From 581208e0ccad33c4e85407c01163dfc1baa96f89 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Filip Znachor Date: Fri, 11 Aug 2023 11:55:54 +0200 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?Dopln=C4=9Bn=C3=AD=201.,=202.,=203.,=205.=20a?= =?UTF-8?q?=206.=20ot=C3=A1zky=20z=20DMA?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- .../01. Relace, zobrazení a funkce.md | 35 ++++++--------- .../02. Binární relace na množině.md | 17 ++++++++ ...ence a rozklad množiny, Stirlingova čísla.md | 21 ++++++--- .../05. Modulární počítání.md | 40 +++++++++++++++--- .../Otázky ke zkoušce/06. Grupy a tělesa.md | 27 ++++++++---- .../Otázky ke zkoušce/_assets/rozklady.png | Bin 0 -> 17044 bytes 6 files changed, 100 insertions(+), 40 deletions(-) create mode 100644 KMA DMA/Otázky ke zkoušce/02. Binární relace na množině.md create mode 100644 KMA DMA/Otázky ke zkoušce/_assets/rozklady.png diff --git a/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/01. Relace, zobrazení a funkce.md b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/01. Relace, zobrazení a funkce.md index ab64a47..005f85a 100644 --- a/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/01. Relace, zobrazení a funkce.md +++ b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/01. Relace, zobrazení a funkce.md @@ -3,10 +3,10 @@ Mějme dvě množiny $X, Y$ a představme si, že každý prvek $x \in X$ může (a nemusí) být ve vztahu $R$ s libovolným počtem prvků $y \in Y$. Na tento vztah nejsou kladeny žádné další podmínky. - tento vztah lze popsat jako výčet všech dvojic $(x, y)$ prvků, které spolu jsou ve vztahu $R$ -Jelikož je kartézský součin definován jako **množina** všech **uspořádaných dvojic** s prvním prvek z množiny $X$ a druhým z množiny $Y$, definujeme relaci takto: - ### Definice +Jelikož je kartézský součin definován jako **množina** všech **uspořádaných dvojic** s prvním prvkem z množiny $X$ a druhým z množiny $Y$, definujeme relaci takto: + Relace z množiny $X$ do množiny $Y$ je libovolná podmnožina $R$ kartézského součinu $X \times Y$. Jedná se o relaci **binární**, jelikož určuje vztah mezi dvěma prvky. @@ -28,19 +28,6 @@ Jedná se o relaci **binární**, jelikož určuje vztah mezi dvěma prvky. - matice $X \times Y$, kde na horizontální ose jsou prvky $X$ a na vertikální ose $Y$ - body jsou vybarveny pouze na místech matice, kde jsou prvky v relaci R -### Vlastnosti relací - -Relace $R$ na množině $X$ je -- **reflexivní**, pokud pro každé $x \in X$ platí $x \, R \, x$, -- **symetrická**, pokud pro každé $x, y \in X$ platí - - $x \, R \, y \implies y \, R \, x$, -- **slabě antisymetrická**, pokud pro každé $x, y \in X$ platí - - $x \, R \, y$ a $y \, R \, x \implies x = y$, -- **tranzitivní**, pokud pro každé $x, y, z \in X$ platí - - $x \, R \, y$ a $y \, R \, z \implies x \, R \, z$, -- **ekvivalentní**, pokud je reflexivní, symetrická a tranzitivní, -- **tolerantní**, pokud je reflexivní a