From 4d45e6be23c8129e7de9646753c6c7bb36f7b2ff Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Filip Znachor Date: Tue, 20 Jun 2023 19:14:45 +0200 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?P=C5=99id=C3=A1n=C3=AD=20dal=C5=A1=C3=ADch=20ot?= =?UTF-8?q?=C3=A1zek=20ke=20zkou=C5=A1ce=20z=20DMA?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- .../05. Modulární počítání.md | 22 +++++++ .../07. Částečně uspořádané množiny.md | 61 +++++++++++++++++++ .../08. Mirskyho a Dilworthova věta.md | 7 +++ .../Otázky ke zkoušce/10. Booleovy algebry.md | 2 + .../Otázky ke zkoušce/11. Stoneova věta.md | 9 +++ .../13. Minimalizace Booleovských funkcí.md | 51 ++++++++++++++++ ... a orientované grafy (základní vlastnosti).md | 49 +++++++++++++++ KMA DMA/Otázky ke zkoušce/15. Stromy.md | 14 +++++ .../16. Souvislost neorientovaného grafu.md | 48 +++++++++++++++ .../17. Souvislost orientovaného grafu.md | 25 ++++++++ .../Otázky ke zkoušce/18. Eulerovské grafy.md | 4 ++ ...enční matice grafu, totální unimodularita.md | 11 ++++ 12 files changed, 303 insertions(+) create mode 100644 KMA DMA/Otázky ke zkoušce/05. Modulární počítání.md create mode 100644 KMA DMA/Otázky ke zkoušce/07. Částečně uspořádané množiny.md create mode 100644 KMA DMA/Otázky ke zkoušce/08. Mirskyho a Dilworthova věta.md create mode 100644 KMA DMA/Otázky ke zkoušce/11. Stoneova věta.md create mode 100644 KMA DMA/Otázky ke zkoušce/13. Minimalizace Booleovských funkcí.md create mode 100644 KMA DMA/Otázky ke zkoušce/14. Neorientované a orientované grafy (základní vlastnosti).md create mode 100644 KMA DMA/Otázky ke zkoušce/15. Stromy.md create mode 100644 KMA DMA/Otázky ke zkoušce/16. Souvislost neorientovaného grafu.md create mode 100644 KMA DMA/Otázky ke zkoušce/17. Souvislost orientovaného grafu.md create mode 100644 KMA DMA/Otázky ke zkoušce/18. Eulerovské grafy.md create mode 100644 KMA DMA/Otázky ke zkoušce/20. Incidenční matice grafu, totální unimodularita.md diff --git a/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/05. Modulární počítání.md b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/05. Modulární počítání.md new file mode 100644 index 0000000..6596582 --- /dev/null +++ b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/05. Modulární počítání.md @@ -0,0 +1,22 @@ +# Modulární počítání + +## Eukleidův algoritmus + +Algoritmus pro nalezení největšího společného dělitele čísel $a$ a $b$. Největšího společného dělitele označíme jako $\gcd(a, b)$. + +Mějme $a = 57, b = 27$. Platí, že $c = \gcd(a, b)$ dělí $a$ a rovněž $b$, dělí tedy i rozdíl $a-b = 30$. Pokud nyní najdeme $\gcd(30, 27)$, získáme i $\gcd(57, 27)$. Aplikacím tohoto postupu dostaneme postupně $\gcd(30, 27) = \gcd(3, 27) = 3$, tedy i $\gcd(57, 27) = 3$. + +## Modulární aritmetika + +Ekvivalence $\sim$ na množině $X$ je relace na $X$, která je reflexivní, symetrická a tranzitivní. + +Ekvivalence, která zachovává operace definované na množině, se nazývá **kongruence**. Jedna z takových kongruencí je například kongruence modulo $p$. + +**Definice** +- Nechť $p \geq 1$ je přirozené číslo. Definujme na množině všech celých čísel relaci $\equiv$ (kongruenci modulo $p$) předpisem $x \equiv y$, pokud $p$ dělí rozdíl $x - y$. + +Zapisujeme $x \equiv y \quad (\text{mod } p)$. + +Pro $a \in \mathbb{Z}_{n}$ rozumíme opačným prvkem prvek $x \in \mathbb{Z}_{n}$ takový, že řeší rovnici $a \cdot x \equiv 1 \quad (\text{mod } n)$. Značíme jej $-a$. + +TODO \ No newline at end of file diff --git