diff --git a/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/01. Relace, zobrazení a funkce.md b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/01. Relace, zobrazení a funkce.md index ab64a47..005f85a 100644 --- a/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/01. Relace, zobrazení a funkce.md +++ b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/01. Relace, zobrazení a funkce.md @@ -3,10 +3,10 @@ Mějme dvě množiny $X, Y$ a představme si, že každý prvek $x \in X$ může (a nemusí) být ve vztahu $R$ s libovolným počtem prvků $y \in Y$. Na tento vztah nejsou kladeny žádné další podmínky. - tento vztah lze popsat jako výčet všech dvojic $(x, y)$ prvků, které spolu jsou ve vztahu $R$ -Jelikož je kartézský součin definován jako **množina** všech **uspořádaných dvojic** s prvním prvek z množiny $X$ a druhým z množiny $Y$, definujeme relaci takto: - ### Definice +Jelikož je kartézský součin definován jako **množina** všech **uspořádaných dvojic** s prvním prvkem z množiny $X$ a druhým z množiny $Y$, definujeme relaci takto: + Relace z množiny $X$ do množiny $Y$ je libovolná podmnožina $R$ kartézského součinu $X \times Y$. Jedná se o relaci **binární**, jelikož určuje vztah mezi dvěma prvky. @@ -28,19 +28,6 @@ Jedná se o relaci **binární**, jelikož určuje vztah mezi dvěma prvky. - matice $X \times Y$, kde na horizontální ose jsou prvky $X$ a na vertikální ose $Y$ - body jsou vybarveny pouze na místech matice, kde jsou prvky v relaci R -### Vlastnosti relací - -Relace $R$ na množině $X$ je -- **reflexivní**, pokud pro každé $x \in X$ platí $x \, R \, x$, -- **symetrická**, pokud pro každé $x, y \in X$ platí - - $x \, R \, y \implies y \, R \, x$, -- **slabě antisymetrická**, pokud pro každé $x, y \in X$ platí - - $x \, R \, y$ a $y \, R \, x \implies x = y$, -- **tranzitivní**, pokud pro každé $x, y, z \in X$ platí - - $x \, R \, y$ a $y \, R \, z \implies x \, R \, z$, -- **ekvivalentní**, pokud je reflexivní, symetrická a tranzitivní, -- **tolerantní**, pokud je reflexivní a symetrická. - ### Skládání relací **Definice** @@ -61,10 +48,16 @@ Věta o asociativitě skládání relací # Zobrazení, funkce -**Zobrazení** (nebo také **funkce**) množiny $X$ do množiny $Y$ je **relace** $f \subset X \times Y$, pro kterou platí, že pro každý prvek $x \in X$ existuje právě jeden prvek $y \in X$ tak, že $(x, y) \in f$. Skutečnost, že $f$ je zobrazením $X$ do $Y$, zapisujeme jako $f: X \to Y$. +**Zobrazení** (nebo také **funkce**) množiny $X$ do množiny $Y$ je **relace** $f \subset X \times Y$, pro kterou platí, že **pro každý prvek** $x \in X$ **existuje právě jeden prvek** $y \in Y$ tak, že $(x, y) \in f$. Skutečnost, že $f$ je zobrazením $X$ do $Y$, zapisujeme jako $f: X \to Y$. -**Druhy zobrazení** -- Zobrazení $f: X \to Y$ je - - **prosté**, pokud každé $y \in Y$ má nejvýše jeden vzor při zobrazení $f$, - - **na**, pokud každé $y \in Y$ má alespoň jeden vzor při zobrazení $f$, - - **vzájemně jednoznačné** (nebo **bijekce**), pokud je prosté a na. \ No newline at end of file +## Druhy zobrazení + +Zobrazení $f: X \to Y$ je +- **prosté**, pokud každé $y \in Y$ má nejvýše jeden vzor při zobrazení $f$, +- **na**, pokud každé $y \in Y$ má alespoň jeden vzor při zobrazení $f$, +- **vzájemně jednoznačné** (nebo **bijekce**), pokud je **prosté** a **na**, tedy + - každé $y \in Y$ má právě jeden vzor při zobrazení $f$. + +## Skládání zobrazení + +Máme zobrazení $f : X \to Y, g : Y \to Z$, výsledná relace $f \circ g$ je zobrazení $X$ do $Z$, pro jehož hodnoty platí $(f \circ g)(x) = g(f(x))$. \ No newline at end of file diff --git a/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/02. Binární relace na množině.md b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/02. Binární relace na množině.md new file mode 100644 index 0000000..6c05e72 --- /dev/null +++ b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/02. Binární relace na množině.md @@ -0,0 +1,17 @@ +# Binární relace na množině + +Nechť $X, Y$ jsou množiny. **Binární relace** R z množiny $X$ do množiny $Y$ nazveme podmnožinou Kartézského součinu $X \times Y$. Píšeme $x \, R \, y \iff (x, y) \in R$. Speciálně, je-li $X = Y$, řekneme, že $R$ je **relací na množině** $X$. + +### Vlastnosti + +Relace $R$ na množině $X$ je +- **reflexivní**, pokud pro každé $x \in X$ platí $x \, R \, x$, +- **symetrická**, pokud pro každé $x, y \in X$ platí + - $x \, R \, y \implies y \, R \, x$, +- **slabě antisymetrická**, pokud pro každé $x, y \in X$ platí + - $x \, R \, y$ a $y \, R \, x \implies x = y$, +- **tranzitivní**, pokud pro každé $x, y, z \in X$ platí + - $x \, R \, y$ a $y \, R \, z \implies x \, R \, z$, ++ **ekvivalentní**, pokud je reflexivní, symetrická a tranzitivní, ++ **tolerantní**, pokud je reflexivní a symetrická. + diff --git a/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/03. Ekvivalence a rozklad množiny, Stirlingova čísla.md b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/03. Ekvivalence a rozklad množiny, Stirlingova čísla.md index d4d85b4..0fd5c2d 100644 --- a/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/03. Ekvivalence a rozklad množiny, Stirlingova čísla.md +++ b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/03. Ekvivalence a rozklad množiny, Stirlingova čísla.md @@ -1,12 +1,23 @@ # Ekvivalence a rozklad množiny -**Ekvivalence** -- Ekvivalence na množině $X$ je relace $R$ na množině $X$, která je reflexivní, symetrická a tranzitivní. +## Ekvivalence -**Třídy rozkladu** -- Nechť $X$ a $I$ jsou množiny. (Neuspořádaný) soubor podmnožin $X_{i}: i \in I$ množiny $X$ je **rozklad množiny** $X$, pokud množiny $X_{i}$ jsou neprázdné, navzájem disjunktní a jejich sjednocením je celá množina $X$. Množiny $X_{i}$ nazýváme **třídy rozkladu** $X_{i}: i \in I$. -+ Soubor $S = \{\{1, 3\}, \{6\}, \{2, 4, 5\}\}$, je například rozkladem množiny $X = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, zatímco soubory $\{\{1, 2, 3\}, \{1, 4, 5\}, \{1, 5, 6\}\}$ a $\{\{1, 2\}, \{3, 4, 5\}\}$ nikoli. V rozkladu nezáleží na pořadí tříd. +Ekvivalence na množině $X$ je relace $R$ na množině $X$, která je reflexivní, symetrická a tranzitivní. +## Třídy rozkladu +Nechť $X$ a $I$ jsou množiny. (Neuspořádaný) soubor podmnožin $X_{i}: i \in I$ množiny $X$ je **rozklad množiny** $X$, pokud množiny $X_{i}$ jsou **neprázdné**, **navzájem disjunktní** (nemají společné prvky) a **jejich sjednocením je celá množina** $X$. Množiny $X_{i}$ nazýváme **třídy rozkladu** $X_{i}: i \in I$. + +- soubor podmnožin = **rozklad množiny** +- jednotlivé množiny = **třídy rozkladu** + +![[_assets/rozklady.png]] + +Soubor $S = \{\{1, 3\}, \{6\}, \{2, 4, 5\}\}$, je například rozkladem množiny $X = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, zatímco