From 253cffdde432cbb2cf031ca283cee4f1eda2e116 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Filip Znachor Date: Wed, 23 Aug 2023 14:19:39 +0200 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?=C3=9Apravy=20ot=C3=A1zek=20z=20DMA?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- .../07. Částečně uspořádané množiny.md | 22 +++++------------ .../08. Mirskyho a Dilworthova věta.md | 20 ++++++++++++++-- KMA DMA/Otázky ke zkoušce/09. Svazy.md | 6 ++--- .../Otázky ke zkoušce/10. Booleovy algebry.md | 14 ++++++++++- .../Otázky ke zkoušce/11. Stoneova věta.md | 24 +++++++++++++++---- ... a orientované grafy (základní vlastnosti).md | 8 +++++++ .../17. Souvislost orientovaného grafu.md | 14 +++++------ .../21. Laplaceova matice a počítání koster.md | 23 +++++++++--------- 8 files changed, 87 insertions(+), 44 deletions(-) diff --git a/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/07. Částečně uspořádané množiny.md b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/07. Částečně uspořádané množiny.md index f296ef7..1ec7d88 100644 --- a/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/07. Částečně uspořádané množiny.md +++ b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/07. Částečně uspořádané množiny.md @@ -50,31 +50,21 @@ předcházení**). Tato relace obecně není reflexívní ani tranzitivní. - prvky, které nejsou v relaci se žádným menším prvkem - může jich být více -**Infimum** -- největší dolní závora prvků $x, y \in X$ -- prvek $i \in X$ s vlastnostmi - - $i \leq x$ a $i \leq y$ (je dolní závorou) - - je-li $z \leq x$ a $z \leq y$ pro nějaké $z \in X$, pak $z \leq i$ (je největší dolní závorou) - **Supremum** - nejmenší horní závora prvků $x, y \in X$ - prvek $s \in X$ s vlastnostmi - $x \leq s$ a $y \leq s$ (je horní závorou) - je-li $x \leq z$ a $y \leq z$ pro nějaké $z \in X$, pak $s \leq z$ (je nejmenší horní závorou) -**Výška POSETu** -- označíme $\text{height}(\mathcal P)$, je největší $h$ takové, že existuje řetězec $h$ prvků v $\mathcal P$ - -**Šířka POSETu** -- označíme $\text{width}(\mathcal P)$, je největší $w$ takové, že existuje antiřetězec $w$ prvků v $\mathcal P$ +**Infimum** +- největší dolní závora prvků $x, y \in X$ +- prvek $i \in X$ s vlastnostmi + - $i \leq x$ a $i \leq y$ (je dolní závorou) + - je-li $z \leq x$ a $z \leq y$ pro nějaké $z \in X$, pak $z \leq i$ (je největší dolní závorou) **Duální POSET** $\mathcal P^{d} = (X, \mathcal P^d)$ k POSETu $\mathcal P$ - $P^d = \{ (x,y) \mid (x, y) \in \, \leq \}$ - Pokud pro POSET $\mathcal P$ existuje Hasseův diagram, pak Hasseův diagram pro $\mathcal P^d$ získáme jeho otočením "vzhůru nohama". - Relace $\mathcal P^d$ je inverzní k relaci $\mathcal P$. -## Řetězce a antiřetězce - -Mějme POSET $(X, \leq)$, podmnožinu $C \subseteq X$ nazveme **řetězcem** (řetízkem), pokud platí, že každé 2 různé prvky $x, y \in C$ jsou porovnatelné. - -Naopak podmnožinu $A \subseteq X$ nazveme **antiřetězcem** (antiřetízkem), pokud jsou každé 2 různé prvky $x, y \in A$ neporovatelné. \ No newline at end of file +TODO: Podposet \ No newline at end of file diff --git a/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/08. Mirskyho a Dilworthova věta.md