a/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/07. Částečně uspořádané množiny.md b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/07. Částečně uspořádané množiny.md new file mode 100644 index 0000000..2f3bbb6 --- /dev/null +++ b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/07. Částečně uspořádané množiny.md @@ -0,0 +1,61 @@ +# Částečně uspořádané množiny + +**Uspořádání** na množině $X$ je libovolná relace na $X$, která je **reflexivní**, slabě **antisymetrická** a **tranzitivní**. + +Je-li $R$ uspořádání na množině $X$, pak dvojice $(X, R)$ se nazývá **uspořádaná množina**. Jsou-li prvky $x, y$ v relaci $R$ (tedy $x \, R \, y$), interpretujeme to slovy "**prvek x je menší nebo roven prvku y**". + +Z uvedené definice se uspořádáním říká také **neostrá uspořádání**, protože pro každé $x$ platí $x \, R \, x$. (U ostrého uspořádání bychom místo reflexivity vyžadovali antireflexitu) + +## Porovnatelnost prvků + +Nechť $x, y$ jsou dva prvky uspořádané množiny $(X, \leq)$. Platí-li $x \leq y$ nebo $y \leq x$, jsou prvky $x, y$ **porovnatelné**, v opačném případě **neporovnatelné**. + +Uspořádání $\leq$ se často označuje jako **částečné** (POSET), protože definice připouští existenci dvojic neporovnatelných prvků. + +## Základní pojmy + +**Největší prvek** +- $a \in X$, pokud pro každé $x \in X$ platí $x \leq a$ +- musí být maximálním prvkem +- nemusí existovat, případně určen jednoznačně + +**Nejmenší prvek** +- $a \in X$, pokud pro každé $x \in X$ platí $a \leq x$ +- musí být minimálním prvkem +- nemusí existovat, případně určen jednoznačně + +**Maximální prvek** +- $a \in X$, pokud pro žádné $x \in X$ není $a \leq x$ +- prvky, které nejsou v relaci se žádným větším prvkem +- může jich být více + +**Minimální prvek** +- $a \in X$, pokud pro žádné $x \in X$ není $x \leq a$ +- prvky, které nejsou v relaci se žádným menším prvkem +- může jich být více + +**Infimum** +- TODO + +**Supremum** +- TODO + +TODO + +**Výška POSETu** +- označíme $\text{height}(\mathcal P)$, je největší $h$ takové, že existuje řetězec $h$ prvků v $\mathcal P$ + +**Šířka POSETu** +- označíme $\text{width}(\mathcal P)$, je největší $w$ takové, že existuje antiřetězec $w$ prvků v $\mathcal P$ + +**Duální POSET** $\mathcal P^{d} = (X, \mathcal P^d)$ k POSETu $\mathcal P$ +- $P^d = \{ (x,y) \mid (x, y) \in \, \leq \}$ +- Pokud pro POSET $\mathcal P$ existuje Hasseův diagram, pak Hasseův diagram pro $\mathcal P^d$ získáme jeho otočením "vzhůru nohama". +- Relace $\mathcal P^d$ je inverzní k relaci $\mathcal P$. + +## Řetězce a antiřetězce + +TODO + +**Řetěz** +- Řetězem délky $k$ nad abecedou $\Gamma = \{ \sigma_{1}, \sigma_{2}, \dots, \sigma_{n} \}$ velikosti $n$ budeme rozumět posloupnost $$ \ No newline at end of file diff --git a/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/08. Mirskyho a Dilworthova věta.md b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/08. Mirskyho a Dilworthova věta.md new file mode 100644 index 0000000..528c0cc --- /dev/null +++ b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/08. Mirskyho a Dilworthova věta.md @@ -0,0 +1,7 @@ +# Mirskyho a Dilworthova věta + +**Věta** (Dilworthova) +- Nechť $\mathcal P = (X, P)$ POSET a $\text{width}(\mathcal P) = w$. Pak existuje rozklad množiny $X, X = C_{1} \cup C_{2} \cup \dots \cup C_{w}$, kde $C_{i}, i = 1 \dots, w$ je řetězec. Navíc, neexistuje rozklad množiny $X$ na méně než $w$ řetězců. + +**Věta** (Mirskyho, duální Dilworthova) +- Nechť $\mathcal P = (X, P)$ POSET a $\text{height}(\mathcal P) = h$. Pak existuje rozklad množiny $X, X = A_{1} \cup A_{2} \cup \dots \cup A_{h}$, kde $A_{i}, i = 1\dots,h$ je antiřetězec. Navíc, neexistuje rozklad množiny $X$ na méně než $h$ antiřetězců. \ No newline at end of file diff --git a/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/10. Booleovy algebry.md b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/10. Booleovy algebry.md index 012ddcd..1d01208 100644 --- a/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/10. Booleovy algebry.md +++ b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/10. Booleovy algebry.md @@ -4,6 +4,8 @@ Operace spojení $\wedge$ se značí symbolem $+$, operace průsek symbolem $\cdot$. +Obsahuje $2^n$ prvků. (2, 4, 8, 16, ...) + ## Booleovský kalkulus Nechť $X$ je Booleova algebra, $a, b, c \in X$. Potom platí: diff --git a/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/11. Stoneova věta.md b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/11. Stoneova věta.md new file mode 100644 index 0000000..216570e --- /dev/null +++ b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/11. Stoneova věta.md @@ -0,0 +1,9 @@ +# Stoneova věta + +**Isomorfismus** uspořádaných množin $(X, \leq)$ a $(Y, \subseteq)$ je bijekce $f: X \to Y$ taková, že pro každé $a, b \in X$ platí $a \leq b$ právě když $f(a) \subseteq f(b)$. Tyto uspořádané množiny jsou isomorfní (psáno $(X, \leq 0) \simeq (Y, \subseteq)$), pokud mezi nimi existuje isomorfismus. +- zachovává uvedené operace + - průsek, spojení, komplement a význačné prvky + +Každá konečná Booleova algebra je izomorfní Booleově algebře $(2^X, \leq)$ pro nějakou množinu $X$. +- $X = \text{At}(B)$ - množina atomů + diff --git a/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/13. Minimalizace Booleovských funkcí.md b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/13. Minimalizace Booleovských funkcí.md new file mode 100644 index 0000000..15e2179 --- /dev/null +++ b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/13. Minimalizace Booleovských funkcí.md @@ -0,0 +1,51 @@ +# Minimalizace Booleovských funkcí + +K minimalizaci Booleovských funkcí se využívá Quineho-McCluskeyho metoda minimalizace. + +## Metoda minimalizace + +**Implikantem** Booleovy funkce $f$ se nazývá **každý součin** literálů proměnných, který implikuje $f$. + +- $f(x, y, z) = x \overline z + \overline y$ +- cíl: vynechání některých součinů tak, že výsledek je stále roven funkci $f$ +- součin literálů $p$ je implikantem funkce $f$, pokud $p \leq f$ +- implikant je prostý, pokud součin vzniklý odstraněním libovolného literálu z $p$ přestane být implikantem funkce $f$ + +## Postup + +Mějme Booleovskou funkci $f$ zadanou tabulkou. +1. Vybereme řádky, kde je hodnota $f$ rovna 1. +2. Z těchto řádků vybereme ty, které je možné dát do dvojic, ve kterých se budou lišit pouze v jedné pozici. +3. Dvojice vypíšeme a lišící se pozici nahradíme symbolem $-$. +4. Prosté implikanty nevybrané ve 2. kroce a také ty upravené zapíšeme pod sebe a přiřadíme k nim součinové klauzule podle tabulky níže. + +| řádek | x | y | z | klauzule | +| ------ | --- | --- | --- | ------------------------- | +| 2. | 0 | 1 | 0 | $\overline xy\overline z$ | +| 1., 5. | - | 0 | 1 | $\overline yz$ | +| 5., 7. | 1 | - | 1 | $xz$ | + +Máme vyjádření $f(x, y, z) = \overline xy\overline z + \overline yz + xz$. + +### Tabulka pokrytí + +Hledáme nezkratitelné vyjádření, které stále bude rovno funkci $f$. + +Sloupce odpovídají jednotlivým původním