Přidání poznámek k číselným množinám a oprava číslování v M1
This commit is contained in:
parent
605a624911
commit
4e0445162e
|
|
@ -1,39 +0,0 @@
|
|||
# Posloupnosti
|
||||
|
||||
## Zadání
|
||||
|
||||
| typ | příklad |
|
||||
| ----------------------- | ------------------------------------------------------ |
|
||||
| explicitní | $a_n = 2n$ |
|
||||
| implicitní (rekurentní) | $\begin{cases} a_{n+1} = a_n + 2\\ a_1 = 1\end{cases}$ |
|
||||
|
||||
## Omezenost
|
||||
|
||||
Posloupnost $(a_n)$ s oborem hodnot $H$ je omezená (zdola, shora), je-li množina $H$ omezená (zdola, shora).
|
||||
|
||||
| značení | typ | příklad |
|
||||
| ------- | ----------------------- | --------- |
|
||||
| **O** | omezená (shora i zdola) | $(-1)^n$ |
|
||||
| **OS** | omezená shora | $4-n$ |
|
||||
| **OZ** | omezená zdola | $(n-8)^2$ |
|
||||
|
||||
### Minimum, maximum, infimum a supremum
|
||||
|
||||
Minimem (max, inf, sup) posloupnosti $(a_n)$ s oborem hodnot $H$ je minimem (max, inf, sup) množiny $H$
|
||||
|
||||
## Monotonie
|
||||
|
||||
Řekněme, že $(a_n)$ je
|
||||
|
||||
| značka | typ | podmínka |
|
||||
| ------ | --------------- | ------------------------------------------------------------- |
|
||||
| **R** | rostoucí | $\displaystyle \forall n \in \mathbb{N} \ \ \ a_{n+1} >= a_n$ |
|
||||
| **K** | klesající | $\displaystyle \forall n \in \mathbb{N} \ \ \ a_{n+1} <= a_n$ |
|
||||
| **OR** | ostře rostoucí | $\displaystyle \forall n \in \mathbb{N} \ \ \ a_{n+1} > a_n$ |
|
||||
| **OK** | ostře klesající | $\displaystyle \forall n \in \mathbb{N} \ \ \ a_{n+1} < a_n$ |
|
||||
| **M** | monotónní | je klesající nebo rostoucí |
|
||||
| **OM** | ostře monotónní | je ostře klesající nebo ostře rostoucí |
|
||||
|
||||
#### Zjištění monotonie
|
||||
1) Tipnu a ověřím
|
||||
2) Otazníčková metoda
|
||||
|
|
@ -0,0 +1,39 @@
|
|||
# Číselné množiny
|
||||
|
||||
$$\emptyset \subset \mathbb{N} \subset \mathbb{N}_{0} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{R}^* \quad \mathbb{R}^* = \mathbb{R} \, \cup \{ -\infty, +\infty \}$$
|
||||
Mějme neprázdnou množinu $A \subset \mathbb{R}$.
|
||||
|
||||
### Omezenost
|
||||
|
||||
| značka | typ | podmínka |
|
||||
| ------ | ------------- | ----------------------------------------------------------------- |
|
||||
| **OZ** | omezená zdola | $\exists \, d \in \mathbb{R} \quad \forall \, x \in A : d \leq x$ |
|
||||
| **OS** | omezená shora | $\exists \, h \in \mathbb{R} \quad \forall \, x \in A : x \leq h$ |
|
||||
| **O** | omezená | omezená shora i zdola |
|
||||
|
||||
### Minimum, maximum
|
||||
|
||||
| typ | podmínka | zápis |
|
||||
| ------- | -------------------------------------------------------- | ------------- |
|
||||
| minimum | $\exists \, a \in A \quad \forall \, x \in A : a \leq x$ | $a = \min(A)$ |
|
||||
| maximum | $\exists \, b \in A \quad \forall \, x \in A : x \leq b$ | $b = \max(A)$ |
|
||||
|
||||
### Infimum, supremum
|
||||
|
||||
Množina $A$ má **infimum**, pokud existuje $i \in \mathbb{R}^*$ takové, že platí
|
||||
1) $\forall \, x \in A : i \leq x$,
|
||||
2) $\forall \, x_{1} \in \mathbb{R} : i < x_{1} \implies (\exists \, x_{2} \in A : x_{2} < x_{1})$,
|
||||
- píšeme $i = \inf(A)$.
