Přidání poznámek z 12. přednášky z DMA

KMA DMA/Prednaska12.md

@@ -0,0 +1,59 @@
+Def.: matice vážených vzdáleností (w-distanční matice) ohodnoceného grafu otientovaného grafu $(G, w), G = (V, E), V = \{ v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n} \}$ je matice $D^w(G)$ řádu n, příčemž
+- $D^w(G) = (d^w(v_{i},v_{j}))^n_{i,j=1}$
+
+Def.: 
+- $k \geq 0, k \in \mathbb{Z}$
+- cesta z $v_{i}$ do $v_{j}$ je k-minimální, pokud její délka (nevážená) je nejvýše k a mezi všemi takovými cestami je minimální (tj. neexistuje cesta délky k s vahou menší)
+
+Matice $D_{k}$ - matice, jejíž prvek $d^k_{ij}$ na pozici $(i,j)$ je roven váze k-minimální cesty z vrcholu $v_{i}$ do $v_{j}$
+- $D_{n-1} = D^w(G)$ protože každá cesta v G může obsahivat nejvýše n-1 hran
+- $D_{1} = d^1_{ij} \quad d^1_{ij} = \begin{cases} w(v_{i}, v_{j}) \quad (v_{i}, v_{j}) \in E \\ 0 \qquad \qquad v_{i} = v_{j} \\ \infty \qquad \qquad \text{jinak, tj. } (v_{i}, v_{j} \notin E) \end{cases}$
+
+Tvrzení:
+- $D_{n-1} = D^w(G)$
+- matice $D_{k}$ je k-tou mocninou matice $D_{1}$ vzhledem k operacím $+, \cdot$
+- pokud pro nějaké $q \geq 1$ platí $D_{q+1} = D_{q}$, pak $D^w(G) = D_{q}$
+
+Tvrzení: nechť $(G, w)$ je ohodnocený neorientovaný graf
+- $w: E \to R^*$
+1) $d^w(x,y) \geq 0, d^w(x,y) = 0 \iff x = y$
+2) $d^w(x, y) = d^{w'}(y, x)$
+3) $d^w(x, y) + d^w(y, z) \geq d^w(x, z)$
+- tj. $d^w$ je metrika na G
+
+Eulerovské grafy
+- existence tahu v G takového, že obsahuje všechny hrany G
+- tah = sled, ve kterém se neopakují hrany
+
+Def.: eulerovský tah v G je uzavřený tah obsahující všechny hrany G
+- otevřený eulerovský tah je tak obsahující všechny hrany G
+
+? existence eulerovských tahů ?
+- eulerovský graf = graf s eulerovským tahem
+
+Věta: G je souvislý, pak G je eulerovský $\iff$ každý vrchol má sudý stupeň v G
+
+Hierholzerův algoritmus (G souvislý)
+- najdu uzavřený tah M
+- ? existuje hrana dotýkající se M (neobsažená v M)
+	- ano - prodluž M
+	- ne - eulerovský tah
+
+Prostor kružnic grafu
+- $G = (V, E), \vert E\vert = m$
+- každému faktoru grafu G lze přiložit charakteristický vektor $x \in \mathbb{Z}^m_{2}$
+
+Věta: množina sudých faktorů (jejich char. vektorů) tvoří lineární podprostor $\mathbb{Z}^m_{2}$
+- prostor kružnic $\mathcal C(G)$ neor. grafu G - lineární prostor sudých faktorů (char. vektorů)
+- ? báze, dimenze $\mathcal C(G)$, počet prvků $\mathcal C(G) (počet sudých faktorů)
+
+Konstrukce báze $\mathcal C(G)$
+1) kostra grafu G ... T (lib. ale pevná)
+2) systém fundamentálních kružnic
+	- pro každou hranu  e grafu G, která není na T vezmeme kružnici v T + e - fundamentální kružnice příslušného e vzhledem ke kostře T
+	- počet fund. kružnic $= m-n+1$
+3) $\dim(\mathcal C(G)) = m-n+1$ (G souvislý)
+
+Věta: fundamentální kružnice tvoří bázi $\mathcal C(G)$
+- $\dim(\mathcal C(G)) = m-n+1$ (G souvislý)
+- počet prvků $\mathcal C(G)$ = počet sudých faktorů G = počet podmnožin fundamentálních kružnic = $2^{m-n+1}$