b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/08. Mirskyho a Dilworthova věta.md index 528c0cc..1e08995 100644 --- a/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/08. Mirskyho a Dilworthova věta.md +++ b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/08. Mirskyho a Dilworthova věta.md @@ -1,7 +1,23 @@ # Mirskyho a Dilworthova věta **Věta** (Dilworthova) -- Nechť $\mathcal P = (X, P)$ POSET a $\text{width}(\mathcal P) = w$. Pak existuje rozklad množiny $X, X = C_{1} \cup C_{2} \cup \dots \cup C_{w}$, kde $C_{i}, i = 1 \dots, w$ je řetězec. Navíc, neexistuje rozklad množiny $X$ na méně než $w$ řetězců. +- Nechť $\mathcal P = (X, P)$ POSET a $\text{width}(\mathcal P) = w$. +- Pak existuje rozklad množiny $X, X = C_{1} \cup C_{2} \cup \dots \cup C_{w}$, kde $C_{i}, i = 1 \dots, w$ je řetězec. +- Navíc, neexistuje rozklad množiny $X$ na méně než $w$ řetězců. **Věta** (Mirskyho, duální Dilworthova) -- Nechť $\mathcal P = (X, P)$ POSET a $\text{height}(\mathcal P) = h$. Pak existuje rozklad množiny $X, X = A_{1} \cup A_{2} \cup \dots \cup A_{h}$, kde $A_{i}, i = 1\dots,h$ je antiřetězec. Navíc, neexistuje rozklad množiny $X$ na méně než $h$ antiřetězců. \ No newline at end of file +- Nechť $\mathcal P = (X, P)$ POSET a $\text{height}(\mathcal P) = h$. +- Pak existuje rozklad množiny $X, X = A_{1} \cup A_{2} \cup \dots \cup A_{h}$, kde $A_{i}, i = 1\dots,h$ je antiřetězec. +- Navíc, neexistuje rozklad množiny $X$ na méně než $h$ antiřetězců. + +## Řetězce a antiřetězce + +Mějme POSET $(X, \leq)$, podmnožinu $C \subseteq X$ nazveme **řetězcem** (řetízkem), pokud platí, že každé 2 různé prvky $x, y \in C$ jsou porovnatelné. + +Naopak podmnožinu $A \subseteq X$ nazveme **antiřetězcem** (antiřetízkem), pokud jsou každé 2 různé prvky $x, y \in A$ neporovatelné. + +**Výška POSETu** +- označíme $\text{height}(\mathcal P)$, je největší $h$ takové, že existuje řetězec $h$ prvků v $\mathcal P$ + +**Šířka POSETu** +- označíme $\text{width}(\mathcal P)$, je největší $w$ takové, že existuje antiřetězec $w$ prvků v $\mathcal P$ \ No newline at end of file diff --git a/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/09. Svazy.md b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/09. Svazy.md index ed23b51..e4b4d37 100644 --- a/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/09. Svazy.md +++ b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/09. Svazy.md @@ -17,12 +17,12 @@ Když v libovolném pravdivém tvrzení **prohodíme průsek a spojení** (a usp ## Operace **Supremum** -- značíme $x \vee y$ +- značíme $x \vee y$ (případně $+$) - nejmenší horní závora obou prvků - spojení (sjednocení) dvou množin **Infimum** -- značíme $x \wedge y$ +- značíme $x \wedge y$ (případně $\cdot$) - největší dolní závora obou prvků - průsek (průnik) dvou množin @@ -68,7 +68,7 @@ Jestliže ve svazu $X$ existují prvky 1 a 0, potom $\forall \, x \in X$ je $x \ Nechť $(X, \leq)$ je svaz s prvky 0 a 1, nechť $x \in X$. Prvek $\overline x$, pro který platí $x \vee \overline x = 1$ a $x \wedge \overline x = 0$, se nazývá **doplněk** (**komplement**) prvku $x$. Svaz s prvky 0 a 1, v němž $\forall \, x \in X : \exists \, \overline x$, se nazývá **komplementární svaz**. -V **distributivním komplementárním svazu** má každý prvek **práve jeden doplněk**. Takový svaz nazveme Booleovou algebrou. +V **distributivním komplementárním svazu** má každý prvek **právě jeden doplněk**. Takový svaz nazveme Booleovou algebrou. ## De Morganovy zákony diff --git a/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/10. Booleovy algebry.md b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/10. Booleovy algebry.md index b3c3d49..abd8fc1 100644 --- a/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/10. Booleovy algebry.md +++ b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/10. Booleovy algebry.md @@ -39,4 +39,16 @@ Nechť $X$ je konečná Booleova algebra a $x \in X$ je libovolný nenulový prv kde $a_{1}, \dots, a_{k}$ jsou všechny atomy $X$, pro které $a_{i} \leq x, i =1, \dots, k$. -TODO: 5. přednáška \ No newline at end of file +TODO: 5. přednáška + +## Direktní součin Booleovy algebry + +Nechť $B_{1} = (X, \leq_{1}), B_{2} = (Y, \leq_{2})$ jsou Booleovy algebry. Potom se **direktním součinem** Booleových algeber $B_{1} \times B_{2}$ rozumí Booleova algebra $B = B_{1} \times B_{2} = (X \times Y, \leq)$, kde platí $(a_{1}, a_{2}) \leq (b_{1}, b_{2}) \iff a_{1} \leq_{1} b_{1} \wedge a_{2} \leq_{2} b_{2}$. + +**Příklad**: Mějme Booleovy algebry $B_{1}, B_{2}$. +- $B_{1} = \{0_{1}, 1_{1}\} \quad B_{2} = \{0_{2}, 1_{2}\}$ +- $B_{1} \times B_{2} = \{(0_{1}, 0_{2}), (0_{1}, 1_{2}), (1_{1}, 0_{2}), (1_{1}, 1_{2})\}$ + +**Důsledek**: Každá Booleova algebra $B$ je izomorfní s $B_{2}^n$, kde $n$ je počet atomů $B$. +- $B_{2}^2 = B_{2} \times B_{2}, \quad B_{2}^3 = B_{2} \times B_{2} \times B_{2}$ +- $B_{2}^4$ - hyperkrychle (4-rozměrná) diff --git a/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/11. Stoneova věta.md b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/11. Stoneova věta.md index 216570e..2f8dae0 100644 --- a/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/11. Stoneova věta.md +++ b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/11. Stoneova věta.md @@ -1,9 +1,25 @@ # Stoneova věta -**Isomorfismus** uspořádaných množin $(X, \leq)$ a $(Y, \subseteq)$ je bijekce $f: X \to Y$ taková, že pro každé $a, b \in X$ platí $a \leq b$ právě když $f(a) \subseteq f(b)$. Tyto uspořádané množiny jsou isomorfní (psáno $(X, \leq 0) \simeq (Y, \subseteq)$), pokud mezi nimi existuje isomorfismus. -- zachovává uvedené operace - - průsek, spojení, komplement a význačné prvky +**Příklad** +- dvě Booleovy algebry $B$ a $C$ + 1. dělitelé 30, uspořádání delitelností, $X = \{ 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 \}$ + 2. systém podmnožin, $A = \{a, b, c\}$, $(2^A, \leq)$ +- $f: 1 \to \emptyset, 2 \to a, 3 \to b, 5 \to c, 6 \to ab, 10 \to ac, 15 \to bc, 30 \to abc$ -Každá konečná Booleova algebra je izomorfní Booleově algebře $(2^X, \leq)$ pro nějakou množinu $X$. +**Isomorfismus** dvou Booleových algeber $(X, \leq)$ a $(Y, \subseteq)$ je zobrazení $f: X \to Y$, které +1. je bijekce (prosté i na), +2. zachovává všechny operace ($\wedge, \vee, \overline{}, 0, 1$). + +- pro $a, b \in X$ platí $a \leq b$ právě když $f(a) \subseteq f(b)$ + +Tyto uspořádané množiny jsou