diff --git a/KMA DMA/Prednaska02.md b/KMA DMA/Prednaska02.md new file mode 100644 index 0000000..61eea26 --- /dev/null +++ b/KMA DMA/Prednaska02.md @@ -0,0 +1,166 @@ +## Diferenční rovnice a jejich soustavy + +homogenní diferenční rovnice - lineární + +- $h_n = h(n)$ +- $h_{n} - a_{n-1}h_{n-1}-a_{n-2}h_{n-2}-\dots-a_{n-k}h_{n-k} = 0$ ... řádu $k$ +- trik: +$$ +\begin{matrix} +h_{n-1} = h_{n-1} \\ +\vdots \\ +h_{n-k+1} = h_{n-k+1} +\end{matrix} +$$ + +$$ +F_{n} = \begin{bmatrix} +h_{n} \\ +h_{n-1} \\ +\vdots \\ +h_{n-k+1} +\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} +a_{n-1} & a_{n-2} & a_{n-3} & \dots & a_{n-k} \\ +1 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ +0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ +0 & \dots & 0 & 1 & 0 +\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} +h_{n-1} \\ +\vdots \\ +h_{n-k} +\end{bmatrix} +$$ + +- $\det(A - \lambda I) = 0 \dots \text{ char. polynom}$ (A je velká matice nahoře) +- $\lambda^n - a_{n-1}\lambda^{n-1} - a_{n-2}\lambda^{n-2} - \dots - a_{n-k}\lambda^{n-k} = 0$ +- kořeny vl. č. matice ... $\lambda^k - a_{n-1}\lambda^{k-1} - a_{n-2}\lambda^{k-2} - \dots - a_{n-k} = 0$ + +1) vl. č. jsou vzájemně různá + - $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \dots, \lambda_{k}$ + - pak obecné řešení reálných rovnic $h_{n} = c_{1}\lambda^n_{1} + c_{2}\lambda^n_{2} + \dots + c_{k}\lambda^n_{k}, c_{i} \in \mathbb{R}$ + - příklad + - $h_{n} = 2h_{n-1} + 2h_{n-2} - 2h_{n-3} \quad (n \geq 3)$ počáteční podmínky $h_{0} = 1, h_{1} = 2, h_{2} = 0$ + - charakteristická rovnice $\lambda^3 - 2\lambda^2 - \lambda + 2$ + - $\lambda_{1} = 1, \lambda_{2} = -1, \lambda_{3} = 2$ + - obecné řešení: $h_{n} = c_{1} 1^n + c_{2}(-1)^n + c_{3}2^n$ + - dosadím + - $n = 0 : h_{0} = 1 = c_{1} + c_{2} + c_{3}$ + - $n = 1 : h_{1} = 2 = \dots$ + - $n = 2 : h_{2} = 0 = \dots$ + - $h_{n} = 2 - \frac{2}{3}(-1)^n - \frac{1}{3}2^n$ +2) předp. kořen $\lambda_{i}$ má násobnost $s_{i}$ + - $\lambda_{i}^n, n \cdot \lambda_{i}^n, \dots, n^{s_{i}-1} \cdot \lambda_{i}^n$ + - $c_{i_{1}}\lambda^n_{i} + c_{i_{2}}n\lambda^n_{i} + \dots + c_{i_{s_{i}}}n\lambda^n_{i} = (c_{i_{1}} + c_{i_{2}}n + \dots + c_{i_{s_{i}}}n^{s_{i}-1}) \lambda_{i}^n$ + - příklad + - $h_{n} = -h_{n-1} + 3h_{n-3} + 2h_{n-4}, n \geq 4$ + - poč. podmínky: $h_{0} = 1, h_{1}=0, h_{2} = 1, h_{3} = 2$ + - $\lambda^4 + \lambda^3 - 3\lambda^2 - 5\lambda - 2 = 0$ ... kořeny -1, -1, -1, 2 + - obecné řešení: $h_{n} = (c_{1} + c_{2}n + c_{3}n^2) \cdot (-1)^n + c_{4}2^n$ + - pro poč. podmínky: + - $h_{n} = \frac{7}{9}(-1)^n - \frac{3}{9}n(-1)^n + \frac{2}{9}2^n$ + +### Počet rozkladů n-prvkové množiny + +počet prvků rozkladu $k$ + +\# všech takových rozkladů *(# je počet)* + +- $S(n,k) \quad |x| = n$ +- $k = n \quad S(n,n) = 1, S(n,1) = 1$ +- $S(n,k) = S(n-1, k-1) + k \cdot S(n-1, k)$ + +Stirlingova čísla (2. druhu) + +### Asymptotický růst fcí + +- $\displaystyle x \to \infty \quad \lim_{ x \to \infty } \frac{e^x}{x} = \infty$ +- $\displaystyle x^2, x^3, \dots, x^n, \dots, \lim_{ x \to \infty } \frac{e^x}{x^n} = \infty$ + +Bachmannovy-Landavovy-(Knothovy) symboly +- $g(x) > 0$ +- $O(g(x)) = \{ h(x) \mid \exists \, c > 0 \space \exists \, x_{0} : \forall \, x > x_{0} : 0 \leq h(x) \leq c \cdot g(x) \}$ +- Big-Oh +- $f(x) = O(g(x))$ +- $x^n = 0(e^x)$ +- $e^x = O(2^x) \quad a^x = e^{x \ln a} = e^x \cdot e^{\ln a}$ +- $n! \leq n^n \quad n! = 0(n^n)$ + +### Modulární