soubory $\{\{1, 2, 3\}, \{1, 4, 5\}, \{1, 5, 6\}\}$ a $\{\{1, 2\}, \{3, 4, 5\}\}$ nikoli. V rozkladu nezáleží na pořadí tříd. + +## Třídy ekvivalence + +Je-li $\sim$ ekvivalence, pak se třídy příslušného rozkladu nazývají **třídy ekvivalence** $\sim$. +- Pokud je relace ekvivalencí, třídy rozkladu nazveme třídami ekvivalence. # Stirlingova čísla **Počet rozkladů n-prvkové množiny** diff --git a/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/05. Modulární počítání.md b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/05. Modulární počítání.md index 6596582..e904fb7 100644 --- a/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/05. Modulární počítání.md +++ b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/05. Modulární počítání.md @@ -12,11 +12,39 @@ Ekvivalence $\sim$ na množině $X$ je relace na $X$, která je reflexivní, sym Ekvivalence, která zachovává operace definované na množině, se nazývá **kongruence**. Jedna z takových kongruencí je například kongruence modulo $p$. -**Definice** -- Nechť $p \geq 1$ je přirozené číslo. Definujme na množině všech celých čísel relaci $\equiv$ (kongruenci modulo $p$) předpisem $x \equiv y$, pokud $p$ dělí rozdíl $x - y$. - -Zapisujeme $x \equiv y \quad (\text{mod } p)$. - Pro $a \in \mathbb{Z}_{n}$ rozumíme opačným prvkem prvek $x \in \mathbb{Z}_{n}$ takový, že řeší rovnici $a \cdot x \equiv 1 \quad (\text{mod } n)$. Značíme jej $-a$. -TODO \ No newline at end of file +## Kongruence modulo $p$ + +Motivace: při počítání hodin je pro nás obvykle 13 hodin to stejné, jako 1 hodina. + +**Definice**: Mějme $p \geq 1$ a celá čísla $a, b \in \mathbb{Z}$. Relaci $\equiv (\text{mod }p)$ na množině $\mathbb{Z}$ nazveme **kongruencí modulo** $p$, kterou značíme $a \equiv b \space (\text{mod }5)$, jestliže $n$ dělí $b - a$. +- předpis: $a \equiv b \space (\text{mod }p) \iff (b - a) \text{ je dělitelné } p$ + +**Příklad**: Z hodin víme, že $21 \equiv 9 \space (\text{mod }12)$. Zkouška podle definice: $9−21 = −12$, což je dělitelné dvanácti. Jiný příklad: $(-2) \equiv 13 \space (\text{mod }5)$, protože $13 - (-2) = 15$, což je dělitelné pěti. + +### Zbytkové třídy + +Kongruence modulo $p$ je ekvivalence, její třídy ekvivalence nazýváme **zbytkové třídy** a označujeme $\mathbb{Z}_{p}(i), i = 0, \dots, p-1$. + +Každá z $p$ tříd této ekvivalence je **tvořena všemi čísly**, která **při dělení číslem** $p$ dávají **tentýž zbytek**. + +**Operace**: Na množině $\mathbb{Z}_{p}$ definujeme operace $\oplus$ a $\otimes$ předpisem: +- $\mathbb{Z}_{p}(i) \oplus \mathbb{Z}_{p}(j) = \mathbb{Z}_{p}(i+j)$ +- $\mathbb{Z}_{p}(i) \otimes \mathbb{Z}_{p}(j) = \mathbb{Z}_{p}(ij)$ + +Nechť $p \geq 1$ je přirozené číslo. Potom pro každé prvky $a, b, c \in \mathbb{Z}_{p}$ platí: +1) komutativita: $\quad a \oplus b = b \oplus a, \quad a \otimes b = b \otimes a$, +2) asociativita: $\quad (a \oplus b) \oplus c = a \oplus (b \oplus c), \quad (a \otimes b) \otimes c = a \otimes (b \otimes c)$, +3) neutrální prvek: $\quad a \oplus 0 = a, \quad a \otimes 1 = a$, +4) opační prvek: $\quad \exists \, (-a) \in \mathbb{Z}_{p}, \quad a \oplus (-a) = 0$, +5) distributivita: $\quad a \otimes (b \oplus c) = (a \otimes b) \oplus (a \otimes c)$, + +kde $0 = \mathbb{Z}_{p}(0)$ a $1 = \mathbb{Z}_{p}(1)$. +## Aritmetika modulo $p$ + +**Definice** +- Nechť $p \geq 1$ je přirozené číslo. Pro každou zbytkovou třídu $\mathbb{Z}_{p}$ vybereme jednoho **reprezentanta**, tedy prvek v intervalu $\langle 0, p-1 \rangle$. +- Množinu všech takových reprezentantů nazveme **úplnou soustavou zbytků modulo** $p$. +- Operace $\oplus$ a $\otimes$ použité na úplné soustavě zbytků modulo $p$ nazveme **aritmetikou modulo** $p$. + diff --git a/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/06. Grupy a tělesa.md b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/06. Grupy a tělesa.md index a0e0902..a0c95ea 100644 --- a/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/06. Grupy a tělesa.md +++ b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/06. Grupy a tělesa.md @@ -1,18 +1,29 @@ # Grupa -**Grupa** $G$ je **množina** $M$ spolu s **asociativní binární operací** $*$, ve které existuje +**Grupa** $G$ je **množina** $M$ spolu s **asociativní binární operací** $\oplus$, ve které existuje 1) neutrální prvek - - $\exists \, e \in G : \forall \, x \in G : x \circ e = x = e \circ x$ + - $\exists \, e \in G : \forall \, x \in G : x \oplus e = x = e \oplus x$ 2) prvek $x^{-1}$ inverzní ke každému prvku - - $\forall \, x \in G : \exists \, x^{-1} \in G : x \circ x^{-1} = e$ + - $\forall \, x \in G : \exists \, x^{-1} \in G : x \oplus x^{-1} = e$ -Pokud je **operace** $*$ navíc **komutativní**, jedná se o **komutativní** nebo **abelovskou grupu**. +Pokud je **operace** $\oplus$ navíc **komutativní** (), jedná se o **komutativní** nebo **Abelova grupu**. -Grupa se značí jako $G(M, *)$. +Grupa se značí jako $G(M, \oplus)$. # Těleso -Množina $M$ spolu s operací $\oplus$ tvoří komutativní grupu s neutrálním prvkem $0$, a nechť na množině $M - \{0\}$ je určena další binární operace $\otimes$. Potom $(M, \oplus, \otimes)$ je těleso, pokud $(M - \{0\}, \otimes)$ je rovněž komutativní grupa a navíc platí distributivní zákon: -- $x \otimes (y \oplus z) = (x \otimes y) \oplus (x \otimes z)$ pro každé $x, y, z \in M$. +Množina $M$ s operacemi $\oplus$ a $\otimes$ takovými, že +1) množina $M$ s operací $\oplus$ je Abelova grupa, +2) množina $M \setminus \{ n \}$ s operací $\otimes$ je Abelova grupa, kde $n$ je neutrální (nulový) prvek při operaci $\oplus$, +3) platí distributivita - $\forall \, x, y, z \in M$ je $x \otimes (y \oplus z) = (x \otimes y) \oplus (x \otimes z)$ -Mezi tělesa patří **množiny** všech racionálních, reálných a komplexních čísel, vždy se standardními operacemi **sčítání** a **násobení**. \ No newline at end of file +se nazývá **těleso** a značí se $(M, \oplus, \otimes)$. + +Mezi tělesa patří **množiny** všech racionálních, reálných a komplexních čísel, vždy se standardními operacemi **sčítání** a **násobení**. + +## Inverzní prvek + +**Inverzní prvek** $x^{-1}$ k prvku $x$ je prvek, pro který platí $x^{-1} \oplus x = e$, kde $e$ je neutrální prvek (tedy 0). + +Nechť $p \geq 1$ a $r \in \mathbb{Z}_{p}, r \neq 0$. K prvku $r$ existuje v $\mathbb{Z}_{p}$ inverzní prvek právě tehdy, když čísla $p, r$ jsou nesoudělná. +- Tedy $\mathbb{Z}_{p}$ je těleso právě, když $p$ je prvočíslo. \ No newline at end of file diff --git a/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/_assets/rozklady.png b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/_assets/rozklady.png new file mode 100644 index 0000000..ad16ae2 Binary files /dev/null and b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/_assets/rozklady.png differ