Přidání přednášky 4 a úprava přednášky 3 z PPA2
This commit is contained in:
parent
97e2c63e6f
commit
31b7b6765b
|
|
@ -14,32 +14,32 @@
|
|||
|
||||
## O-notace
|
||||
|
||||
$O(f(n))$ je množina všech funkcí, pro které platí, že $g(n) < c \cdot f(n)$ pro všechna $n > n_0 > 0$ a nějaké $c > 0$.
|
||||
$\mathcal{O}(f(n))$ je množina všech funkcí, pro které platí, že $g(n) < c \cdot f(n)$ pro všechna $n > n_0 > 0$ a nějaké $c > 0$.
|
||||
|
||||
- je-li $g(n) \in O(f(n))$, pak
|
||||
- je-li $g(n) \in \mathcal{O}(f(n))$, pak
|
||||
- $g(n)$ se vejde pod $f(n)$
|
||||
- $g(n)$ neroste rychleji než $f(n)$
|
||||
|
||||
**Význam O-notace:**
|
||||
- omezuje funkci jen shora
|
||||
- je záruka (**nebude to horší než...**)
|
||||
- příslušnost do $O(f(n))$ implikuje **efektivitu**, pokud $f(n)$ roste dost pomalu
|
||||
- příslušnost do $\mathcal{O}(f(n))$ implikuje **efektivitu**, pokud $f(n)$ roste dost pomalu
|
||||
|
||||
U funkcí nezáleží na přenásobení konstantou, přičtení konstanty ani na základu logaritmu:
|
||||
|
||||
| pokud | platí také |
|
||||
| ---------------------- | ------------------ |
|
||||
| $g(n) \in O(kf(n))$ | $g(n) \in O(f(n))$ |
|
||||
| $g(n) \in O(k + f(n))$ | $g(n) \in O(f(n))$ |
|
||||
| $O(\log_{a}(n)) =$ | $O(\log_{b}(n))$ |
|
||||
| pokud | platí také |
|
||||
| ----------------------------------- | ----------------------------------- |
|
||||
| $g(n) \in \mathcal{O}(kf(n))$ | $g(n) \in \mathcal{O}(f(n))$ |
|
||||
| $g(n) \in \mathcal{O}(k + f(n))$ | $g(n) \in \mathcal{O}(f(n))$ |
|
||||
| $g(n) \in \mathcal{O}(\log_{a}(n))$ | $g(n) \in \mathcal{O}(\log_{b}(n))$ |
|
||||
|
||||
Mezi některými množinami $O(f(n))$ platí tyto vztahy:
|
||||
Mezi některými množinami $\mathcal{O}(f(n))$ platí tyto vztahy:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
O(1) \subset O(\log(n)) \subset O(\sqrt{n}) \subset 0(n) \subset O(n \cdot \log(n)) \subset O(n^2) \subset O(n^3) \subset O(2^n) \subset 0(e^n)
|
||||
\mathcal{O}(1) \subset \mathcal{O}(\log(n)) \subset \mathcal{O}(\sqrt{n}) \subset \mathcal{O}(n) \subset \mathcal{O}(n \cdot \log(n)) \subset \mathcal{O}(n^2) \subset \mathcal{O}(n^3) \subset \mathcal{O}(2^n) \subset \mathcal{O}(e^n)
|
||||
$$
|
||||
|
||||
U 0-notace nezáleží na násobku ani na přičtení konstanty či menší funkce, proto se např. $g(n) = 2 \cdot n^2 + 5 \cdot n + 4$ vejde pod $0(n^2)$.
|
||||
U O-notace nezáleží na násobku ani na přičtení konstanty či menší funkce, proto se např. $g(n) = 2 \cdot n^2 + 5 \cdot n + 4$ vejde pod $\mathcal{O}(n^2)$.
