From 4c6085f79e71223bf66091833aaa518c3ac7c913 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Filip Znachor Date: Sun, 4 Dec 2022 21:33:05 +0100 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?N=C3=A1hrada=20znaku=20-=20u=20polynom=C5=AF?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- KMA LAA/1. Polynomy.md | 14 +++++++------- 1 file changed, 7 insertions(+), 7 deletions(-) diff --git a/KMA LAA/1. Polynomy.md b/KMA LAA/1. Polynomy.md index 93da7f6..0ad9b72 100644 --- a/KMA LAA/1. Polynomy.md +++ b/KMA LAA/1. Polynomy.md @@ -4,7 +4,7 @@ Nechť $a_0, \dots , a_n$ jsou komplexní čísla, $n \geq 0$ přirozené. Polynomem (mnohočlenem) $p$ proměnné $x$ nazýváme předpis -$$p(x) = a_nx^n + a_{n−1}x^{n−1} + . . . + a_{1}x + a_0 \ \ \ \forall x \in C, a_{n} \neq 0$$ +$$p(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + . . . + a_{1}x + a_0 \ \ \ \forall x \in C, a_{n} \neq 0$$ neboli @@ -55,11 +55,11 @@ Nechť $p(x)$ je polynom proměnné $x$. Číslo $c \in C$ takové, že $p(c) = Každý polynom stupně alespoň 1 má v $C$ alespoň jeden kořen. -Je-li $c$ kořenem polynomu $p(x)$, pak $p(x) = s(x) (x − c)$, kde $st(s(x)) = st(p(x)) − 1$. +Je-li $c$ kořenem polynomu $p(x)$, pak $p(x) = s(x) (x - c)$, kde $st(s(x)) = st(p(x)) - 1$. #### Komplexní rozklad na součin kořenových činitelů -Každý polynom $p(x)$ stupně $n$ lze vyjádřit ve tvaru $p(x) = (x − c_1)(x − c_2)(x − c_3) \dots (x − c_n)$, kde $c_1, c_2, \dots c_n$ jsou všechny kořeny polynomu $p(x)$. +Každý polynom $p(x)$ stupně $n$ lze vyjádřit ve tvaru $p(x) = (x - c_1)(x - c_2)(x - c_3) \dots (x - c_n)$, kde $c_1, c_2, \dots c_n$ jsou všechny kořeny polynomu $p(x)$. Hodnoty $c_1, c_2, \dots, c_n$ nemusí být nutně navzájem různé. Každý polynom stupně $n \ge 1$ má v $C$ právě $n$ kořenů. @@ -69,14 +69,14 @@ Sdružíme-li dvojice komplexně sdružených kořenů a následně jejich koře Polynom $p(x)$ pak je ve tvaru -$$p(x)$ = $a_n(x−c_1)(x−c_2) \dots (x−c_k)(x^2+u_1x+v_1)(x^2+u_2x+v_2) \dots (x^2+u_mx+v_m),$$ +$$p(x)$ = $a_n(x-c_1)(x-c_2) \dots (x-c_k)(x^2+u_1x+v_1)(x^2+u_2x+v_2) \dots (x^2+u_mx+v_m),$$ -kde $c_1, c_2, \dots, c_k$ jsou reálné kořeny polynomu $p(x)$, $b_1, \overline{b_1}, b_2, \overline{b_2}, \dots, b_m, \overline{b_m}$ jsou všechny dvojice komplexně sdružených kořenů $p(x)$ a $x^2 + u_ix + v_i = (x − b_i)(x − \overline{b_i})$. +kde $c_1, c_2, \dots, c_k$ jsou reálné kořeny polynomu $p(x)$, $b_1, \overline{b_1}, b_2, \overline{b_2}, \dots, b_m, \overline{b_m}$ jsou všechny dvojice komplexně sdružených kořenů $p(x)$ a $x^2 + u_ix + v_i = (x - b_i)(x - \overline{b_i})$. ### Speciální typy polynomů - binomické - - $x^n + a_0$ - přes vzorce $a^2 − b^2$, $a^3 ± b^3$ atd., nebo přes $n$-tou odmocninu $a_0$ + - $x^n + a_0$ - přes vzorce $a^2 - b^2$, $a^3 ± b^3$ atd., nebo přes $n$-tou odmocninu $a_0$ - reciproké - - platí, že $a_{n−i} = a_i$ pro všechna $i$, nebo $a_{n−i} = −a_i$ pro všechna $i$ - kořeny ±1, substituce $y = x + 1/x$ + - platí, že $a_{n-i} = a_i$ pro všechna $i$, nebo $a_{n-i} = -a_i$ pro všechna $i$ - kořeny ±1, substituce $y = x + 1/x$ - trinomické - $a_{2k}x^{2k} + a_{k}x^k + a_{0}$ - substituce typu $y = x^k$ \ No newline at end of file