isomorfní (psáno $(X, \leq) \simeq (Y, \subseteq)$), pokud mezi nimi existuje isomorfismus. + +**Věta (Stone)**: Každá **konečná** Booleova algebra je **izomorfní** Booleově algebře $(2^X, \leq)$ pro nějakou množinu $X$. - $X = \text{At}(B)$ - množina atomů +**Důsledek**: Každá Booleova algebra $(B, \leq)$ má $2^n$ prvků, kde $n =$ počet atomů. +- $\implies$ počet atomů $= \log_{2}\vert B\vert$ + +**Důsledek**: Každé dvě Booleovy algebry se stejným počtem prvků jsou izomorfní. + +TODO: písání s. 49 \ No newline at end of file diff --git a/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/14. Neorientované a orientované grafy (základní vlastnosti).md b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/14. Neorientované a orientované grafy (základní vlastnosti).md index 28bcdbd..1581eaa 100644 --- a/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/14. Neorientované a orientované grafy (základní vlastnosti).md +++ b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/14. Neorientované a orientované grafy (základní vlastnosti).md @@ -87,6 +87,14 @@ Nechť $G_{1} = (V_{1}, E_{1})$ a $G_{2} = (V_{2}, E_{2})$ jsou grafy a zobrazen Grafy $G_{1}, G_{2}$ jsou **izomorfní**, jestliže existuje izomorfizmus $G_{1}$ na $G_{2}$ a píšeme $G_{1} \simeq G_{2}$ +### Automorfismus grafu + +**Automorfismem grafu** $G$ nazveme izomorfizmus $G \to G$. + +Izomorfismus může být **triviální** (identické zobrazení, $v_{i} \to v_{i}, \dots$) nebo **netriviální**. Složení izomorfismů je opět izomorfismus. + +Množina automorfismů grafu $G$ s operací skládání tvoří grupu a značí se $\text{Aut}(G)$. + # Orientované grafy - **Orientovaný graf** je dvojice $G = (V, E)$, kde $V$ je množina vrcholů a $E \subseteq V \times V$ je množina hran. (hrany jsou nyní prvky kartézského součinu, tedy uspořádané dvojice vrcholů) diff --git a/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/17. Souvislost orientovaného grafu.md b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/17. Souvislost orientovaného grafu.md index 65dc7e2..c6e52fa 100644 --- a/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/17. Souvislost orientovaného grafu.md +++ b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/17. Souvislost orientovaného grafu.md @@ -39,21 +39,21 @@ Nechť $\vec{G}$ je orientovaný graf, potom Pro orientované grafy lze snadno upravit definice sledů, cest a kružnicí v grafu. -**Orientovaný sled** z vrcholu $x$ do vrcholu $y$ v orientovaném grafu $G$ +**Orientovaný sled** z vrcholu $x$ do vrcholu $y$ v orientovaném grafu $\vec{G}$ je posloupnost vrcholů $(x = v_{0}, v_{1}, \dots, v_{k} = y)$, ve které je pro každé $i = 1, \dots, k$ -dvojice $v_{i−1}v_{i}$ hranou grafu $G$. +dvojice $v_{i−1}v_{i}$ hranou grafu $\vec{G}$. -**Orientovaná cesta** v $G$ je orientovaný sled, který obsahuje každý vrchol nejvýše jednou. +**Orientovaná cesta** v $\vec{G}$ je orientovaný sled, který obsahuje každý vrchol nejvýše jednou. -Orientovaný graf $G$ je **silně souvislý**, pokud v něm pro každou dvojici vrcholů $x, y$ existuje **orientovaná cesta** z $x$ do $y$ i orientovaná cesta z $y$ do $x$. +Orientovaný graf $\vec{G}$ je **silně souvislý**, pokud v něm pro každou dvojici