vstupům, pro něž $f$ nabývá hodnoty 1, řádky odpovídají získaným prostým implikantům. + +| x | y | z | 1. | 2. | 5. | 7. | +| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | +| - | 0 | 1 | [ ] | | [ ] | | +| 1 | - | 1 | | | [ ] | [ ] | +| 0 | 1 | 0 | | [ ] | | | + +Každý ze sloupců v tabulce musí být pokryt nějakým prostým implikantem. Vybereme nejprve ty sloupce, které jsou pokrytelné pouze jedním prostým implikantem a k nim vždy příslušný implikant. + +| x | y | z | 1. | 2. | 5. | 7. | implikant | +| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | -------------- | +| - | 0 | 1 | [x] | | [ ] | | $\overline yz$ | +| 1 | - | 1 | | | [ ] | [x] | $xz$ | +| 0 | 1 | 0 | | [x] | | | $\overline xy\overline z$ | + +Pokrytí existuje jediné. Celkem máme tak jedno výsledné řešení, minimální +disjunktivní formu $f(x, y, z) = \overline xy\overline z + \overline yz + xz$. \ No newline at end of file diff --git a/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/14. Neorientované a orientované grafy (základní vlastnosti).md b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/14. Neorientované a orientované grafy (základní vlastnosti).md new file mode 100644 index 0000000..991eb79 --- /dev/null +++ b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/14. Neorientované a orientované grafy (základní vlastnosti).md @@ -0,0 +1,49 @@ +# Grafy + +**Graf** $G$ je dvojice $G = (V, E)$, kde $V$ je konečná množina a $E \subset \left({V \atop 2}\right)$, přičemž +- $\left({V \atop 2}\right) = \{\{x,y\}: x,y\in V\text{ a } x\neq y\}$ + +je množina všech dvouprvkových množin (neuspořádaných dvojic) prvků množiny $V$. + +- $V(G)$ - prvky množiny $V$ - vrcholy (uzly) grafu $G$ +- $V(E)$ - prvky množiny $E$ - hrany grafu $G$ + +Vrcholy $x,y \in V$ jsou sousední, pokud $\{x,y\}\in E$. + +**Faktor grafu** $G$ je libovolný jeho podgraf, jehož množina vrcholů je $V(G)$. Faktor je vlastní, je-li různý od grafu $G$. + +**Rovnost grafů** $G_{1} = G_{2}$ +- $G_{1} = (V_{1}, E_{1}), G_{2} = (V_{2}, E_{2})$, pokud $V_{1} = V_{2}, E_{1} = E_{2}$ + +## Stupeň vrcholu + +**Stupeň vrcholu** v grafu $G$ je počet gran grafu $G$, které obsahují vrchol $v$. Značí se $d_{G}(v)$. +- V grafu o n vrcholech je stupeň každého vrcholu nejvýše $n-1$. + +## Neorientovaný graf + +- hrany jsou definovány jako neuspořádané dvojice vrcholů +- odpovídá relaci na V, která je antireflexivní a symetrická + +## Orientovaný graf + +- Orientovaný graf je dvojice $G = (V, E)$, kde $V$ je množina vrcholů a $E \subseteq V \times V$ je množina hran. (hrany jsou nyní prvky kartézského součinu, tedy uspořádané dvojice vrcholů) +- orientované grafy odpovídají binárním relacím +- graf může obsahovat dvojici protichůdných hran +- má upravené definice některých pojmů + +## Základní grafy + +### Bipartitní graf + +**Biparitní (sudý) graf** $K_{m, n}$ má množinu vrcholů rozdělitelnou na dvě **disjunktní množiny** $A, B$ tak, že žádné dva **vrcholy ze stejné množiny nejsou spojeny** hranou. +- $V = A \cup B, A \cap B = \emptyset$ +- $E \subseteq \{ \{a,b\} \mid a \in A, b \in B \}$ + +### Úplný graf + +**Úplný graf** na n vrcholech (značený $K_{n}$) obsahuje jako hrany všechny neuspořádané dvojice prvků $[n]$, takže $V(K_{n}) = [n], E(K_{n}) = \left({[n] \atop 2}\right)$. + +### Diskrétní graf + +**Diskrétní graf** $D_{n}$ na n vrcholech nemá žádné hrany: $V(D_n) = [n], E(D_{n}) = \emptyset$. \ No newline at end of file diff --git a/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/15. Stromy.md