From 4eacaaae92f470bd2469f281fbece61031f7626c Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Filip Znachor Date: Sat, 3 Dec 2022 12:47:17 +0100 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?Pozn=C3=A1mky=20z=20M1=20a=20LAA?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- .gitignore | 1 + KMA LAA/0. Komplexní čísla.md | 9 ++ KMA LAA/1. Polynomy.md | 82 ++++++++++++++ KMA LAA/2. Matice.md | 100 +++++++++++++++++ KMA LAA/3. Lineární vektorové prostory.md | 45 ++++++++ KMA LAA/4. Determinant matice.md | 0 KMA LAA/5. Hodnost matice.md | 15 +++ KMA LAA/6. Lineární zobrazení.md | 25 +++++ KMA LAA/7. Soustavy lineárních rovnic.md | 2 + KMA LAA/8. Vlastní čísla a vlastní vektory.md | 32 ++++++ KMA M1/1. Posloupnosti.md | 106 ++++++++++++++++++ KMA M1/2. Limita.md | 5 + KMA M1/3. Funkce.md | 84 ++++++++++++++ KMA M1/4. Derivace funkce.md | 38 +++++++ 14 files changed, 544 insertions(+) create mode 100644 .gitignore create mode 100644 KMA LAA/0. Komplexní čísla.md create mode 100644 KMA LAA/1. Polynomy.md create mode 100644 KMA LAA/2. Matice.md create mode 100644 KMA LAA/3. Lineární vektorové prostory.md create mode 100644 KMA LAA/4. Determinant matice.md create mode 100644 KMA LAA/5. Hodnost matice.md create mode 100644 KMA LAA/6. Lineární zobrazení.md create mode 100644 KMA LAA/7. Soustavy lineárních rovnic.md create mode 100644 KMA LAA/8. Vlastní čísla a vlastní vektory.md create mode 100644 KMA M1/1. Posloupnosti.md create mode 100644 KMA M1/2. Limita.md create mode 100644 KMA M1/3. Funkce.md create mode 100644 KMA M1/4. Derivace funkce.md diff --git a/.gitignore b/.gitignore new file mode 100644 index 0000000..dd33554 --- /dev/null +++ b/.gitignore @@ -0,0 +1 @@ +.obsidian diff --git a/KMA LAA/0. Komplexní čísla.md b/KMA LAA/0. Komplexní čísla.md new file mode 100644 index 0000000..383c058 --- /dev/null +++ b/KMA LAA/0. Komplexní čísla.md @@ -0,0 +1,9 @@ +# Komplexní čísla + +z = a + bi + +$i^2 = -1$ + +### Komplexně sdružené číslo + +Komplex. sdružené číslo k $x = a + bi$ je $\overline{x} = a - bi$ \ No newline at end of file diff --git a/KMA LAA/1. Polynomy.md b/KMA LAA/1. Polynomy.md new file mode 100644 index 0000000..93da7f6 --- /dev/null +++ b/KMA LAA/1. Polynomy.md @@ -0,0 +1,82 @@ +# Polynomy + +Nechť $a_0, \dots , a_n$ jsou komplexní čísla, $n \geq 0$ přirozené. + +Polynomem (mnohočlenem) $p$ proměnné $x$ nazýváme předpis + +$$p(x) = a_nx^n + a_{n−1}x^{n−1} + . . . + a_{1}x + a_0 \ \ \ \forall x \in C, a_{n} \neq 0$$ + +neboli + +$$\displaystyle p(x) = \sum^n_{i=0} a_{i}x^i$$ + +Hodnoty $a_i$ nazýváme **koeficienty** polynomu $p(x)$. + +### Stupeň polynomu + +Stupeň polynomu $p(x)$ je **nejvyšší mocnina proměnné $x$** u níž je nenulový koeficient. + +### Nulový polynom + +Nulový polynom je polynom, který má všechny **koeficienty rovny 0**. + +### Operace s polynomy + +1) Rovnost: $p(x) = q(x)$ + $p(x) = 3x^2 - 8x + 6$ + $q(x) = 6 - 3x^2 - 8x + 6x^2$ + +2) Opačný polynom: $-p(x)$ + $p(x) = 3x^2 - 8x + 6$ + $-p(x) = -3x^2 + 8x - 6$ + +3) Součet: $p(x) + q(x)$ + $p(x) + q(x) = 6x^2 - 16x + 12$ + +4) Rozdíl: $p(x) - q(x)$ + $p(x) - q(x) = u(x) = o$ + +5) k-násobek: $k \times p(x)$ + $-3 \times p(x) = -9x^2 + 24x - 18$ + +6) Součin: $p(x) \times q(x)$ + $p(x) \times q(x) = 9x^4 - 48x^3 + 100x^2 - 96x + 36$ + +7) Podíl: $\frac{p(x)}{q(x)}$ + písemné dělení + +### Funkční hodnota v bodě + +Hornerovo schématem, kde $c$ je požadovaná hodnota. + +### Kořen + +Nechť $p(x)$ je polynom proměnné $x$. Číslo $c \in C$ takové, že $p(c) = 0$ nazveme kořenem polynomu $p(x)$. + +Každý polynom stupně alespoň 1 má v $C$ alespoň jeden kořen. + +Je-li $c$ kořenem polynomu $p(x)$, pak $p(x) = s(x) (x − c)$, kde $st(s(x)) = st(p(x)) − 1$. + +#### Komplexní rozklad na součin kořenových činitelů + +Každý polynom $p(x)$ stupně $n$ lze vyjádřit ve tvaru $p(x) = (x − c_1)(x − c_2)(x − c_3) \dots (x − c_n)$, kde $c_1, c_2, \dots c_n$ jsou všechny kořeny polynomu $p(x)$. + +Hodnoty $c_1, c_2, \dots, c_n$ nemusí být nutně navzájem různé. Každý polynom stupně $n \ge 1$ má v $C$ právě $n$ kořenů. + +#### Reálný rozklad na součin kořenových činitelů + +Sdružíme-li dvojice komplexně sdružených kořenů a následně jejich kořenové činitele roznásobíme, získáme reálný rozklad na součin kořenových činitelů. + +Polynom $p(x)$ pak je ve tvaru + +$$p(x)$ = $a_n(x−c_1)(x−c_2) \dots (x−c_k)(x^2+u_1x+v_1)(x^2+u_2x+v_2) \dots (x^2+u_mx+v_m),$$ + +kde $c_1, c_2, \dots, c_k$ jsou reálné kořeny polynomu $p(x)$, $b_1, \overline{b_1}, b_2, \overline{b_2}, \dots, b_m, \overline{b_m}$ jsou všechny dvojice komplexně sdružených kořenů $p(x)$ a $x^2 + u_ix + v_i = (x − b_i)(x − \overline{b_i})$. + +### Speciální typy polynomů +- binomické + - $x^n + a_0$ - přes vzorce $a^2 − b^2$, $a^3 ± b^3$ atd., nebo přes $n$-tou odmocninu $a_0$ +- reciproké + - platí, že $a_{n−i} = a_i$ pro všechna $i$, nebo $a_{n−i} = −a_i$ pro všechna $i$ - kořeny ±1, substituce $y = x + 1/x$ +- trinomické + - $a_{2k}x^{2k} + a_{k}x^k + a_{0}$ - substituce typu $y = x^k$ \ No newline at end of file diff --git a/KMA LAA/2. Matice.md b/KMA LAA/2. Matice.md new file mode 100644 index 0000000..c988457 --- /dev/null +++ b/KMA LAA/2. Matice.md @@ -0,0 +1,100 @@ +# Matice + +Maticí **typu m/n** nazveme soubor (tabulku) m x n prvků (čísel) $a_{ij}$ zapsaných do **m řádků** a **n sloupců**. + +| značení | význam | +| ---------- | -------------------------- | +| ($i$, $j$) | pozice v matici | +| $a_{ij}$ | prvek na pozici ($i$, $j$) | +| $i$ | řádkový index | +| $a_{kk}$ | diagonální prvek matice | +| $m/n$ | typ matice: $m$ řádků, $n$ sloupců | + +### Názvy matic + +##### Tvarové +- **Čtvercová matice** + - mají stejný počet řádků a sloupců +- **Obdélníková matice** + - rozdílný počet