From 37bfeeecffd1cc22f2488b0c103c8ecad47dcdd1 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Filip Znachor Date: Wed, 28 Jun 2023 12:02:28 +0200 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?=C3=9Apravy=20p=C5=99=C3=ADklad=C5=AF=201,=208,?= =?UTF-8?q?=209=20a=2011=20z=20FYI?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- KFY FYI1/Priklad01.md | 2 +- KFY FYI1/Priklad08.md | 10 ++++---- KFY FYI1/Priklad09.md | 56 +++++++++++++++++++------------------------ KFY FYI1/Priklad11.md | 2 +- 4 files changed, 32 insertions(+), 38 deletions(-) diff --git a/KFY FYI1/Priklad01.md b/KFY FYI1/Priklad01.md index d422da0..202f4f3 100644 --- a/KFY FYI1/Priklad01.md +++ b/KFY FYI1/Priklad01.md @@ -59,7 +59,7 @@ $\displaystyle a_{t} = \frac{5^2 - 15^2}{2 \cdot 800} \text{ m}\cdot\text{s}^{-2 ### Výsledek -$\displaystyle T = \frac{800}{5 + 15}\cdot 2s = \frac{1600}{20}s = 80s$ +$\displaystyle T = \frac{800}{5 + 15}\cdot 2\text{ s} = \frac{1600}{20}\text{ s} = 80\text{ s}$ $\displaystyle a_{0} = \sqrt{ (-0.125)^2 + \left(\frac{15^2}{800}\right)^2 } \text{ m}\cdot\text{s}^{-2} = 0.308 \text{ m}\cdot\text{s}^{-2}$ diff --git a/KFY FYI1/Priklad08.md b/KFY FYI1/Priklad08.md index a08f332..31b2523 100644 --- a/KFY FYI1/Priklad08.md +++ b/KFY FYI1/Priklad08.md @@ -17,7 +17,7 @@ zákon zachování mechanické energie - $W_{kin} + W_{pot} = \text{konst.}$ zákon zachování hybnosti -- $\vec p = \text{konst.}$ +- $\vec p = \text{konst.}$ (hybnost) - v tomto případě - $\vec{p}_\text{střela} = \vec{p}_\text{střela + kyvadlo}$ - $m \cdot v_{0} = (m+M) \cdot v_{1}$ @@ -30,7 +30,7 @@ z obrázku platí - $\displaystyle \frac{2lh}{d^2} = \frac{h^2}{d^2} + 1$ - pro velká l platí, že - $h \ll d \implies \text{zanedbáme} \, \frac{h^2}{d^2}$ -- $h = \frac{d^2}{2l}$ +- $\displaystyle h = \frac{d^2}{2l}$ ### Výpočet @@ -46,8 +46,10 @@ využijeme vzorečku ze zákona o zachování hybnosti ### Výsledek -svislá výchylka $h$ +rychlost střely podle svislé výchylky $h$ +- dosazení do vzorce pro $v_{0}$ podle zákona o zachování hybnosti - $\displaystyle v_{0} = \frac{m+M}{m} \cdot \sqrt{ 2gh }$ -vodorovná výchylka $d$ +rychlost střely podle vodorovné výchylky $d$ +- pro zjištění $h$ dosadíme vzorec pro jeho výpočet z $d$ - $\displaystyle v_{0} = \frac{m+M}{m} \cdot \sqrt{ \cancel{2} \cdot g \cdot \frac{d^2}{\cancel{2}l} } = \frac{m+M}{m} \cdot \sqrt{ \frac{g}{l} } \cdot d$ \ No newline at end of file diff --git a/KFY FYI1/Priklad09.md b/KFY FYI1/Priklad09.md index c5a27a7..3cba204 100644 --- a/KFY FYI1/Priklad09.md +++ b/KFY FYI1/Priklad09.md @@ -4,52 +4,44 @@ - $R$ - poloměr koule - $l$ - délka závěsu -- $T_{kyvadla} = \, ?