|
||||
|
||||
Množina $A$ má **supremum**, pokud existuje $s \in \mathbb{R}^*$ takové, že platí
|
||||
1) $\forall \, x \in A : x \leq s$,
|
||||
2) $\forall \, x_{1} \in \mathbb{R} : x_{1} < s \implies (\exists \, x_{2} \in A : x_{1} < x_{2})$,
|
||||
- značíme $s = \sup(A)$.
|
||||
|
||||
Pro každou neprázdnou množinu $A \subset \mathbb{R}$ platí
|
||||
1) $\exists! \, \inf A, \quad \exists! \, \sup A$,
|
||||
2) $\inf A \leq \sup A$,
|
||||
3) $\exists \, \min A \implies \inf A = \min A$,
|
||||
4) $\exists \, \max A \implies \sup A = \max A$,
|
||||
5) $A$ není omezená zdola $\Leftrightarrow \inf A = -\infty$,
|
||||
6) $A$ není omezená shora $\Leftrightarrow \sup A = +\infty$.
|
||||
|
|
@ -1,4 +1,45 @@
|
|||
# Limita
|
||||
# Posloupnosti
|
||||
|
||||
## Zadání
|
||||
|
||||
| typ | příklad |
|
||||
| ----------------------- | ------------------------------------------------------------- |
|
||||
| explicitní | $a_n = 2n$ |
|
||||
| implicitní (rekurentní) | $\begin{cases} a_{n+1} = a_n + 2 \newline a_1 = 2\end{cases}$ |
|
||||
| graf posloupnosti | $(n, a_{n})$ |
|
||||
|
||||
## Omezenost
|
||||
|
||||
Posloupnost $(a_n)$ s oborem hodnot $H$ je omezená (zdola, shora), je-li množina $H$ omezená (zdola, shora).
|
||||
|
||||
| značení | typ | příklad |
|
||||
| ------- | ----------------------- | --------- |
|
||||
| **O** | omezená (shora i zdola) | $(-1)^n$ |
|
||||
| **OS** | omezená shora | $4-n$ |
|
||||
| **OZ** | omezená zdola | $(n-8)^2$ |
|
||||
|
||||
### Minimum, maximum, infimum a supremum
|
||||
|
||||
Minimem (max, inf, sup) posloupnosti $(a_n)$ s oborem hodnot $H$ je minimem (max, inf, sup) množiny $H$.
|
||||
|
||||
## Monotonie
|
||||
|
||||
Řekněme, že posloupnost $(a_n)$ je
|
||||
|
||||
| značka | typ | podmínka |
|
||||
| ------ | --------------- | ------------------------------------------------------------- |
|
||||
| **R** | rostoucí | $\displaystyle \forall n \in \mathbb{N} \quad a_{n+1} >= a_n$ |
|
||||
| **K** | klesající | $\displaystyle \forall n \in \mathbb{N} \quad a_{n+1} <= a_n$ |
|
||||
| **OR** | ostře rostoucí | $\displaystyle \forall n \in \mathbb{N} \quad a_{n+1} > a_n$ |
|
||||
| **OK** | ostře klesající | $\displaystyle \forall n \in \mathbb{N} \quad a_{n+1} < a_n$ |
|
||||
| **M** | monotónní | je klesající nebo rostoucí |
|
||||
| **OM** | ostře monotónní | je ostře klesající nebo ostře rostoucí |
|
||||
|
||||
#### Zjištění monotonie
|
||||
1) Tipnu a ověřím
|
||||
2) Otazníčková metoda
|
||||
|
||||
## Limita
|
||||
|
||||
### Vlastní limita
|
||||
|
||||
Loading…
Reference in New Issue