symetrická. - ### Skládání relací **Definice** @@ -61,10 +48,16 @@ Věta o asociativitě skládání relací # Zobrazení, funkce -**Zobrazení** (nebo také **funkce**) množiny $X$ do množiny $Y$ je **relace** $f \subset X \times Y$, pro kterou platí, že pro každý prvek $x \in X$ existuje právě jeden prvek $y \in X$ tak, že $(x, y) \in f$. Skutečnost, že $f$ je zobrazením $X$ do $Y$, zapisujeme jako $f: X \to Y$. +**Zobrazení** (nebo také **funkce**) množiny $X$ do množiny $Y$ je **relace** $f \subset X \times Y$, pro kterou platí, že **pro každý prvek** $x \in X$ **existuje právě jeden prvek** $y \in Y$ tak, že $(x, y) \in f$. Skutečnost, že $f$ je zobrazením $X$ do $Y$, zapisujeme jako $f: X \to Y$. -**Druhy zobrazení** -- Zobrazení $f: X \to Y$ je - - **prosté**, pokud každé $y \in Y$ má nejvýše jeden vzor při zobrazení $f$, - - **na**, pokud každé $y \in Y$ má alespoň jeden vzor při zobrazení $f$, - - **vzájemně jednoznačné** (nebo **bijekce**), pokud je prosté a na. \ No newline at end of file +## Druhy zobrazení + +Zobrazení $f: X \to Y$ je +- **prosté**, pokud každé $y \in Y$ má nejvýše jeden vzor při zobrazení $f$, +- **na**, pokud každé $y \in Y$ má alespoň jeden vzor při zobrazení $f$, +- **vzájemně jednoznačné** (nebo **bijekce**), pokud je **prosté** a **na**, tedy + - každé $y \in Y$ má právě jeden vzor při zobrazení $f$. + +## Skládání zobrazení + +Máme zobrazení $f : X \to Y, g : Y \to Z$, výsledná relace $f \circ g$ je zobrazení $X$ do $Z$, pro jehož hodnoty platí $(f \circ g)(x) = g(f(x))$. \ No newline at end of file diff --git a/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/02. Binární relace na množině.md b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/02. Binární relace na množině.md new file mode 100644 index 0000000..6c05e72 --- /dev/null +++ b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/02. Binární relace na množině.md @@ -0,0 +1,17 @@ +# Binární relace na množině + +Nechť $X, Y$ jsou množiny. **Binární relace** R z množiny $X$ do množiny $Y$ nazveme podmnožinou Kartézského součinu $X \times Y$. Píšeme $x \, R \, y \iff (x, y) \in R$. Speciálně, je-li $X = Y$, řekneme, že $R$ je **relací na množině** $X$. + +### Vlastnosti + +Relace $R$ na množině $X$ je +- **reflexivní**, pokud pro každé $x \in X$ platí $x \, R \, x$, +- **symetrická**, pokud pro každé $x, y \in X$ platí + - $x \, R \, y \implies y \, R \, x$, +- **slabě antisymetrická**, pokud pro každé $x, y \in X$ platí + - $x \, R \, y$ a $y \, R \, x \implies x = y$, +- **tranzitivní**, pokud pro každé $x, y, z \in X$ platí + - $x \, R \, y$ a $y \, R \, z \implies x \, R \, z$, ++ **ekvivalentní**, pokud je reflexivní, symetrická a tranzitivní, ++ **tolerantní**, pokud je reflexivní a symetrická. + diff --git a/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/03. Ekvivalence a rozklad množiny, Stirlingova čísla.md b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/03. Ekvivalence a rozklad