From 1cf6f24f2751c72c4bc983c79834e90910908a10 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Filip Znachor Date: Wed, 20 Sep 2023 10:44:09 +0200 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?=C3=9Apravy=20a=20dopln=C4=9Bn=C3=AD=20ot=C3=A1?= =?UTF-8?q?zek=20z=20DMA?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- .../01. Relace, zobrazení a funkce.md | 6 +++--- ...ní rovnice a soustavy, asymptotický růst funkcí.md | 14 ++++++++++++++ .../21. Laplaceova matice a počítání koster.md | 3 ++- ...álenost a vážená vzdálenost v grafech, metrika.md | 2 +- KMA DMA/Otázky ke zkoušce/24. Acyklické grafy.md | 2 +- .../25. Úloha minimální kostry.md | 10 ++++++---- .../Otázky ke zkoušce/26. Úloha minimální cesty.md | 14 +++++++++++++- 7 files changed, 40 insertions(+), 11 deletions(-) create mode 100644 KMA DMA/Otázky ke zkoušce/04. Homogenní rekurentní rovnice a soustavy, asymptotický růst funkcí.md diff --git a/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/01. Relace, zobrazení a funkce.md b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/01. Relace, zobrazení a funkce.md index 005f85a..fbba6c2 100644 --- a/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/01. Relace, zobrazení a funkce.md +++ b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/01. Relace, zobrazení a funkce.md @@ -53,9 +53,9 @@ Věta o asociativitě skládání relací ## Druhy zobrazení Zobrazení $f: X \to Y$ je -- **prosté**, pokud každé $y \in Y$ má nejvýše jeden vzor při zobrazení $f$, -- **na**, pokud každé $y \in Y$ má alespoň jeden vzor při zobrazení $f$, -- **vzájemně jednoznačné** (nebo **bijekce**), pokud je **prosté** a **na**, tedy +- **prosté** (injekce), pokud každé $y \in Y$ má nejvýše jeden vzor při zobrazení $f$, +- **na** (surjekce), pokud každé $y \in Y$ má alespoň jeden vzor při zobrazení $f$, +- **vzájemně jednoznačné** (bijekce), pokud je **prosté** a **na**, tedy - každé $y \in Y$ má právě jeden vzor při zobrazení $f$. ## Skládání zobrazení diff --git a/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/04. Homogenní rekurentní rovnice a soustavy, asymptotický růst funkcí.md b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/04. Homogenní rekurentní rovnice a soustavy, asymptotický růst funkcí.md new file mode 100644 index 0000000..2441087 --- /dev/null +++ b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/04. Homogenní rekurentní rovnice a soustavy, asymptotický růst funkcí.md @@ -0,0 +1,14 @@ +# Asymptotický růst funkcí + +$\displaystyle x \to +\infty \quad \lim_{ x \to +\infty } \frac{e^x}{x} = +\infty$ + +$\displaystyle x^2, x^3, \dots, x^n, \dots \quad \lim_{ x \to +\infty } \frac{e^x}{x^n} = +\infty$ + +## Bachmannovi-Landauovy-(Knothovy) symboly + +$g(x) > \mathcal{O}$ + +**Big-Oh**: $\mathcal{O}(g(x)) = \{ h(x) | \exists \, c > 0 \, \exists \, x_{0} : \forall \, x > x_{0} : 0 \leq h(x) \leq c \cdot g(x) \}$ + +O-notace zajištuje garanci, že funkce neporoste rychleji, než $g(x)$. + diff --git a/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/21. Laplaceova matice a počítání koster.md b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/21. Laplaceova matice a počítání koster.md index cc145d3..5fe3058 100644 --- a/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/21. Laplaceova matice a počítání koster.md +++ b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/21. Laplaceova matice a počítání koster.md @@ -1,7 +1,8 @@ # Laplaceova matice Nechť $G$ je neorientovaný graf s vrcholy $V = \{v_{1}, \dots, v_{n}\}$ a $\vec{G}$ nějaké jeho orientace bez smyček a násobných hran. Dále položme -- $L = M(\vec{G}) \cdot (M(\vec{G}))^T \quad$ (tzv. **Laplaceova matice** grafu $G$). +- $L = A(\vec{G}) \cdot (A(\vec{G}))^T \quad$ (tzv. **Laplaceova matice** grafu $G$). +- $A(\vec{G})$ je indukovaná matice libovolné orientace neorientovaného grafu. Potom pro prvky čtvercové matice $L = (l_{ij})$ řádu $n$ platí: diff --git a/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/23. Vzdálenost a vážená vzdálenost v grafech, metrika.md b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/23. Vzdálenost a vážená vzdálenost v grafech, metrika.md index b87de3f..2670da4 100644 --- a/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/23. Vzdálenost a vážená vzdálenost v grafech, metrika.md +++ b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/23. Vzdálenost a vážená vzdálenost v grafech, metrika.md @@ -76,7 +76,7 @@ Mějme orientovaný graf $\vec{G}$ s vrcholy $v_{1}, \dots, v_{n}$. Potom matici **Poznámka**: Pro neorientovaný graf $G$ definujeme $d^w(u, v)$ analogicky pro symetrickou orientaci grafu $G$. -**Tvrzení**: Nechť $G$ je neorietovaný graf. Potom pro každé $x, y, z \in V(G)$ platé +**Tvrzení**: Nechť $G$ je neorietovaný graf. Potom pro každé $x, y, z \in V(G)$ platí 1) $d^w(x, y) \geq 0, \quad d^w(x, y) = 0 \iff x = y,$ 2) $d^w(x, y) = d^w(y, x),$ 3) $d^w(x, z) \leq d^w(x, y) + d^w(y, z).