = a \cdot b, \quad$ pokud je pravá strana definována,
+- $\displaystyle\lim_{ x \to x_{0} } \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{a}{b}, \quad$ pokud $\quad\forall \, x \in D : g(x) \neq 0\quad$ a pokud je pravá strana definována.
+
+## Spojitost funkce
 
 - spojité funkce umíme načrtnout jedním tahem
 - příklad
 	- spojité procesy (růst člověka)
 	- nespojité procesy (bankovní účet)
 
-### Definice
-
 Funkce $f$ je
 
 | typ spojitosti                 | podmínka                                                   | 
@@ -26,17 +35,23 @@ Funkce $f$ je
 | spojitá zprava v $x_0 \in D_f$ | pokud $\displaystyle f(x_{0}) = f(x_{0}+)$                 |
 | spojitá zleva v $x_0 \in D_f$  | pokud $\displaystyle f(x_{0}) = f(x_{0}-)$                 |
 
+Pokud $x_{0} \in D$ je izolovaným bodem $D$, potom funkce $f$ je spojitá v bodě $x_{0}$.
+
 ### Body nespojitosti
 
-Tři druhy bodů nespojitosti:
+Mějme dánu funkci $f : D \to \mathbb{R}$ a bod $x_{0} \in \mathbb{R}$, pro který $\exists \, \delta > 0 : P(x_{0}, \delta) \subset D$.
+
+Bod $x_{0}$ je **bod nespojitosti** funkce $f$, pokud funkce $f$ v bodě $x_{0}$ není spojitá.
+
+**Druhy bodů nespojitosti**:
 - **ON** - odstranitelná nespojitost
-	- pokud $\displaystyle f(x_{0}) \neq \lim_{ x \to x_{0} } f(x) \in \mathbb{R}$
-		- limita zprava i zleva je stejná - $f(x_{0}+) = f(x_{0}-)$
+	- **podmínka**: $\displaystyle f(x_{0}) \neq \lim_{ x \to x_{0} } f(x) \in \mathbb{R}$
+	- limita zprava i zleva je stejná: $f(x_{0}+) = f(x_{0}-)$
 	- funkční hodnota v $x_0$ se nerovná limitě v $x_0$, která je vlastní
 - **NN1D** - neodstranitelné nespojitost 1. druhu
-	- pokud $f(x_{0}+), f(x_{0}-) \in \mathbb{R}$, ale $f(x_{0}+) \neq f(x_{0}-)$
+	- **podmínka**: $f(x_{0}+), f(x_{0}-) \in \mathbb{R}$, ale $f(x_{0}+) \neq f(x_{0}-)$
 	- limita zprava i zleva je vlastní, ale nerovnají se
-	- nazývá se také **skoková nespojitost** se skokem $s$
+	- nazývá se také **skoková nespojitost** se skokem $s = \dots$
 - **NN2D** - neodstranitelná nespojitost 2. druhu
-	- neexistuje alespoň jedna vlastní limita $f(x_{0}+)$ nebo $f(x_{0}-)$
-		- alespoň jedna neexistuje nebo není alespoň jedna vlastní
+	- **podmínka**: neexistuje vlastní limita $f(x_{0}+)$ nebo $f(x_{0}-)$
+	- alespoň jedna neexistuje nebo není alespoň jedna vlastní