vrcholů $x, y$ existuje **orientovaná cesta** z $x$ do $y$ i orientovaná cesta z $y$ do $x$. ### Cyklus -**Cyklus** v $G$ je orientovaný sled, ve kterém je $v_{0} = v_{k}$, tento vrchol je v něm obsažen právě dvakrát a všechny ostatní nejvýše jednou. +**Cyklus** v $\vec{G}$ je orientovaný sled, ve kterém je $v_{0} = v_{k}$, tento vrchol je v něm obsažen právě dvakrát a všechny ostatní nejvýše jednou. -Graf $G$ je silně souvislý právě tehdy, pokud je jeho každá hrana obsažena v nějakém cyklu. +Graf $\vec{G}$ je silně souvislý právě tehdy, pokud je jeho každá hrana obsažena v nějakém cyklu. -Graf $G$ je **acyklický**, jestliže $G$ neobsahuje jako podgraf žádný cyklus. +Graf $\vec{G}$ je **acyklický**, jestliže $\vec{G}$ neobsahuje jako podgraf žádný cyklus. ## Relace oboustranné dosažitelnosti diff --git a/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/21. Laplaceova matice a počítání koster.md b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/21. Laplaceova matice a počítání koster.md index d077178..cc145d3 100644 --- a/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/21. Laplaceova matice a počítání koster.md +++ b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/21. Laplaceova matice a počítání koster.md @@ -1,13 +1,3 @@ -# Počet koster - -**Cauchy-Binetova věta**: Nechť $B$ je matice o rozměrech $r\times s$, kde $r \leq s$. Potom platí, že - -- $\displaystyle\det(B\cdot B^T) = \sum_{I} (\det B_{I})^2,$ - -kde $I$ probíhá všechny $r$-prvkové množiny sloupců a $B_I$ je čtvercová podmatice matice $B$, určená sloupci z množiny $I$. - -**Věta**: Nechť $\vec{G}$ je slabě souvislý orientovaný graf bez smyček a $A = M_{R}(\vec{G})$. Potom **počet koster** grafu $\vec{G}$ **je roven determinantu** matice $A \cdot A^T$. - # Laplaceova matice Nechť $G$ je neorientovaný graf s vrcholy $V = \{v_{1}, \dots, v_{n}\}$ a $\vec{G}$ nějaké jeho orientace bez smyček a násobných hran. Dále položme @@ -15,10 +5,21 @@ Nechť $G$ je neorientovaný graf s vrcholy $V = \{v_{1}, \dots, v_{n}\}$ a $\ve Potom pro prvky čtvercové matice $L = (l_{ij})$ řádu $n$ platí: -$l_{ij} = \begin{cases} \text{d}(v_{i}) & \text{pokud } i=j, \\ -1 & \text{pokud } v_{i}v_{j} \in E(G), \\ 0 & \text{jinak.} \end{cases}$ +$l_{ij} = \begin{cases} \text{d}(v_{i}) & \text{pokud } i=j, \\ -1 & \text{pokud } v_{i}v_{j} \in E(G), \\ 0 & \text{jinak,} \end{cases}$ + +kde $\text{d}(v_{i})$ je stupeň vrcholu $v_{i}$. Navíc platí, že matici $L' = M_{R}(\vec{G}) \cdot (M_{R}(\vec{G}))^T$ získáme vypuštěním posledního řádku a sloupce z matice $L$. Kolik koster má úplný graf na $n$ vrcholech? - Úplný graf na $n \geq 2$ vrcholech má $n^{n-2}$ různých koster. +# Počet koster + +**Cauchy-Binetova věta**: Nechť $B$ je matice o rozměrech $r\times s$, kde $r \leq s$. Potom platí, že + +- $\displaystyle\det(B\cdot B^T) = \sum_{I} (\det B_{I})^2,$ + +kde $I$ probíhá všechny $r$-prvkové množiny sloupců a $B_I$ je čtvercová podmatice matice $B$, určená sloupci z množiny $I$. + +**Věta**: Nechť $\vec{G}$ je slabě souvislý orientovaný graf bez smyček a $A = M_{R}(\vec{G})$. Potom **počet koster** grafu $\vec{G}$ **je roven determinantu** matice $A \cdot A^T$. \ No newline at end of file