$ diff --git a/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/24. Acyklické grafy.md b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/24. Acyklické grafy.md index eeda3ad..28db224 100644 --- a/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/24. Acyklické grafy.md +++ b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/24. Acyklické grafy.md @@ -2,7 +2,7 @@ Graf $\vec{G}$ je **acyklický**, jestliže $\vec{G}$ neobsahuje jako podgraf žádný cyklus. -**Sledová relace** $x \sim y$ na vrcholech $x, y \in V(\vec{G})$ orientovaného grafu: +**Sledová relace** $x \sim y$ na vrcholech $x, y \in V(\vec{G})$ acyklického orientovaného grafu: - reflexivní - $x \sim x$ - sled nulové délky - antisymetrická diff --git a/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/25. Úloha minimální kostry.md b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/25. Úloha minimální kostry.md index 143f0d1..c1e52fe 100644 --- a/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/25. Úloha minimální kostry.md +++ b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/25. Úloha minimální kostry.md @@ -6,7 +6,7 @@ $\displaystyle w(T) = \sum_{e \in E(T)} w(e)$ nazveme **vahou kostry $T$ v grafu $G$**. Kostru $T'$ takovou, že $w(T') = \min\{ w(T); T \text{ je kostra } G \}$, nazveme **minimální kostrou grafu $G$**. -**Algoritmus** na hledání minimální kostry - **O. Borůvka**. +## Algoritmus - O. Borůvka - Vstup: souvislý ohodnocený neorientovaný graf. 1. $F$ je faktor grafu $G$ s $E(F) = \emptyset$ (nemá žádné hrany). @@ -16,7 +16,7 @@ nazveme **vahou kostry $T$ v grafu $G$**. Kostru $T'$ takovou, že $w(T') = \min **Věta**: Nechť $G$ je souvislý ohodnocený neorientovaný graf. Potom faktor $F$ nalezený předchozím algoritmem je minimální kostra grafu $G$. -**Algoritmus** na hledání minimální kostry - **V. Jarník**. +## Algoritmus - V. Jarník - Vstup: souvislý ohodnocený neorientovaný graf. 1. Zvolme libovolný vrchol $x \in V(G)$, položme $i := 1$ a $G_{1} = (\{x\}, \emptyset)$. @@ -24,7 +24,9 @@ nazveme **vahou kostry $T$ v grafu $G$**. Kostru $T'$ takovou, že $w(T') = \min - ANO - $G_{i}$ je minimální kostrou grafu $G$, konec - NE - zvolme hranu $e_{i}$ s nejmenší vahou takovou, že má jeden konec v $G_{i}$ a druhý $x_{i}$ mimo $G_{i}$ (ze souvislosti grafu $G$ taková hrana existuje), krok 3 3. Označme $G_{i+1}$ graf vzniklý z grafu $G_{i}$ přidáním hrany $e_{i}$ včetně jejího koncového vrcholu $x_{i}$ - - $V(G_{i+1}) = V(G_{i} \cup \{x_{i}\}), \quad E(G_{i+1}) = E(G_{i}) \cup \{h_{i}\}$ + - $V(G_{i+1}) = V(G_{i} \cup \{x_{i}\}), \quad E(G_{i+1}) = E(G_{i}) \cup \{e_{i}\}$ - krok 2 -TODO: kritická cesta \ No newline at end of file +## Algoritmus - J. B. Kruskal + +- TODO \ No newline at end of file diff --git a/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/26. Úloha minimální cesty.md b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/26. Úloha minimální cesty.md index 19c2b64..1017af0 100644 --- a/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/26. Úloha minimální cesty.md +++ b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/26. Úloha minimální cesty.md @@ -8,4 +8,16 @@ 3. Pro vrchol $w$ s nejmenší dočasnou hodnotou polož $t(w) = d(w)$. 4. Má vrchol $y$ trvalou hodnotu? Pokud ne, jdi na krok 2. Pokud ano, $t(y)$ je délka minimální cesty z $x$ do $y$, konec. -**Poznámka**: Hrany, na nichž $w(x, y) = t(y) - t(x)$ určují minimální cestu. \ No newline at end of file +**Poznámka**: Hrany, na nichž $w(x, y) = t(y) - t(x)$ určují minimální cestu. + +## Úloha APSP - all pairs shortest paths + +**Algoritmus**: Floydův-Warshallův + +- Slouží k získání $w$-distanční matice grafu $\vec{G}$, začíná se ze stejné matice $D_{0}(\vec{G})$. +- Vstup: matice $D_{0}(\vec{G})$ ohodnoceného orientovaného grafu $\vec{G}$. +1. Potřebujeme se zbavit míst s nekonečnem a to provedeme tak, že hledáme minimální cestu z vrcholu $i$ do $j$ přes libovolný třetí vrchol $k$. +2. Vybereme si jedno z těchto míst a matici čteme takto: potřebujeme se dostat z vrcholu $i$ (určen řádky) do vrcholu $j$ (určen sloupci). +3. Najdeme tedy vrchol $k$, do kterého se dostaneme z $i$ a ze kterého se dostaneme do $j$. Na místo v matici poté zapíšeme součet těchto ohodnocení, pokud je menší než současná hodnota. +4. Pokračujeme u všech prázných míst a poté postupně u všech míst, dokud po zpracování celé matice nedojde k žádné změně. +