diff --git a/KMA LAA/2. Matice.md b/KMA LAA/2. Matice.md index cace217..219e628 100644 --- a/KMA LAA/2. Matice.md +++ b/KMA LAA/2. Matice.md @@ -10,66 +10,39 @@ Maticí **typu m/n** nazveme soubor (tabulku) m x n prvků (čísel) $a_{ij}$ za | $a_{kk}$ | diagonální prvek matice | | $m/n$ | typ matice: $m$ řádků, $n$ sloupců | -### Názvy matic +## Názvy matic -##### Tvarové +### Tvarové - **Čtvercová matice** - mají stejný počet řádků a sloupců - **Obdélníková matice** - rozdílný počet řádků a sloupců - **$m$-složkový sloupcový vektor** - - matice typu $m/1$ + - matice typu $m/1$ (jeden sloupec) - **$n$-složkový řádkový vektor** - - matice typu $1/n$ + - matice typu $1/n$ (jeden řádek) -##### Další +### Další - **Nulová matice** - matice $m/n$ plná nul, značíme 0 - $$\begin{bmatrix} - 0 & 0 & 0 \\ - 0 & 0 & 0 - \end{bmatrix}$$ + $$\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$ - **Diagonální matice** - - čtvercová matice s nenulovými čísly pouze na diagonále - $$diag\{1, -3, 0\} = A = \begin{bmatrix} - -1 & 0 & 0 \\ - 0 & -3 & 0 \\ - 0 & 0 & 0 - \end{bmatrix}$$ + - čtvercová matice s nenulovými čísly pouze na diagonále + $$diag\{1, -3, 0\} = A = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$ - **Jednotková matice** - - diagonální matice s 1 na diagonále - $$I = \begin{bmatrix} - 1 & 0 & 0 \\ - 0 & 1 & 0 \\ - 0 & 0 & 1 - \end{bmatrix}$$ + - diagonální matice s 1 na diagonále + $$I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$ - **Symetrická matice** - čtvercová matice, kde se $a_{ij}$ rovná $a_{ji}$ - $$A_{1} = \begin{bmatrix} - 1 & \underline{2} & \underline{1} \\ - \underline{2} & 1 & \underline{0} \\ - \underline{1} & \underline{0} & 3 - \end{bmatrix}$$ + $$A_{1} = \begin{bmatrix} 1 & \underline{2} & \underline{1} \\ \underline{2} & 1 & \underline{0} \\ \underline{1} & \underline{0} & 3 \end{bmatrix}$$ - **Antisymetrická matice** - čtvercová matice, kde se $a_{ij}$ rovná -$a_{ji}$ - $$A_{2} = \begin{bmatrix} - 0 & \underline{2} & \underline{-1} \\ - \underline{-2} & 0 & \underline{3} \\ - \underline{1} & \underline{-3} & 0 - \end{bmatrix}$$ + $$A_{2} = \begin{bmatrix} 0 & \underline{2} & \underline{-1} \\ \underline{-2} & 0 & \underline{3} \\ \underline{1} & \underline{-3} & 0 \end{bmatrix}$$ - **Poznámka**: V antisymetrické matici jsou všechny prvky $a_{ii} = 0$ - **Horní a dolní trojúhelníková matice** - Pro H platí $a_{ij} = 0$ pro všechna $i > j$ - Pro D platí $a_{ij} = 0$ pro všechna $i < j$ - $$H = \begin{bmatrix} - 1 & 2 & 1 \\ - 0 & 3 & 0 \\ - 0 & 0 & 4 - \end{bmatrix} \ \ \ D = \begin{bmatrix} - 1 & 0 & 0 \\ - 2 & 2 & 0 \\ - 1 & 1 & 0 - \end{bmatrix}$$ + $$H = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} \quad D = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}$$ ### Operace @@ -79,14 +52,7 @@ Maticí **typu m/n** nazveme soubor (tabulku) m x n prvků (čísel) $a_{ij}$ za - matice $[-a_{ij}]$ značená $-A$ je opačná matice k matici $A$ - **Transponovaná matice** - matice $a_{ji}$ typu $n/m$ značená $A^T$ je transponovaná k matici $a_{ij}$ typu $m/n$ značené $A$ - $$A = \begin{bmatrix} - 1 & 2 & 3 \\ - 4 & 5 & 6 - \end{bmatrix} \ \ \ A^T = \begin{bmatrix} - 1 & 4 \\ - 2 & 5 \\ - 3 & 6 - \end{bmatrix}$$ + $$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ \ \ A^T = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}$$ - z toho plyne: - $A$ je symetrická, právě když $A = A^T$ - $A$ je antisymetrická, právě když $A = -A^T$