diff --git a/KFY FYI1/Priklad03.md b/KFY FYI1/Priklad03.md new file mode 100644 index 0000000..ef587a6 --- /dev/null +++ b/KFY FYI1/Priklad03.md @@ -0,0 +1,60 @@ +### Zadání + +Zjistěte, jak se pohybuje bodové těleso ve stacionárním homogenním silovém poli (takovým polem může být gravitační nebo elektrostatické pole v určité oblasti prostoru). + +- stacionární ($\vec F \neq \vec F(t)$) + - velikost ani směr síly nezávisí na čase +- homogenní ($\vec F \neq \vec F(\vec n)$) + - nezávisí na polohovém vektoru + - velikost a směr síly všude stejné +- předpoklad - $m = \text{konst.}$ + - II. Newtonův zákon (pohybové rovnice) + +$\vec F = m \cdot \vec a = m \cdot \frac{d\vec v}{dt}$ + +- $d\vec v = \frac{F}{m} \cdot dt \quad \text{/integrace}$ +- $\displaystyle \int^{\vec v}_{\vec v_{0}} d\vec v = \int^{t}_{0} \frac{\vec F}{m} \, dt = \frac{\vec F}{m} \int^t_{0} dt$ + +![](_assets/priklad3.svg) + +- $\vec F = [0, F, 0]$ +- $v_{0} = [v_{0x}, v_{0y}, 0]$ + ++ $\displaystyle \left[\vec v\right]^{\vec v}_{\vec v_{0}} = \frac{\vec F}{m}\left[t\right]^t_{0}$ ++ $\vec v - \vec v_{0} = \frac{\vec F}{m}(t-0)$ ++ $\vec v = [v_{x}, v_{y}, 0] = \frac{\vec F}{m}t + \vec v_{o}$ + + pohyb probíhá v rovině dané vektory $\vec F$ a $\vec v_{0}$ + +- $v_{x} = \frac{0}{m} \cdot t + v_{0x}$ +- $v_{x} = v_{0x}$ +- přímočarý rovnoměrný pohyb + ++ $v_{y} = \frac{F}{m} \cdot t + v_{0y}$ ++ přímočarý rovnoměrně zrychlený pohyb + +### Výpočet + +$\vec v = \left[ -\frac{m}{F} \cdot v_{ox}v_{oy}; -\frac{m}{2F} \cdot v_{oy}^2\right]$ + +- $v_{x} = \frac{dx}{dt} \implies x = \int v_{x} \, dt = \int v_{0x} \, dt = v_{0x} \cdot t + x_{0}$ + - $x = v_{0x} \cdot t + x_{0}$ +- $v_{y} = \frac{dy}{dt} \implies y = \int v_{y} \, dt = \int \frac{F}{m} \cdot t + v_{0y} \, dt = \frac{F}{2m} \cdot \frac{t^2}{2} + v_{0y} \cdot t + y_{0}$ + - $y = \frac{F}{2m} \cdot t^2 + v_{0y} \cdot t + y_{0}$ + +### Výsledky + ++ pro $t = 0 \implies x_{0} = y_{0} = 0$ + + $\displaystyle x = v_{0x} \cdot t \to t = \frac{x}{v_{0x}}$ + + $\displaystyle y = \frac{F}{2m}\left( \frac{x}{v_{0x}} \right)^2 + v_{0y} \cdot \left( \frac{x}{v_{0x}} \right) = \frac{F}{2m \cdot v_{0x}^2} \cdot x^2 + \frac{v_{0y}}{v_{0x}} \cdot x$ + + výsledek: rovnice paraboly + +- hledáme extrém (vrchol) paraboly +- $\displaystyle \frac{dy}{dx} |_{x = x_{v}} = 0$ + - $x_{v}$ - x-ová souřadnice vrcholu + + $\displaystyle\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dt}\left[ \frac{F}{2m\cdot v^2_{0x}} \cdot x^2 + \frac{v_{0y}}{v_{0x}} \cdot x \right] = \frac{F}{\cancel{2}m \cdot v^2_{0x}} \cdot \cancel{2} x_{v} + \frac{v_{0y}}{v_{0x}} \cdot 1 = 0$ + + $\displaystyle \frac{F}{m \cdot v^{\cancel{2}}_{0x}} \cdot \cancel{2} x_{v} = -\frac{v_{0y}}{\cancel{v_{0x}}}$ + ++ $\displaystyle x_{v} = -\frac{m}{F} \cdot v_{0x} \cdot v_{0y}$ ++ $\displaystyle y_{v} = \frac{F}{2m \cdot v_{0x}^2} \cdot x_{v}^2 + \frac{v_{0y}}{v_{0x}} \cdot x_{v} = \dots = -\frac{m}{2F} \cdot v_{0y}^2$ \ No newline at end of file diff --git a/KFY FYI1/_assets/priklad3.svg b/KFY FYI1/_assets/priklad3.svg new file mode 100644 index 0000000..ee2a523 --- /dev/null +++ b/KFY FYI1/_assets/priklad3.svg @@ -0,0 +1,4 @@ + + + +
v0
v0
vox
vox
voy
voy
F
F
yv
yv
xv
xv
parabola
parabolaText is not SVG - cannot display \ No newline at end of file