b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/15. Stromy.md new file mode 100644 index 0000000..a20a3c3 --- /dev/null +++ b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/15. Stromy.md @@ -0,0 +1,14 @@ +# Stromy + +**Strom** je **souvislý graf**, který **neobsahuje** žádnou **kružnici**. List stromu $T$ je libovolný vrchol, jehož stupeň v $T$ je 1. + +Má-li strom alespoň dva vrcholy, pak má alespoň dva listy. + +**Les** - graf, jehož každá komponenta je stromem. + +Graf $G$ je strom právě, když pro každé dva vrcholy $u, v \in V(G)$ existuje v grafu $G$ právě jedna cesta z $u$ do $v$. + +Graf $G$ je strom, právě když je souvislý a má $n-1$ hran. + +Graf $G$ je strom, právě když je souvislý a nemá žádný souvislý vlastní +faktor (podgraf jiný, než je graf $G$). diff --git a/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/16. Souvislost neorientovaného grafu.md b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/16. Souvislost neorientovaného grafu.md new file mode 100644 index 0000000..d11c0ed --- /dev/null +++ b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/16. Souvislost neorientovaného grafu.md @@ -0,0 +1,48 @@ +# Souvislost neorientovaného grafu + +Graf $G$ je **souvislý**, pokud pro každé dva vrcholy $x, y$ existuje v grafu $G$ cesta z $x$ do $y$. V opačném případě je graf $G$ nesouvislý. + +## Sled, cesta, tah + +**Sled** (z vrcholu $u$ do vrcholu $v$) v grafu $G$ je **libovolná posloupnost** ($u = v_{0}, v_{1}, \dots, v_{k} = v$), kde $v_{i}$ jsou **vrcholy grafu** $G$ a pro každé $i = 1, \dots, k$ je $v_{i-1}v_{i}$ hranou grafu $G$. Číslo $k$ je délka tohoto sledu. Říkáme, že sled prochází vrcholy $v_{0}, \dots, v_{k}$ nebo že na něm tyto vrcholy leží. +- Sled může procházet **vícekrát** **stejným vrcholem** i **stejnou hranou**. + +**Cesta** z $u$ do $v$ v grafu $G$ je sled $(u = v_{0}, v_{1}, \dots, v_{k} = v)$, ve kterém se **každý vrchol** $v_{i}$ objevuje **pouze jednou**. + +**Tah** z $u$ do $v$ v grafu $G$ je sled $(u = v_{0}, v_{1}, \dots, v_{k} = v)$, ve kterém se **každá hrana** objevuje **pouze jednou**. + +**Relace na množině vrcholů** $V(G)$ +- Relace $\sim$ s předpisem $u \sim v$, pokud v grafu $G$ existuje sled (sledová relace). +- vlastnosti sledové relace + - a) **reflexivní** - triviální sled nulové délky $(u)$ + - b) **symetrická** + - c) **tranzitivní** - složením sledů získáme opět sled + - reflexivní a tranzitivní = **ekvivalence** - rozklad množiny $V(G)$ na třídy ekvivalence + +### Komponenta grafu + +**Komponenty grafu** $G$ jsou všechny indukované podgrafy grafu $G$ na jednotlivých třídách ekvivalence $\sim$. + +- značí se $K$ +- $K$ je maximální souvislý podgrafy grafu $G$ + - nejde jej rozšířit o další vrchol, nemá-li ztratit souvislost + +Zjištění souvislosti grafu (komponenty grafu) +- lze využít Dijkstrův algoritmus + +## Kružnice + +**Uzavřený sled** v grafu $G$ je sled $(v_{0}, \dots, v_{k})$, ve kterém platí $v_{0} = v_{k}$. + +**Kružnice** v grafu $G$ je uzavřený sled délky alespoň 3, ve kterém se vrchol $v_{0}$ objevuje právě dvakrát a každý ostatní vrchol grafu nejvýše jednou. Číslo $k$ je délka dané kružnice. + +## Vlastnosti + +Nechť $v$ je vrchol grafu $G$. Graf $G-v$, vzniklý odstraněním vrcholu $v$, je definován jako indukovaný podgraf grafu $G$ na množině $V(G)-\{v\}$. +- Souvislý graf vždy **obsahuje vrchol**, jehož **odstraněním** graf **neztratí souvislost**. + +V souvislém grafu je $m \geq n-1$. +- $n$ - počet vrcholů +- $m$ - počet hran + +Pokud $n \geq 2$, pak v grafu $G$ existuje $u, v \in V(G)$ tak, že $G-u$ a $G-v$ jsou souvislé. \ No newline at end of file diff --git a/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/17. Souvislost orientovaného grafu.md b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/17. Souvislost orientovaného grafu.md new file mode 100644 index 0000000..ef451f8 --- /dev/null +++ b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/17. Souvislost orientovaného grafu.md @@ -0,0 +1,25 @@ +# Souvislost orientovaného grafu + +Pojmy **podgraf** a **indukovaný podgraf** jsou definovány stejně jako u neorientovaných grafů. + +## Symetrizace grafu + +Z orientovaného grafu můžeme snadno vyrobit neorientovaný graf tím, že "zapomeneme" orientaci všech hran. Případné smyčky odstraníme a násobné hrany nahradíme jednoduchými. + +## Slabá souvislost + +Řekneme, že orientovaný graf $G$ je (**slabě**) **souvislý**, je-li jeho symetrizace souvislá. + +## Silná souvislost + +Pro orientované grafy lze snadno upravit definice sledů, cest a kružnicí v grafu. + +**Orientovaný sled** z vrcholu $x$ do vrcholu $y$ v orientovaném grafu $G$ +je posloupnost vrcholů $(x = v_{0}, v_{1}, \dots, v_{k} = y)$, ve které je pro každé $i = 1, \dots, k$ +dvojice $v_{i−1}v_{i}$ hranou grafu $G$. + +**Orientovaná cesta** v $G$ je orientovaný sled, který obsahuje každý vrchol nejvýše jednou. + +**Cyklus** v $G$ je orientovaný sled, ve kterém je $v_{0} = v_{k}$, tento vrchol je v něm obsažen právě dvakrát a všechny ostatní nejvýše jednou. + +Orientovaný graf $G$ je **silně souvislý**, pokud v něm pro každou dvojici vrcholů $x, y$ existuje **orientovaná cesta** z $x$ do $y$ i orientovaná cesta z $y$ do $x$. \ No newline at end of file diff --git a/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/18. Eulerovské grafy.md b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/18. Eulerovské grafy.md new file mode 100644 index 0000000..dbfd069 --- /dev/null +++ b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/18. Eulerovské grafy.md @@ -0,0 +1,4 @@ +# Eulerovské grafy + +Tah z $u$ do $v$ v grafu $G$ je sled $(u = v_{0}, v_{1}, \dots, v_{k} = v)$, ve kterém se mohou opakovat vrcholy, ale hrany $v_{i−1}v_i$ jsou pro různá $i$ různé. Uzavřený tah je tah, který je uzavřeným sledem. Uzavřený tah je eulerovský, pokud používá každou hranu grafu $G$. +- Za jakých podmínek existuje sled, který používá každou hranu daného grafu právě jednou? \ No newline at end of file diff --git a/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/20. Incidenční matice grafu, totální unimodularita.md b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/20. Incidenční matice grafu, totální unimodularita.md new file mode 100644 index 0000000..1918c82 --- /dev/null +++ b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/20. Incidenční matice grafu, totální unimodularita.md @@ -0,0 +1,11 @@ +# Incidenční matice + +Nechť $G$ je orientovaný graf s vrcholy $V = \{v_{1}, \dots, v_{n}\}$ a hranami $E = \{e_{1}, \dots, e_{m}\}$. Předpokládáme, že graf $G$ neobsahuje smyčky. + +**Incidenční matice** $M(G)$ orientovaného grafu $G$ je reálná matice o rozměrech $n\times m$, definovaná vztahem $M(G) = (m_{ij})$, kde: + +$m_{ij} \begin{cases} 1 \quad \text{pokud hrana } e_{j} \text{ začíná ve vrcholu } v_{i}\\-1 \quad \text{pokud hrana } e_{j} \text{ končí ve vrcholu } v_{i}\\0 \quad \text{ jinak (} e_{j} \text{ nekoliduje s } v_{i}\text{)} \end{cases}$ + + + +# Totální unimodularita \ No newline at end of file