množiny, Stirlingova čísla.md index d4d85b4..0fd5c2d 100644 --- a/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/03. Ekvivalence a rozklad množiny, Stirlingova čísla.md +++ b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/03. Ekvivalence a rozklad množiny, Stirlingova čísla.md @@ -1,12 +1,23 @@ # Ekvivalence a rozklad množiny -**Ekvivalence** -- Ekvivalence na množině $X$ je relace $R$ na množině $X$, která je reflexivní, symetrická a tranzitivní. +## Ekvivalence -**Třídy rozkladu** -- Nechť $X$ a $I$ jsou množiny. (Neuspořádaný) soubor podmnožin $X_{i}: i \in I$ množiny $X$ je **rozklad množiny** $X$, pokud množiny $X_{i}$ jsou neprázdné, navzájem disjunktní a jejich sjednocením je celá množina $X$. Množiny $X_{i}$ nazýváme **třídy rozkladu** $X_{i}: i \in I$. -+ Soubor $S = \{\{1, 3\}, \{6\}, \{2, 4, 5\}\}$, je například rozkladem množiny $X = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, zatímco soubory $\{\{1, 2, 3\}, \{1, 4, 5\}, \{1, 5, 6\}\}$ a $\{\{1, 2\}, \{3, 4, 5\}\}$ nikoli. V rozkladu nezáleží na pořadí tříd. +Ekvivalence na množině $X$ je relace $R$ na množině $X$, která je reflexivní, symetrická a tranzitivní. +## Třídy rozkladu +Nechť $X$ a $I$ jsou množiny. (Neuspořádaný) soubor podmnožin $X_{i}: i \in I$ množiny $X$ je **rozklad množiny** $X$, pokud množiny $X_{i}$ jsou **neprázdné**, **navzájem disjunktní** (nemají společné prvky) a **jejich sjednocením je celá množina** $X$. Množiny $X_{i}$ nazýváme **třídy rozkladu** $X_{i}: i \in I$. + +- soubor podmnožin = **rozklad množiny** +- jednotlivé množiny = **třídy rozkladu** + +![[_assets/rozklady.png]] + +Soubor $S = \{\{1, 3\}, \{6\}, \{2, 4, 5\}\}$, je například rozkladem množiny $X = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, zatímco soubory $\{\{1, 2, 3\}, \{1, 4, 5\}, \{1, 5, 6\}\}$ a $\{\{1, 2\}, \{3, 4, 5\}\}$ nikoli. V rozkladu nezáleží na pořadí tříd. + +## Třídy ekvivalence + +Je-li $\sim$ ekvivalence, pak se třídy příslušného rozkladu nazývají **třídy ekvivalence** $\sim$. +- Pokud je relace ekvivalencí, třídy rozkladu nazveme třídami ekvivalence. # Stirlingova čísla **Počet rozkladů n-prvkové množiny** diff --git a/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/05. Modulární počítání.md b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/05. Modulární počítání.md index 6596582..e904fb7 100644 --- a/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/05. Modulární počítání.md +++ b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/05. Modulární počítání.md @@ -12,11 +12,39 @@ Ekvivalence $\sim$ na množině $X$ je relace na $X$, která je reflexivní, sym Ekvivalence, která zachovává operace definované na množině, se nazývá **kongruence**. Jedna z takových kongruencí je například kongruence modulo $p$. -**Definice** -- Nechť $p \geq 1$ je přirozené číslo. Definujme na množině všech celých čísel relaci $\equiv$ (kongruenci modulo $p$) předpisem $x \equiv y$, pokud $p$ dělí rozdíl $x - y$. - -Zapisujeme $x \equiv y \quad (\text{mod } p)$. - Pro $a \in \mathbb{Z}_{n}$ rozumíme opačným prvkem prvek $x \in \mathbb{Z}_{n}$ takový, že řeší rovnici $a \cdot x \equiv 1 \quad (\text{mod } n)$. Značíme jej $-a$. -TODO \ No newline at end of file +## Kongruence modulo $p$ + +Motivace: při počítání hodin je pro nás obvykle 13 hodin to stejné, jako 1 hodina. + +**Definice**: Mějme $p \geq 1$ a celá čísla $a, b \in \mathbb{Z}$. Relaci $\equiv (\text{mod }p)$ na množině $\mathbb{Z}$ nazveme **kongruencí modulo** $p$, kterou značíme $a \equiv b \space (\text{mod }5)$, jestliže $n$ dělí $b - a$. +- předpis: $a \equiv b \space (\text{mod }p) \iff (b - a) \text{ je dělitelné } p$ + +**Příklad**: Z hodin víme, že $21 \equiv 9 \space (\text{mod }12)$. Zkouška podle definice: $9−21 = −12$, což je dělitelné dvanácti. Jiný příklad: $(-2) \equiv 13 \space (\text{mod }5)$, protože $13 - (-2) = 15$, což je dělitelné pěti. + +### Zbytkové třídy + +Kongruence modulo $p$ je ekvivalence, její třídy ekvivalence nazýváme **zbytkové třídy** a označujeme $\mathbb{Z}_{p}(i), i = 0, \dots, p-1$. + +Každá z $p$ tříd této ekvivalence je **tvořena všemi čísly**, která **při dělení číslem** $p$ dávají **tentýž zbytek**. + +**Operace**: Na množině $\mathbb{Z}_{p}$ definujeme operace $\oplus$ a $\otimes$ předpisem: +- $\mathbb{Z}_{p}(i) \oplus \mathbb{Z}_{p}(j) = \mathbb{Z}_{p}(i+j)$ +- $\mathbb{Z}_{p}(i) \otimes \mathbb{Z}_{p}(j) = \mathbb{Z}_{p}(ij)$ + +Nechť $p \geq 1$ je přirozené číslo. Potom pro každé prvky $a, b, c \in \mathbb{Z}_{p}$ platí: +1) komutativita: $\quad a \oplus b = b \oplus a, \quad a \otimes b = b \otimes a$, +2) asociativita: $\quad (a \oplus b) \oplus c = a \oplus (b \oplus c), \quad (a \otimes b) \otimes c = a \otimes (b \otimes c)$, +3) neutrální prvek: $\quad a \oplus 0 = a, \quad a \otimes 1 = a$, +4) opační prvek: $\quad \exists \, (-a) \in \mathbb{Z}_{p}, \quad a \oplus (-a) = 0$, +5) distributivita: $\quad a \otimes (b \oplus c) = (a \otimes b) \oplus (a \otimes c)$, + +kde $0 = \mathbb{Z}_{p}(0)$ a $1 = \mathbb{Z}_{p}(1)$. +## Aritmetika modulo $p$ + +**Definice** +- Nechť $p \geq 1$ je přirozené číslo. Pro každou zbytkovou třídu $\mathbb{Z}_{p}$ vybereme jednoho **reprezentanta**, tedy prvek v intervalu $\langle 0, p-1 \rangle$. +- Množinu všech takových reprezentantů nazveme **úplnou soustavou zbytků modulo** $p$. +- Operace $\oplus$ a $\otimes$ použité na úplné soustavě zbytků modulo $p$ nazveme **aritmetikou modulo** $p$. + diff --git a/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/06. Grupy a tělesa.md b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/06. Grupy a tělesa.md index a0e0902..a0c95ea 100644 --- a/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/06. Grupy a tělesa.md +++ b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/06. Grupy a tělesa.md @@ -1,18 +1,29 @@ # Grupa -**Grupa** $G$ je **množina** $M$ spolu s **asociativní binární operací** $*$, ve které existuje +**Grupa** $G$ je **množina** $M$ spolu s **asociativní binární operací** $\oplus$, ve které existuje 1) neutrální prvek - - $\exists \, e \in G : \forall \, x \in G : x \circ e = x = e \circ x$ + - $\exists \, e \in G : \forall \, x \in G : x \oplus e = x = e \oplus x$ 2) prvek $x^{-1}$ inverzní ke každému prvku - - $\forall \, x \in G : \exists \, x^{-1} \in G : x \circ x^{-1} = e$ + - $\forall \, x \in G : \exists \, x^{-1} \in G : x \oplus x^{-1} = e$ -Pokud je **operace** $*$ navíc **komutativní**, jedná se o **komutativní** nebo **abelovskou grupu**. +Pokud je **operace** $\oplus$ navíc **komutativní** (), jedná se o **komutativní** nebo **Abelova grupu**. -Grupa se značí jako $G(M, *)$. +Grupa se značí jako $G(M, \oplus)$. # Těleso -Množina $M$ spolu s operací $\oplus$ tvoří komutativní grupu s neutrálním prvkem $0$, a nechť na množině $M - \{0\}$ je určena další binární operace $\otimes$. Potom $(M, \oplus, \otimes)$ je těleso, pokud $(M - \{0\}, \otimes)$ je rovněž komutativní grupa a navíc platí distributivní zákon: -- $x \otimes (y \oplus z) = (x \otimes y) \oplus (x \otimes z)$ pro každé $x, y, z \in M$. +Množina $M$ s operacemi $\oplus$ a $\otimes$ takovými, že +1) množina $M$ s operací $\oplus$ je Abelova grupa, +2) množina $M \setminus \{ n \}$ s operací $\otimes$ je Abelova grupa, kde $n$ je neutrální (nulový) prvek při operaci $\oplus$, +3) platí distributivita - $\forall \, x, y, z \in M$ je $x \otimes (y \oplus z) = (x \otimes y) \oplus (x \otimes z)$ -Mezi tělesa patří **množiny** všech racionálních, reálných a komplexních čísel, vždy se standardními operacemi **sčítání** a **násobení**. \ No newline at end of file +se nazývá **těleso** a značí se $(M, \oplus, \otimes)$. + +Mezi tělesa patří **množiny** všech racionálních, reálných a komplexních čísel, vždy se standardními operacemi **sčítání** a **násobení**. + +## Inverzní prvek + +**Inverzní prvek** $x^{-1}$ k prvku $x$ je prvek, pro který platí $x^{-1} \oplus x = e$, kde $e$ je neutrální prvek (tedy 0). + +Nechť $p \geq 1$ a $r \in \mathbb{Z}_{p}, r \neq 0$. K prvku $r$ existuje v $\mathbb{Z}_{p}$ inverzní prvek právě tehdy, když čísla $p, r$ jsou nesoudělná. +- Tedy $\mathbb{Z}_{p}$ je těleso právě, když $p$ je prvočíslo. \ No newline at end of file diff --git a/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/_assets/rozklady.png b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/_assets/rozklady.png new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ad16ae27ed89f293eff38e3ddc0b4d102f35167c GIT binary patch literal 17044 zcmbWfcRbd8{68ub$x4(&QL?jzY?6^=W@Kb0B%5SpL=;M9!&m&oZQaM{$>hba$Jj>5<=NU8bfCUn+{~OYR1_)G~YeH7eU9Bxr3O_ ziK5H4G+dhE>WJFp557vl?=607JC6cd~?#0xj>Qf|9B#FK6eH%F5HC zq6HhWC+XC@y}eCLo~p8cTUobij$)B?WoMTaBQ>JwmD0%-6&Dvjefsz8r|blNQzi-L zE7sPTbbq30Yu#siS{`v;{rGftYU=qrnczLUN{{9oqE(cL`n2OXT)FT%ki^W)?CaOB zTmSxi?