počítání + +$a, b \in \mathbb{Z} \quad gcd(a,b) \quad nsd(a,b)$ + +Eukleidův algoritmus +- $a-b$ +- $d | a \wedge d | b \implies d | (a-b)$ +- $a = q \cdot b + r, 0 \leq r < b$ +- $r = a-q \cdot b \qquad d | a \wedge d | b \implies d | r \qquad gcd(a,b) = gcd(b,r)$ +- $57 = 2 \cdot 25 + 7 \qquad gcd(57, 25) = gcd(25, 7)$ +- $25 = 3 \cdot 7 + 4 \qquad = gcd(7, 4) = 1$ +- $7 = 1 \cdot 4 + 3$ +- $4 = 1 \cdot 3 + 1 \qquad = gcd(57, 25)$ +- $1 = 4 - 1 \cdot 3$ +- $= 4 - 1 \cdot (7 - 1 \cdot 4) = 2 \cdot 4 - 7$ +- $= 2 \cdot (25 - 3 \cdot 7) - 7 = 2 \cdot 25 - 7 \cdot 7$ +- $= 16 \cdot 25 - 7 \cdot 57$ +- $\implies \exists \, \alpha, \beta \in \mathbb{R} : gcd(a,b) = \alpha \cdot a + \beta \cdot b$ + +Věta +- Mějme $a, b \in \mathbb{Z}$ (ne obě nulová), pak $\gcd(a,b)$ je roven nejmenšímu kladnému číslu tvaru $\alpha \cdot a + \beta \cdot b$ pro $\alpha, \beta \in \mathbb{Z}$. +- Dk: $D = \alpha \cdot a + \beta \cdot b, \alpha, \beta \in \mathbb{Z}$ nejmenší kladné číslo na množině čísel + 1) nechť $d|a$ a $d|b$, pak $d|D$ + - $a = k \cdot d \qquad b = l \cdot d \qquad D = \alpha \cdot k \cdot d + \beta \cdot l \cdot d$ + 2) zbytek po dělení čísla a číslem D je nulový + - platí $a = q D + r, O \leq r < D$ + - $O \leq r = a - qD = a - q(\alpha \cdot a + \beta \cdot b) = (1-q\cdot\alpha)\cdot a - q \cdot \beta \cdot b$ + - $\implies r= 0$ + +$\mathbb{Z}$ množina všech celých čísel +- $n \geq 2, \quad n \in \mathbb{N}$ +- $n = 3 \quad$ možné zbytky $0, 1, 2$ + - $\mathbb{Z}_{3}(0) = \{ \dots, -3, 0, 3, \dots \}$ + - $\mathbb{Z}_{3}(1) = \{ \dots, -2, 1, 4, \dots \}$ + - $\mathbb{Z}_{3}(2) = \{ \dots, -1, 2, 5, \dots \}$ +- $x, y \in \mathbb{Z} \quad x \equiv y \quad$ (mod $n$) +- $x$ je kongurentní s $y$ modulo $n$ (např. 3) +- relace kongurence je ekvivalence + - reflexivní: $x \equiv x$ (mod n), symetrická $x \equiv y$ (mod n) $\implies y \equiv x$ (mod n) + - tranzitivita: $x \equiv y$ (mod n) $\wedge y\equiv 2$ (mod n) $\implies x \equiv 2$ (mod n) + +Lemma +- $x, y \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}, x \in \mathbb{Z}_{n}(i), y \in \mathbb{Z}(j)$, pak + - $x \cdot z \in \mathbb{Z}_{n}(i\cdot j) \qquad x \cdot y = (i + kn) \cdot (j + ln) = ij + n(kj + il) + kln^2$ + - $x + y \in \mathbb{Z}_{n}(i+j) \qquad x + y = i + j + n(k + l)$ +- Dk: $x = i + kn, y = j + ln$ + +$n \in \mathbb{N} \quad \mathbb{Z}_{n} = \{ \mathbb{Z}_{n}(0), \mathbb{Z}_{n}(1), \dots, \mathbb{Z}_{n}(n-1) \}$ +- $(\mathbb{Z}_{n}, +, \times)$ + - $\mathbb{Z}_{n}(i) + \mathbb{Z}_{n}(j) = \mathbb{Z}_{n}(i + j)$ + - $\mathbb{Z}_{n}(i) \times \mathbb{Z}_{n}(j) = \mathbb{Z}_{n}(ij)$ +- $\mathbb{Z}_{4}(3) \to 3$ +- $\mathbb{Z}_{4}(3) + \mathbb{Z}_{4}(2) = \mathbb{Z}_{4}(1) \to 3 + 2 \to 3 + 2 \mod 4 = 1$ + +$n = 3$ + +| $+$ | 0 | 1 | 2 | +| --- | --- | --- | --- | +| 0 | 0 | 1 | 2 | +| 1 | 1 | 2 | 0 | +| 2 | 2 | 0 | 1 | + +| $\cdot$ | 0 | 1 | 2 | +| --- | --- | --- | --- | +| 0 | 0 | 0 | 0 | +| 1 | 0 | 1 | 2 | +| 2 | 0 | 2 | 1 | + +- aritmetika modulo $n$ +- inverzní prvek $a \neq 0 \quad a \cdot a^{-1} = 1$ + - $1^{-1} = 1$ + - $2^{-1} = 2$ + +opačný prvek $\qquad a + (-a) = 0 \qquad (-1) + 1 = 0$ +nulový prvek 0 $\qquad -1 = 2 \quad -2 = 1$ + +$\mathbb{Z}_{3}$ vždy existuje inverzní prvek $\forall \, x \in \mathbb{Z}_{3}, x \neq 0$ + +Věta: Mějme $\mathbb{Z}_{n}, a \in \mathbb{Z}_{n}$, pak existuje $a^{-1} \in \mathbb{Z}_{n} \iff \gcd(a, n) = 1$, tj. $a, n$ jsou nesoudělná.