diff --git a/KMA M1/1. Posloupnosti.md b/KMA M1/1. Posloupnosti.md deleted file mode 100644 index d51262b..0000000 --- a/KMA M1/1. Posloupnosti.md +++ /dev/null @@ -1,39 +0,0 @@ -# Posloupnosti - -## Zadání - -| typ | příklad | -| ----------------------- | ------------------------------------------------------ | -| explicitní | $a_n = 2n$ | -| implicitní (rekurentní) | $\begin{cases} a_{n+1} = a_n + 2\\ a_1 = 1\end{cases}$ | - -## Omezenost - -Posloupnost $(a_n)$ s oborem hodnot $H$ je omezená (zdola, shora), je-li množina $H$ omezená (zdola, shora). - -| značení | typ | příklad | -| ------- | ----------------------- | --------- | -| **O** | omezená (shora i zdola) | $(-1)^n$ | -| **OS** | omezená shora | $4-n$ | -| **OZ** | omezená zdola | $(n-8)^2$ | - -### Minimum, maximum, infimum a supremum - -Minimem (max, inf, sup) posloupnosti $(a_n)$ s oborem hodnot $H$ je minimem (max, inf, sup) množiny $H$ - -## Monotonie - -Řekněme, že $(a_n)$ je - -| značka | typ | podmínka | -| ------ | --------------- | ------------------------------------------------------------- | -| **R** | rostoucí | $\displaystyle \forall n \in \mathbb{N} \ \ \ a_{n+1} >= a_n$ | -| **K** | klesající | $\displaystyle \forall n \in \mathbb{N} \ \ \ a_{n+1} <= a_n$ | -| **OR** | ostře rostoucí | $\displaystyle \forall n \in \mathbb{N} \ \ \ a_{n+1} > a_n$ | -| **OK** | ostře klesající | $\displaystyle \forall n \in \mathbb{N} \ \ \ a_{n+1} < a_n$ | -| **M** | monotónní | je klesající nebo rostoucí | -| **OM** | ostře monotónní | je ostře klesající nebo ostře rostoucí | - -#### Zjištění monotonie -1) Tipnu a ověřím -2) Otazníčková metoda \ No newline at end of file diff --git a/KMA M1/1. Číselné množiny.md b/KMA M1/1. Číselné množiny.md new file mode 100644 index 0000000..38e5c07 --- /dev/null +++ b/KMA M1/1. Číselné množiny.md @@ -0,0 +1,39 @@ +# Číselné množiny + +$$\emptyset \subset \mathbb{N} \subset \mathbb{N}_{0} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{R}^* \quad \mathbb{R}^* = \mathbb{R} \, \cup \{ -\infty, +\infty \}$$ +Mějme neprázdnou množinu $A \subset \mathbb{R}$. + +### Omezenost + +| značka | typ | podmínka | +| ------ | ------------- | ----------------------------------------------------------------- | +| **OZ** | omezená zdola | $\exists \, d \in \mathbb{R} \quad \forall \, x \in A : d \leq x$ | +| **OS** | omezená shora | $\exists \, h \in \mathbb{R} \quad \forall \, x \in A : x \leq h$ | +| **O** | omezená | omezená shora i zdola | + +### Minimum, maximum + +| typ | podmínka | zápis | +| ------- | -------------------------------------------------------- | ------------- | +| minimum | $\exists \, a \in A \quad \forall \, x \in A : a \leq x$ | $a = \min(A)$ | +| maximum | $\exists \, b \in A \quad \forall \, x \in A : x \leq b$ | $b = \max(A)$ | + +### Infimum, supremum + +Množina $A$ má **infimum**, pokud existuje $i \in \mathbb{R}^*$ takové, že platí +1) $\forall \, x \in A : i \leq x$, +2) $\forall \, x_{1} \in \mathbb{R} : i < x_{1} \implies (\exists \, x_{2} \in A : x_{2} < x_{1})$, +- píšeme $i = \inf(A)$. + +Množina $A$ má **supremum**, pokud existuje $s \in \mathbb{R}^*$ takové, že platí +1) $\forall \, x \in A : x \leq s$, +2) $\forall \, x_{1} \in \mathbb{R} : x_{1} < s \implies (\exists \, x_{2} \in A : x_{1} < x_{2})$, +- značíme $s = \sup(A)$. + +Pro každou neprázdnou množinu $A \subset \mathbb{R}$ platí +1) $\exists! \, \inf A, \quad \exists! \, \sup A$, +2) $\inf A \leq \sup A$, +3) $\exists \, \min A \implies \inf A = \min A$, +4) $\exists \, \max A \implies \sup A = \max A$, +5) $A$ není omezená zdola $\Leftrightarrow \inf A = -\infty$, +6) $A$ není omezená shora $\Leftrightarrow \sup A = +\infty$. \ No newline at end of file diff --git a/KMA M1/2. Limita.md b/KMA M1/2. Posloupnosti.md similarity index 60% rename from KMA M1/2. Limita.md rename to KMA M1/2. Posloupnosti.md index 0313333..56b6bce 100644 --- a/KMA M1/2. Limita.md +++ b/KMA M1/2. Posloupnosti.md @@ -1,4 +1,45 @@ -# Limita +# Posloupnosti + +## Zadání + +| typ | příklad | +| ----------------------- | ------------------------------------------------------------- | +| explicitní | $a_n = 2n$ | +| implicitní (rekurentní) | $\begin{cases} a_{n+1} = a_n + 2 \newline a_1 = 2\end{cases}$ | +| graf posloupnosti | $(n, a_{n})$ | + +## Omezenost + +Posloupnost $(a_n)$ s oborem hodnot $H$ je omezená (zdola, shora), je-li množina $H$ omezená (zdola, shora). + +| značení | typ | příklad | +| ------- | ----------------------- | --------- | +| **O** | omezená (shora i zdola) | $(-1)^n$ | +| **OS** | omezená shora | $4-n$ | +| **OZ** | omezená zdola | $(n-8)^2$ | + +### Minimum, maximum, infimum a supremum + +Minimem (max, inf, sup) posloupnosti $(a_n)$ s oborem hodnot $H$ je minimem (max, inf, sup) množiny $H$. + +## Monotonie + +Řekněme, že posloupnost $(a_n)$ je + +| značka | typ | podmínka | +| ------ | --------------- | ------------------------------------------------------------- | +| **R** | rostoucí | $\displaystyle \forall n \in \mathbb{N} \quad a_{n+1} >= a_n$ | +| **K** | klesající | $\displaystyle \forall n \in \mathbb{N} \quad a_{n+1} <= a_n$ | +| **OR** | ostře rostoucí | $\displaystyle \forall n \in \mathbb{N} \quad a_{n+1} > a_n$ | +| **OK** | ostře klesající | $\displaystyle \forall n \in \mathbb{N} \quad a_{n+1} < a_n$ | +| **M** | monotónní | je klesající nebo rostoucí | +| **OM** | ostře monotónní | je ostře klesající nebo ostře rostoucí | + +#### Zjištění monotonie +1) Tipnu a ověřím +2) Otazníčková metoda + +## Limita ### Vlastní limita