řádků a sloupců +- **$m$-složkový sloupcový vektor** + - matice typu $m/1$ +- **$n$-složkový řádkový vektor** + - matice typu $1/n$ + +##### Další +- **Nulová matice** + - matice $m/n$ plná nul, značíme 0 + $$\begin{bmatrix} + 0 & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 0 + \end{bmatrix}$$ +- **Diagonální matice** + - čtvercová matice s nenulovými čísly pouze na diagonále + $$diag\{1, -3, 0\} = A = \begin{bmatrix} + -1 & 0 & 0 \\ + 0 & -3 & 0 \\ + 0 & 0 & 0 + \end{bmatrix}$$ +- **Jednotková matice** + - diagonální matice s 1 na diagonále + $$I = \begin{bmatrix} + 1 & 0 & 0 \\ + 0 & 1 & 0 \\ + 0 & 0 & 1 + \end{bmatrix}$$ +- **Symetrická matice** + - čtvercová matice, kde se $a_{ij}$ rovná $a_{ji}$ + $$A_{1} = \begin{bmatrix} + 1 & \underline{2} & \underline{1} \\ + \underline{2} & 1 & \underline{0} \\ + \underline{1} & \underline{0} & 3 + \end{bmatrix}$$ +- **Antisymetrická matice** + - čtvercová matice, kde se $a_{ij}$ rovná -$a_{ji}$ + $$A_{2} = \begin{bmatrix} + 0 & \underline{2} & \underline{-1} \\ + \underline{-2} & 0 & \underline{3} \\ + \underline{1} & \underline{-3} & 0 + \end{bmatrix}$$ + - **Poznámka**: V antisymetrické matici jsou všechny prvky $a_{ii} = 0$ +- **Horní a dolní trojůhelníková matice** + - Pro H platí $a_{ij} = 0$ pro všechna $i > j$ + - Pro D platí $a_{ij} = 0$ pro všechna $i < j$ + $$H = \begin{bmatrix} + 1 & 2 & 1 \\ + 0 & 3 & 0 \\ + 0 & 0 & 4 + \end{bmatrix} \ \ \ D = \begin{bmatrix} + 1 & 0 & 0 \\ + 2 & 2 & 0 \\ + 1 & 1 & 0 + \end{bmatrix}$$ + +### Operace + +- **Rovnost** + - $A = B$ pokud všechny $a_{ij} = b_{ij}$ +- **Opačná matice** + - matice $[-a_{ij}]$ značená $-A$ je opačná matice k matici $A$ +- **Transponovaná matice** + - matice $a_{ji}$ typu $n/m$ značená $A^T$ je transponovaná k matici $a_{ij}$ typu $m/n$ značené $A$ + $$A = \begin{bmatrix} + 1 & 2 & 3 \\ + 4 & 5 & 6 + \end{bmatrix} \ \ \ A^T = \begin{bmatrix} + 1 & 4 \\ + 2 & 5 \\ + 3 & 6 + \end{bmatrix}$$ + - z toho plyne: + - $A$ je symetrická, právě když $A = A^T$ + - $A$ je antisymetrická, právě když $A = -A^T$ + - $(A^T)^T = A$ +- **Sčítání a odčítání** + - sčítáme/odčítáme prvky na stejných pozicí +- **Násobení konstantou** + - vynásobíme všechny členy konstantou +- **Násobení dvou matic** + - nekomutativní + - matice $A_{m/\underline{n}}$ a $B_{\underline{n}/p}$ \ No newline at end of file diff --git a/KMA LAA/3. Lineární vektorové prostory.md b/KMA LAA/3. Lineární vektorové prostory.md new file mode 100644 index 0000000..f24d033 --- /dev/null +++ b/KMA LAA/3. Lineární vektorové prostory.md @@ -0,0 +1,45 @@ +# Lineární vektorové prostory + +Příklady: + +| zápis | typ | +| ---------- | ------------------------------------------- | +| $R^2, R^3$ | geometrické vektory o 2, resp. 3 složkách | +| $R^n$ | n-tice reálných čísel (aritmetické vektory) | +| $M_{m,n}$ | všechny matice typu m/n (nad $R$, nad $C$) | +| $P_n$ | všechny polynomy stupně nejvýše n | +| $C(a,b)$ | všechny funkce spojité na $$ | + +Vektorový prostor V nad tělesem K: +- sčítání: $V + V \to V$ +- násobení: $K \times V \to V$ + +| typ | pro všechna | platí | +| --- | ------------------------------------------------- | --------------------------------------------------------------- | +| S | $\forall \vec{u}, \vec{v} \in V$ | $\vec{u} + \vec{v} = \vec{w}$ | +| S | $\forall \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \in V$ | $\vec{u} + (\vec{v} + \vec{w}) = (\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w}$ | +| S | $\exists \vec{o} \in V : \forall \vec{u} \in V$ | $\vec{u} + \vec{o} = \vec{u}$ | +| S | $\forall \vec{u} \in V \ \ \exists \vec{v} \in V$ | $\vec{u} + \vec{v} = \vec{o}$ | +| N | $\forall \vec{u} \in V, \forall a, b \in K$ | $a \times (b \times \vec{u}) = (a \times b) \times \vec{u}$ | +| N | $\forall \vec{u} \in V$ | $1 \times \vec{u} = \vec{u}$ | +| D | $\forall \vec{u} \in V, \forall a, b \in K$ | $(a + b) \times \vec{u} = a\vec{u} + b\vec{u}$ | +| D | $\forall \vec{u}, \vec{v} \in V, \forall a \in K$ | $a \times (\vec{u} + \vec{v}) = a\vec{u} + a\vec{v}$ | + +Mějme vektorový prostor V nad tělesem K. Množina $U \subseteq V$ je podprostorem V, pokud platí: +1) $\forall \vec{u}, \vec{v} \in U : \vec{u} + \vec{v} \in U$ +2) $\forall \vec{u} \in U, \forall a \in K : a \times \vec{u} \in U$ + - vyplývá, že v $U$ bude nulový vektor + +Každý podprostor vektorového prostoru je také vektorovým prostorem. + +### Lineární obal + +- všechny lineární kombinace zadaných vektorů +- $<\vec{u}; \vec{v}>$ + +### Operace s podprostory + +- Sjednocení $u_{1} \cup u_{2}$ + - Musí platit: + - $u_{1} \subseteq u_{2}$ + - $u_{2} \subseteq u_{1}$ \ No newline at end of file diff --git a/KMA LAA/4. Determinant matice.md b/KMA LAA/4. Determinant matice.md new file mode 100644 index 0000000..e69de29 diff --git a/KMA LAA/5. Hodnost matice.md b/KMA LAA/5. Hodnost matice.md new file mode 100644 index 0000000..243bb3e --- /dev/null +++ b/KMA LAA/5. Hodnost matice.md @@ -0,0 +1,15 @@ +# Hodnost matice + +- počet nenulových řádků matice + +#### Dělení matic +- **Regulární matice** + - její hodnost se rovná jejímu řádu - $hod(A) = n$ + - její determinant je nenulový - $\det{A} \neq 0$ + - existuje k ní inverzní matice - $\mbox{existuje } A^{-1}$ +- **Singulární matice** + - její hodnost se je menší než její řádu - $hod(A) < n$ + - její determinant je 0 - $\det{A} = 0$ + - neexistuje k ní inverzní matice - $\mbox{neexistuje } A^{-1}$ + +### Určení hodnosti pomocí determinantu \ No newline at end of file diff --git a/KMA LAA/6. Lineární zobrazení.md b/KMA LAA/6. Lineární zobrazení.md new file mode 100644 index 0000000..8edd406 --- /dev/null +++ b/KMA LAA/6. Lineární zobrazení.md @@ -0,0 +1,25 @@ +# Lineární zobrazení + +$U = R^4$ - před zobrazením +$V = R^3$ - po zobrazení +$L : U \to V$ + +### Ověření linearity zobrazení + +- zkontrolovat, že platí + - $L(V + V) = L(V) + L(V)$ + - $L(k \times V) = k \times L(V)$ + +### Jádro + +- všechny LK vektorů před zobrazením, které se po zobrazení rovnají 0 +- zjištění přes zjištění LK + - $Ker \ L = \{ L(V) = 0 \}$ +- zápis: $Ker \ L = {<\vec u; \vec v>}$ + +![[linearni-zobrazeni-jadro.png]] + +### Obraz + +- všechny LK vektorů po zobrazení +- zápis: $Im \ L = {<\vec u; \vec v>}$ \ No newline at end of file diff --git a/KMA LAA/7. Soustavy lineárních rovnic.md b/KMA LAA/7. Soustavy lineárních rovnic.md new file mode 100644 index 0000000..6e4a9a2 --- /dev/null +++ b/KMA LAA/7. Soustavy lineárních rovnic.md @@ -0,0 +1,2 @@ +# Soustavy lineárních rovnic + diff --git a/KMA LAA/8. Vlastní čísla a vlastní vektory.md b/KMA LAA/8. Vlastní čísla a vlastní vektory.md new file mode 100644 index 0000000..f102ef0 --- /dev/null +++ b/KMA LAA/8. Vlastní čísla a vlastní vektory.md @@ -0,0 +1,32 @@ +# Vlastní čísla + +- $A \times \vec{u} = \lambda \times \vec{u}$ + $\vec{u} \in U \smallsetminus \{o\}$ + +- $(A-\lambda I) \times \vec{u} = o$ + +#### Vlastní čísla + +1. Vypočítáme determinant matice + $\det{(\lambda I - A)}$ +2. V průběhu si zkusíme vytknout něco s lambdou, např. $(\lambda-5)$ +3. Výsledek zapíšeme ve tvaru $(\lambda-5)(\lambda+2)^2$ a získáme kořeny + $(\lambda_{1} = 5, \lambda_{2,3} = -2)$ + +#### Vlastní vektory + +1. Dosadíme vlastní číslo za lambdu +2. Vypočítáme GJEM z matice s dosazenou lambdou +3. Pomocí $n-hod(\lambda I-A)$ zjistíme počet dosazovaných LN vektorů +4. Do vlastního vektoru odzadu dosadíme LN vektory (pokud jen 1, dosadíme nenulové číslo) +5. Dopočítáme pomocí rovnic v matici zbytek souřadnic + např.: $h_{1} = [2, -1, 1]^T$ + +Pokud nám chybí některé $h_{i}$ (máme vícenásobné vl. číslo ale $n-hod(\lambda I-A)$ vyjde menší), je možné $h_3$ dopočítat opakováním postupu pro $(\lambda I-A)\times x = -h_{2}$. + +Vlastním vektorem $h_{1} = [2, -1, 1]$ se myslí $t\times [2, -1, 1], t\in R$ + +#### Jordanův kanonický tvar + +1. Na diagonálu dáme jednotlivá vlastní čísla +2. Pokud jsme dopočítávali vlastní vektor pro některé vlastní číslo, je potřeba dát 1 nad diagonálu u Jordanova bloku \ No newline at end of file diff --git a/KMA M1/1. Posloupnosti.md b/KMA M1/1. Posloupnosti.md new file mode 100644 index 0000000..94ad38c --- /dev/null +++ b/KMA M1/1. Posloupnosti.md @@ -0,0 +1,106 @@ +# Posloupnosti + +## Zadání + +| typ | příklad | +| ----------------------- | ------------------------------------------------------ | +| explicitní | $a_n = 2n$ | +| implicitní (rekurentní) | $\begin{cases} a_{n+1} = a_n + 2\\ a_1 = 1\end{cases}$ | + +## Omezenost + +Posloupnost $(a_n)$ s oborem hodnot $H$ je omezená (zdola, shora), je-li množina $H$ omezená (zdola, shora). + +| značení | typ | příklad | +| ------- | ----------------------- | --------- | +| **O** | omezená (shora i zdola) | $(-1)^n$ | +| **OS** | omezená shora | $4-n$ | +| **OZ** | omezená zdola | $(n-8)^2$ | + +### Minimum, maximum, infimum a supremum + +Minimem (max, inf, sup) posloupnosti $(a_n)$ s oborem hodnot $H$ je minimem (max, inf, sup) množiny $H$ + +## Monotonie + +Řekněme, že $(a_n)$ je + +| značka | typ | podmínka | +| ------ | --------------- | ------------------------------------------------------------- | +| **R** | rostoucí | $\displaystyle \forall n \in \mathbb{N} \ \ \ a_{n+1} >= a_n$ | +| **K** | klesající | $\displaystyle \forall n \in \mathbb{N} \ \ \ a_{n+1} <= a_n$ | +| **OR** | ostře rostoucí | $\displaystyle \forall n \in \mathbb{N} \ \ \ a_{n+1} > a_n$ | +| **OK** | ostře klesající | $\displaystyle \forall n \in \mathbb{N} \ \ \ a_{n+1} < a_n$ | +| **M** | monotónní | je klesající nebo rostoucí | +| **OM** | ostře monotónní | je ostře klesající nebo ostře rostoucí | + +#### Zjištění monotonie +1) Tipnu a ověřím +2) Otazníčková metoda + +## Limita + +### Vlastní limita + +Posloupnost $(a_n)$ má vlastní limitu $a \in R$, pokud + $\displaystyle \forall \epsilon \in R > 0 \ \ \ \exists n_{0} \in N \ \ \ \forall n \in N : n > n_{0} \implies |a_{n} - a| < \epsilon$ + +Píšeme $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = a$ nebo $a_{n} \to a$ + +Pozn.: $a - \epsilon < a_{n} < a + \epsilon$ +- Pro jakoukoli šířku pásma existuje standardní hodnota, všechna následující $n$ mají $a_n$ uvnitř $\epsilon$-pásem + +### Nevlastní limita + +Posloupnost $(a_n)$ má nevlastní limitu $+\infty$, pokud + +$\displaystyle \forall h > 0 \ \ \ \exists n_{0} \ \ \ \forall n \in N : n > n_{0} \implies a_{n} > h$ + +$\displaystyle \forall d < 0 \ \ \ \exists n_{0} \ \ \ \forall n \in N : n > n_{0} \implies a_{n} < d$ + +Píšeme + $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = +\infty$ nebo $a_{n} \to +\infty$ + $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = -\infty$ nebo $a_{n} \to -\infty$ + +### Jednoznačnost limity + +Každá posloupnost má nejvýše 1 limitu + +### Algebra vlastních limit + +Nechť $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = a$ a $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } b_{n} = b$, pak +1) $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } (\alpha \times a_{n} + \beta \times b_{n}) = \alpha \times a + \beta \times b$, pokud je pravá strana definována, + +2) $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } (a_{n} \times b_{n}) = a \times b$, pokud je pravá strana definována, + +3) $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } (\frac{a_{n}}{b_{n}}) = \frac{a}{b}$, pokud $b_{n} \neq 0$ pro všechna $n \in N$ a pokud je pravá strana definována + +### Eulerovo číslo + +- je definováno jako $\displaystyle e := \lim_{ n \to \infty } \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$ = |"NV $1^\infty$"| +- alternativní definice: $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}$ + +## Konvergence a divergence + +Řekněme, že $(a_n)$ je + +| značka | typ | podmínka | +| ------ | ----------------------- | -------------------------------- | +| **K** | konvergentní | má-li vlastní / konečnou limitu | +| **D** | divergentní | není-li konvergentní | +| | divergentní k $+\infty$ | má-li nevlastní limitu $+\infty$ | +| | divergentní k $-\infty$ | má-li nevlastní limitu $-\infty$ | + +### Omezenost a limity +1) Je-li posloupnost konvergentní (**K**), pak je i omezená (**O**) + +2) Diverguje-li posloupnost k $+\infty$, pak je omezená pouze zdola (**OZ**) + +3) Diverguje-li posloupnost k $-\infty$, pak je omezená pouze shora (**OS**) + +Dále také +1) Je-li $(a_n)$ monotónní (**M**) a omezená (**O**), pak je i konvergentní (**K**) + +2) Je-li $(a_n)$ rostoucí (**R**) a omezená (**O**), pak $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = sup \ a_{n}$ a $min \ a_{n} = a_{1}$ + +3) Je-li $(a_n)$ klesající (**K**) a omezená (**O**), pak $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = inf \ a_{n}$ a $max \ a_{n} = a_{1}$ \ No newline at end of file diff --git a/KMA M1/2. Limita.md b/KMA M1/2. Limita.md new file mode 100644 index 0000000..5e45870 --- /dev/null +++ b/KMA M1/2. Limita.md @@ -0,0 +1,5 @@ +# Limita + +### Vlastní + +todo \ No newline at end of file diff --git a/KMA M1/3. Funkce.md b/KMA M1/3. Funkce.md new file mode 100644 index 0000000..601b9bc --- /dev/null +++ b/KMA M1/3. Funkce.md @@ -0,0 +1,84 @@ +# Funkce + +- definována + - **funkčním předpisem** ($f(x) = x^2$) + - **definičním oborem** ($D_{f} = \mathbb{R}$) + +### Definiční obor $D_{f}$ +- všechny hodnoty, kterých může funkce nabývat **na ose X** +- je možné jím **funkci omezit** (např.: $D_{f} = (0, 1)$) +- zjišťuje se **hledáním** definičních oborů **jiných funkcí nebo operací** (např.: $\sqrt{ -2 }$ nebo $\frac{1}{0}$) + +### Obor hodnot $H_{f}$ +- všechny hodnoty, kterých může funkce nabývat **na ose Y** + +### Monotonie funkce +| značka | typ | podmínka | +| ------ | --------------- | ------------------------------------------------------------------------- | +| **R** | rostoucí | $\displaystyle \forall x,y \in D_{f} : x < y \implies f(x) \leq f(y)$ | +| **K** | klesající | $\displaystyle \forall x,y \in D_{f} : x < y \implies f(x) \geq f(y)$ | +| **OR** | ostře rostoucí | $\displaystyle \forall x,y \in D_{f} : x < y \implies f(x) \lt f(y)$ | +| **OK** | ostře klesající | $\displaystyle \forall x,y \in D_{f} : x < y \implies f(x) \gt f(y)$ | +| **M** | monotónní | je klesající nebo rostoucí | +| **OM** | ostře monotónní | je ostře klesající nebo ostře rostoucí | + +### Symetrie +- **Sudá** + - symetrická podle osy Y + - $\forall x\in D_{f} :$ + - $-x \in D_{f}$ + - $f(x) = f(-x)$ +- **Lichá** + - symetrická podle bodu [0, 0] + - $\forall x\in D_{f} :$ + - $-x \in D_{f}$ + - $f(-x) = -f(x)$ + +### Omezenost +| značka | typ | podmínka | +| ------ | ------------- | ------------------------------------------------------------------ | +| **OZ** | omezená zdola | $\exists d \in \mathbb{R} : \forall x \in D_{f} \ \ \ f(x) \geq d$ | +| **OS** | omezená shora | $\exists h \in \mathbb{R} : \forall x \in D_{f} \ \ \ f(x) \leq h$ | +| **O** | omezená | pokud je **OZ** i **OS** | + +### Prostá funkce + +- žádná hodnota se v oboru hodnot neopakuje +- $\forall x_{1}, x_{2} \in D_{f} : x_{1} \neq x_{2} \implies f(x_{1}) \neq f(x_{2})$ + +### Periodicita + +- periodická funkce s periodou $T > 0$ +- $\forall x \in D_{f} :$ + - $x \pm T \in D_{f}$ + - $f(x \pm T) = f(x)$ + +### Konvexní / konkávní + +- konvexní: šťastný smajlík +- konkávní: smutný smajlík + +### Inverzní funkce + +- funkce, která přiřazuje prvky „opačně“ než funkce původní +- existuje pouze u funkcí **prostých** +- $f(x)=y \leftrightarrow f^{-1}(y)=x$ + +### Skládání funkcí +- zapisuje se: $f \circ g$ +- funkce se skládají do sebe + - druhá bude vložena do první $f(g(x))$ + +### Průběh funkce + +Hrubé schéma + +1. $D_f$ + limity v krajních bodech +2. spojitost na $D_f$, body nespojitosti +3. symetrie (sudá / lichá) +4. periodicita +5. znaménko $f(x)$ + průsečíky s osou $x$ +6. znaménko $f'(x)$ + monotonie + extrémy +7. znaménko $f''(x)$ + konvexita/konkávita + inflexe +8. asymptoty v krajních bodech $D_f$ +9. $H_f$ \ No newline at end of file diff --git a/KMA M1/4. Derivace funkce.md b/KMA M1/4. Derivace funkce.md new file mode 100644 index 0000000..a7ce374 --- /dev/null +++ b/KMA M1/4. Derivace funkce.md @@ -0,0 +1,38 @@ +# Derivace funkce + +- rychlost růstu či klesání funkce + +### Tabulka derivací + +| funkce | derivace | +| ------------------- | --------------------------- | +| $x^a$ | $ax^{a-1}$ | +| $e^x$ | $e^x$ | +| $a^x$ | $a^x \ln a$ | +| $\ln x$ | $\frac{1}{x}$ | +| $\log_{a} x$ | $\frac{1}{x \ln a}$ | +| $\sin x$ | $\cos x$ | +| $\cos x$ | $-\sin x$ | +| $\mbox{tg } x$ | $\frac{1}{\cos^2 x}$ | +| $\mbox{cotg } x$ | $-\frac{1}{\sin^2 x}$ | +| $\arcsin x$ | $\frac{1}{\sqrt{ 1-x^2 }}$ | +| $\arccos x$ | $-\frac{1}{\sqrt{ 1-x^2 }}$ | +| $\mbox{arctg } x$ | $\frac{1}{1+x^2}$ | +| $\mbox{arccotg } x$ | $-\frac{1}{1+x^2}$ | +| $\sinh x$ | $\cosh x$ | +| $\cosh x$ | $\sinh x$ | +| $\mbox{tgh } x$ | $\frac{1}{\cosh^2 x}$ | +| $\mbox{cotgh } x$ | $\frac{1}{\sinh^2 x}$ | + +### Tečna a normála + +- zjištění tečny a normály v bodě funkce ($x_{0}$) + 1. najdeme tečný bod $T[x_{0}, y_{0}]$ + - $y_{0} = f(x_{0})$ + 2. zderivujeme $f(x)$ a dosadíme do derivace $x_{0}$ + - $f'(x)$ + - $f'(x_{0})$ + 3. zjistíme tečnu + - $t: y-y_{0} = f'(x_{0})(x-x_{0})$ + 4. zjistíme normálu + - $n: y-y_{0} = -\frac{1}{f'(x_{0})}(x-x_{0})$ \ No newline at end of file