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
|
@ -59,7 +59,7 @@ Mezi Omega množinami existují **obrácené vztahy** oproti O-množinám.
|
|||
|
||||
## Theta notace
|
||||
|
||||
Pokud $g(n) \in O(f(n))$ a zároveň $g(n) \in \Omega(f(n))$, pak $g(n) \in \Theta(f(n))$.
|
||||
Pokud $g(n) \in \mathcal{O}(f(n))$ a zároveň $g(n) \in \Omega(f(n))$, pak $g(n) \in \Theta(f(n))$.
|
||||
- neroste rychleji ani pomaleji - roste stejně rychle
|
||||
- graf $g(n)$ je od jistého $n_{0}$ možné uzavřít mezi grafy $c_{1} \cdot f(n)$ a $c_{2} \cdot f(n)$
|
||||
- patrně $c_{1} < c_{2}$
|
||||
|
|
|
|||
119
KIV PPA2/Prednaska04.md
Normal file
119
KIV PPA2/Prednaska04.md
Normal file
|
|
@ -0,0 +1,119 @@
|
|||
# Řazení
|
||||
|
||||
Nalezení pořadí (indexů) pro množinu prvků podle nějakého uspořádání. (neplést s tříděním)
|
||||
- jeden z nejčastějších výpočetních úkonů
|
||||
- součást mnoha složitějších algoritmů
|
||||
- až 30 % častu běžného počítače
|
||||
- rychlost algoritmů se dá dobře popsat pomocí jejich výpočetní složitosti
|
||||
|
||||
**Dělení**
|
||||
- **vnitřní**: jen paměťová místa, kde jsou uložená data a konstantní počet dodatečných
|
||||
- **vnější**: používá $\Omega(n)$ dodatečných paměťových míst
|
||||
+ **přímé**: přesouvá (řadí) samotná data (jednoduché datové typy)
|
||||
+ **nepřímé**: přesouvá jen zástupce dat (složitější datové typy)
|
||||
- **nestabilní**: v případě rovnosti mohou pořadí stejných prvků změnit
|
||||
- **stabilní**: v případě rovnosti zachovává původní pořadí prvků
|
||||
- u stabilního řazení můžeme řadit vícekrát a předchozí pořadí bude zachováno
|
||||
+ **porovnávací**: většina algoritmů, porovnává vždy dvojici prvků
|
||||
+ **jiné**: jen speciální případy, např. počítací řazení
|
||||
|
||||
**Počítací řazení**
|
||||
- omezený počet klíčů
|
||||
- pouze pro přímé řazení
|
||||
- používá se k určení, **kolikrát** se vyskytuje každý klíč
|
||||
|
||||
## Uspořádání
|
||||
|
||||
- relace $\leq$ na množině všech možných prvků
|
||||
- vlastnosti:
|
||||
- **tranzitivní**: když A $\leq$ B a $B \leq C$, pak $A \leq C$
|
||||
- **antisymetrická**: $A \leq B$ a $B \leq A$ jedině, když $A = B$
|
||||
- **trichotomická**: buď $A \leq B$, nebo $B \leq A$
|
||||
|
||||
### Uspořádání v Javě
|
||||
|
||||
- reprezentováno implementací rozhraní **Comparable**
|
||||
- A je v relaci s B právě když A.compareTo(B) $\leq 0$
|
||||
- implementace **compareTo** musí také splňovat vlastnosti uspořádání
|
||||
|
||||
## Druhy řazení
|
||||
|
||||
**Insert sort** (řazení vkládáním)
|
||||
- uvažuje vždy jeden prvek
|
||||
- postupně ho posouvá na správné místo v již seřazené části posloupnosti
|
||||
- složitost:
|
||||
- záleží na charakteru dat
|
||||
- v nejhorším případě $\Omega(n^2)$
|
||||
- v průměrném případě také $\Omega(n^2)$
|
||||
- náročné jsou prvky vzdálené od správné pozice
|
||||
- pokud žádný prvek od své správné pozice není dále než k, kde k nezávisí na n, je složitost $\mathcal{O}(n)$
|
||||
|
||||
**Shell sort** (Shellovo řazení)
|
||||
- data budou zpracovávání v několika průchodech
|
||||
- v počátečních průchodech kontrolovány a přesouvány prvky vzdálené o krok $h > 1$
|
||||
- délka kroku $h$ se bude postupně snižovat
|
||||