$ +- $T_{k} = \, ?$ (doba kyvu kyvadla) - chyba pro $R \to 0 = \, ?$ - netlumené kmity (tření) - tíhové pole Země ![](_assets/priklad9.svg) -- 2. impulzová věta (pohybová rovnice pro rotaci tuhého tělesa) - - $J \cdot \vec \epsilon = -\vec M$ - - $\vec M = \vec I \cdot \vec G$ - - $M = \vert \vec M \vert = \vert \vec I \vert \cdot \vert \vec G \vert \cdot \sin \varphi = l \cdot m \cdot g \cdot \sin \varphi$ - - $J$ - moment setrvačnosti - - $\displaystyle \vec \epsilon = \frac{d\vec w}{dt} = \frac{d^2\vec\varphi}{dt^2}$ -- Steinerova věta - - $\displaystyle J \cdot \frac{d^2 \varphi}{dt^2} = -M$ - - $J = J_{0} + m \cdot l^2 = \frac{2}{5} m R^2 + m \cdot l^2$ - - $J_{0} = \frac{2}{5}m\cdot R$ (moment setrvačnosti koule - symetrická osa) +II. impulzová věta pro rotaci tělesa +- $J \cdot \epsilon = M$ + - $\displaystyle\epsilon = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d^2\varphi}{dt^2}$ + - $\displaystyle J = \frac{2}{5}mR^2+m\cdot l^2$ (použití Steinerovy věty) + - $M = - l \cdot mg\sin(\varphi)$ (moment síly) + ### Výpočet -$\displaystyle \left( \frac{2}{5} m R^2 + m \cdot l^2 \right) \cdot \frac{d^2\varphi}{dt^2} = -l\cdot m\cdot \sin \varphi$ +dosadíme do rovnice $\epsilon, J, M$ a upravíme +- $\displaystyle\left(\frac{2}{5}mR^2 + m\cdot l^2\right) \cdot \frac{d^2\varphi}{dt^2} = -l\cdot mg\sin(\varphi)$ +- $\displaystyle\left(\frac{2}{5}\cancel{m}R^2 + \cancel{m}\cdot l^2\right) \cdot \frac{d^2\varphi}{dt^2} = -l\cdot \cancel{m}g\sin(\varphi)$ +- $\displaystyle\left(\frac{2}{5}R^2 + l^2\right) \cdot \frac{d^2\varphi}{dt^2} + l\cdot g\sin(\varphi) = 0$ +- $\displaystyle\frac{d^2\varphi}{dt^2} + \frac{l\cdot g}{\frac{2}{5}R^2 + l^2}\cdot\sin(\varphi) = 0$ + - nahradíme $\frac{l\cdot g}{\frac{2}{5}R^2 + l^2} = \omega^2$ - úhlová rychlost -$\displaystyle \left( \frac{2}{5} m R^2 + m \cdot l^2 \right) \cdot \frac{d^2\varphi}{dt^2} + l \cdot m \cdot g \cdot \sin \varphi = 0$ - -$\displaystyle \left( \frac{2}{5} m R^2 \cdot l^2 \right) \cdot \frac{d^2\varphi}{dt^2} + l \cdot g \cdot \sin \varphi = 0$ - -$\displaystyle\frac{d^2\varphi}{dt^2} + \frac{l \cdot g}{\frac{2}{5}R^2 + l ^2} \cdot \sin \varphi = 0$ - -$\displaystyle\frac{d^2\varphi}{dt^2} + \frac{l \cdot g}{\frac{2}{5}R^2 + l ^2} \cdot \sin \varphi = 0$ -- pro $\varphi < 5^\circ \implies \sin \varphi \simeq \varphi$ - -$\displaystyle\frac{d^2\varphi}{dt^2} + \frac{l \cdot g}{\frac{2}{5}R^2 + l ^2} \cdot \varphi = 0$ -- $\displaystyle \frac{l \cdot g}{\frac{2}{5}R^2 + l ^2} = \omega^2$ - úhlová rychlost - -$\displaystyle\frac{d^2\varphi}{dt^2} + \omega^2 \cdot \varphi = 0$ +pro úhly $\varphi < 5^\circ \implies \sin \varphi \sim \varphi$ +- $\displaystyle\frac{d^2\varphi}{dt^2} + \omega^2\cdot\varphi = 0$ - lineární harmonický oscilátor -- ... víme, že $\displaystyle\omega = \frac{2\pi}{T}$, kde $T$ je perioda (doba kmitu) -- $\displaystyle T_{kyv} = \frac{\pi}{\omega}$ -$\displaystyle T_{kyv} = \frac{\pi}{\sqrt{ \frac{l \cdot g}{\frac{2}{5}R^2+l^2} }} = \pi \cdot \frac{\sqrt{ l \cdot \left[ \frac{2}{5}\left( \frac{R}{l} \right)^2+1 \right] }}{l \cdot g} = \pi \cdot \sqrt{ \frac{l}{g} } \cdot \sqrt{ \frac{2}{5} \left( \frac{R}{l}^2 + 1 \right) }$ +**Doba kyvu kyvadla** +- využijeme vzoreček pro úhlovou rychlost $\omega^2$ uvedený výše +- $\displaystyle T_{k} = \frac{\pi}{\omega}$ + +$\displaystyle T_{k} = \frac{\pi}{\sqrt{ \frac{l \cdot g}{\frac{2}{5}R^2+l^2} }} = \pi \cdot \frac{\sqrt{ l \cdot \left[ \frac{2}{5}\left( \frac{R}{l} \right)^2+1 \right] }}{\sqrt{ l \cdot g }} = \pi \cdot \sqrt{ \frac{l}{g} } \cdot \sqrt{ \frac{2}{5} \left( \frac{R}{l}^2 + 1 \right) }$ ### Výsledek -pro $\displaystyle R \to 0 \implies T_{kyv} = \pi \cdot \sqrt{ \frac{l}{g} }$ +pro $\displaystyle R \to 0 \implies T_{k} = \pi \cdot \sqrt{ \frac{l}{g} }$ - doba kyvu matematického kyvadla -bude-li R 10% délky závěsu l ($R = 0.1 \cdot l$) -- $\displaystyle T_{kyv} = T^M_{kyv} \cdot \sqrt{ \frac{2}{5} \left(\frac{0.1 \cdot l}{l}\right)^2 +1 } = T^M_{kyv \cdot \sqrt{ 1.004 }} = T^M_{kyv} \cdot 1,002$ -- chyba by byla 0.2% \ No newline at end of file +bude-li R 10% délky závěsu $l \implies R = 0.1\cdot l$ +- $\displaystyle T_{k} = T^M_{k} \cdot \sqrt{ \frac{2}{5} \left(\frac{0.1 \cdot l}{l}\right)^2 +1 } = T^M_{k \cdot \sqrt{ 1.004 }} = T^M_{k} \cdot 1,002$ +- chyba by byla 0.2% diff --git a/KFY FYI1/Priklad11.md b/KFY FYI1/Priklad11.md index a416d4d..0dfa7ee 100644 --- a/KFY FYI1/Priklad11.md +++ b/KFY FYI1/Priklad11.md @@ -1,6 +1,6 @@ ### Zadání -Paprsek bílého světla dopadá ve vzduchu na flintové sklo (druh skla používaného v optice) **pod úhlem 60°**. Index lomu flintového skla pro červené **světlo vlnové délky 761 nm je 1.735** a pro fialové **světlo vlnové délky 397 nm je 1,811**. Určete **úhel mezi lomeným červeným a fialovým paprskem**. +Paprsek bílého světla dopadá ve vzduchu na flintové sklo (druh skla používaného v optice) **pod úhlem 60°**. Index lomu flintového skla pro červené **světlo vlnové délky 761 nm je 1,735** a pro fialové **světlo vlnové délky 397 nm je 1,811**. Určete **úhel mezi lomeným červeným a fialovým paprskem**. - $\alpha = 60^\circ$ - $v_{č} = 1.735$