- v posledním průchodu $h = 1$ a proces je stejný jako u insert sortu, nicméně většina prvků se bude posouvat jen o malou vzdálenost
|
||||
- složitost:
|
||||
- dosud se ji nepodařilo přesně zjistit, dle experimentů $\mathcal{O}(n^{1.25})$
|
||||
- není známa ani optimální posloupnost kroků
|
||||
- nestabilní
|
||||
|
||||
**QuickSort** (řazení dělením)
|
||||
- rozdělí problém na menší podproblémy a ty dále dělí stejným způsobem
|
||||
- končí, když je podproblém trviální
|
||||
- přirozeně vede na rekurzivní zápis
|
||||
- postup:
|
||||
- vybere se pivot (např. poslední prvek) a přesune se do proměnné
|
||||
- pole se prochází zleva a při nalezení něčeho většího než je pivot se prvek přesune na volené místo (tedy to místo posledního prvku)
|
||||
- poté se začne procházet od konce, a postup se opakuje, dokud se indexy zleva i zprava nerovnají
|
||||
- vlastnosti:
|
||||
- není potřeba vyměňovat prvky (je to drahá operace)
|
||||
- využijeme skutečné parametry left a right jako proměnné
|
||||
- problém: nevhodný pivot
|
||||
- ideálním pivotem je medián
|
||||
- složitost:
|
||||
- nejhorší případ: $\Omega(n^2)$
|
||||
- seřazená posloupnost
|
||||
- nejlepší případ: $\mathcal{O}(n)$
|
||||
- medián vybrán jako první pivot
|
||||
- očekávaný případ: $\approx 2n \in \mathcal{O}(n)$
|
||||
- průměrný případ: $\mathcal{O}(n \log(n))$
|
||||
|
||||
**QuickSelect**
|
||||
- podobný řazení dělením
|
||||
- najde prvek v k-tém pořadí velikosti (ten který by po seřazení byl na k-tém indexu)
|
||||
- postup:
|
||||
- vybere se pivot
|
||||
- interval se rozdělí podle pivotu stejně jako při řazení
|
||||
- vybere se podinterval, ve kterém leží cílový index
|
||||
- efektivní pro hledání mediánu či kvantilů
|
||||
|
||||
**Mergesort** (řazení slučováním)
|
||||
- myšlenka: sloučení dvou posloupností je možné v lineárním čase
|
||||
- vnější řazení (bude potřeba paměť navíc)
|
||||
- postup:
|
||||
- procházíme obě posloupnosti současně (držíme aktuální index pro obě)
|
||||
- do výsledné posloupnosti zapíšeme menší ze dvou aktuálních prvků
|
||||
- v příslušné posloupnosti se posuneme na další prvek
|
||||
- efentivní implementace:
|
||||
- pracuje s úseky původního pole a eliminuje testování konce polí A a B
|
||||
- alokuje se dočasné pole
|
||||
- v poli se vytvoří tzv. bitonická posloupnost
|
||||
- prvky A v původním pořadí, prvky v B v obráceném pořadí
|
||||
- z pomocného pole se prvky sloučí do původního pole
|
||||
- složitost:
|
||||
- $\mathcal{O}(n \log(n))$ ve všech případech
|
||||
- paměťová složitost:
|
||||
- $\Omega(n)$ nutná pro uložení bitonické posloupnosti
|
||||
- ve většině implementací stabilní
|
||||
- snadný přepis na nerekurzivní verzi
|
||||
|
||||
### Porovnání složitosti algoritmů
|
||||
|
||||
| algoritmus | nejhorší | očekávaná | paměťová |
|
||||
| ---------- | ------------------- | ------------------- | ----------- |
|
||||
| BubbleSort | $\Theta(n^2)$ | $\Theta(n^2)$ | $\Theta(1)$ |
|
||||
| InsertSort | $\Theta(n^2)$ | $\Theta(n^2)$ | $\Theta(1)$ |
|
||||
| ShellSort | $\Theta(n^{3/2})$ | $\Theta(n^{1.25})$? | $\Theta(1)$ |
|
||||
| QuickSort | $\Theta(n^2)$ | $\Theta(n \log(n))$ | $\Theta(1)$ |
|
||||
| MergeSort | $\Theta(n \log(n))$ | $\Theta(n \log(n))$ | $\Theta(n)$ |
|
||||
Loading…
Reference in a new issue