(e_UtuW~-soQ_xUX!n^xiT5?8ilpYYmOLp8)2hs*K*Gu7ZMT4xcWRRtHR-P z5r1PUS8H?gbXS_vo;`b(4k{osl#lt|UwHY}>Ws_Q#@Y+3=Be-B%WsS(H+efV9}~PHuc@hN zV)Esc-@os!lK0*a=?52(&56pG zU->327~ZB(s6VPDnWVuHr{4KYO5C=ck%fh&vT=P^NLSg_PM_aDT0B|h^-~MT^i+A` z4jw$X__e<7d;)*;F*&E9a_-^%TZ~Z?50;t4KlsS&hbWHE_2my&Ugte{FGcz$9Ua}< zFM`8bcbhCD(g&i5xekl=kl3ViMQC0pPYc-D`aCpLo0@uiA=UnFdd|{BGZ`tVgrwvP zmVH_rIiE>d6|`gZcu)chUur~#UvNdrv(EGv4u{bkD=#k}h}z9XWi6w1+5OddP0g z+>;iJp%c|rRe%2d`DtZkHAr~N*fsgW%;(Ren8aE~M*}whE;%-*^B5T!9pKb_>GkvI za3Im-?E*|@^)0&6-!j)tRVKmy7b$(Zyis>AF-=- zYCnoq(eA~ij2#?#PpB%o8WS@e9juMz_3MTC`T3#x|4yDfsi2_n-|v?m{VNoau9+gc z@Z-nRXV0D`CDr(@yH=jab6}>vy7aAyjg3uEP~ikoee9cPhC_$U8~nG1DjeErz3p>6 z=KGzToN({kv)L(Fpk9h{+uJ`Msb|qEcQ@|ijgl;=q*c_`)_(Z#Aqw3>>Yx^{^PPRI z=}-8GiHUV|bY>(UEDKULy7+$o@Nj*7om8QOWnT`%2cNN>2kb`1#!R?k3kwSy8=D(9 zIz7*>?F(zH@tBW){+wet@V0T_sPiv#?CSP7IC)r(i*gle#JR<#y{6l-Six;a(N^X}rH||b(`uMn-4j28o zvu7O#N_I7tbf(Dh@^`efSa26@5VO%AJ7(@Ls}_@-oQyW)ag0vu;0K>M)#DGPeOB!T zN-R*BW_6yYLM^TjmAkmRGfR2?co%+PVPV1R$G{uU`+UP_FJ7Z)Mwct>$PZt zt3I=DFBePiyqG3=nnAHyq2Y_SXmqT!o4+C)`wNU7aa>5>8Lf87$j-j1t{(CDK4WXO z|JFvTLhzN>-_Oys`a~X3i@_ayDY0loE6UT^+mtCy*@y8KYu}U1MU1VV|}4=1=&yxxT{Vq;FzUP*~W}JL)FEeBwmLApx@-o>m`j zQBn7=FK^13TsZzPGdmj_`GQ)Jn1|S?_~C=LNy`_1*H@-V_E5eSEHD<2@cc30^7q$x zgr8BbvwVGKW@cZ$fyg7T#V={i7c0xktV-DwXL@sWU0htyN^H3`Qc34LY{f6(U0UOK z?;SiuOtGdU@-%cADrSii zCnXZ~Jx0YA8C-eg<-MJq(X4mN%SC-=CgzrZ|Gvb0b#is~)AQ%g-KIb4nRGHSxs*4FFi*OTOm++kMxl(qj?LwqNAzj2(BNpz+yK|p`-0ej12 zTf)!bs*8R5iS>h*)|ieqP5;e#+|aOt@?)plE0bGXeC*Jn>9Mgc=Nm0__nPW`)_hi` zsAR$?y#FkY9Fz0kY%~a=jfjX~I^%AKa??A;p_LZuvzW&jqIK=sY$(+cihcX$$D9uz zKAe`8rqS9cSdf#$B`mDtqS>ez^Bn^uDK^Z4QE>*>p{vmn|xjxk^fu!~Jw zd|!t`M|=Cm?}f|HcQ^L+Rg70&bFTS?G7*bYQi!xyoi9))7 zC2&8!vprcKpGke5OxxL9>AX~E+&y`Mx%uDfY?)nm`X0ZytJc=#e*Zj=MmJBo)|fbb zdVT>z@sF(EhF)p79?vsjo7U`$DRX?PsXAScyNOsslH~%vW~k6yirU7$1Bh^Paz-B! zcbe@uici`C*Xsd9Rz!C@suTXBx|-P=3+vNe*3xr>DY3k-gC zjp+JsuTRIHx;!^K`+_BELy>%>{#I2^j;aeIe;4^{2B)nc+6~k>{@M9EK~vrK%tI%) ze1ET1kTC0fpTOYYAaIA@^7ruCNGnSDXMx>hbNfTIFn2Ioh68h?BGLh0dMCv$X%!m? zJYWyE0I*nGT*LrgD(RdvXN6O%V(zI?RMCQU_CwwThdm zBhqa<9#1YT$YAVLTJ0i0Z7VWm?Nu%gT!&x~E7RhDQR<#CiUgL)=1S56T8caS_wUDy zpQE>~KcgIzsmEg@Me)mAG0hohq^PI}zeV^_t&(;xpu^|F%gvswL`vj1(E^4gSLXW* zD=RAU?sl|2}EG)ZNGv7J#p|}(*E^2 zkNNkW5~*JU3$p3h)tmr5(IN4>W~woK{QSwXerHxSh~jSJr$9=6zs7b+%hd9#vBzAl zazYckkR+_EM3Uzue`oBwmTZWYzrVkuBOi)!KMKIUkB7OrtgLK2JSx?->-=F+Z+c}+ z>WYA!?K0aAOR0lhL?BmG49eQf9|Q93mY0|BM@9}tl8Mr56=(a>g_HW9*TcMe>AN12 z6cS68M_rm6^N@XZdO9H`rPGr>ww=fS=#&g{88$x5V&^+k5un1va*}U#ne6B98JL zKX@-AJ^hTw-1nIoMn=XDxJ!kg(QYy zQs7PM19rX+4kj&dF)@VDZb?f9$_ru{(d_^udHy?QTXInoJxX~MNeIEjywQ$<(z(ampvo9-Q|sHnhf?U-Ik;+IIJetoM@gPD37 z1py>uE%hLjijAF~0)uSug_Vk%+lo)}GFL>5D*Kbu*XIVyvgKJ5g{=0ZbY>r##o{qB z^(2%_AMJemHeEmel17l5vokprm4}y?T)_5ARd&mT-8si*vMA@C-M@eT=E_usp0FB306|^JcJ$t6z1^YCq1Dz^Yc652VJL4$yn#Plg=I=U-H(vpbI*^pENBi ztI3nK?{zs}@E)>PPg~Dw_W}=L;J10QQehbQfr{W#2B|ZdGIet0S+%tH@u|ghRpz6q z$KGeXD}Li^35#;0JZ*?P>%hyKD>oXp`ftBK&Q6|=HLj_t;ThTqKft*-+92?#MXx-7 z$mn9rQ04U}$;lr*>8XgeR!adRhK7en8v;g$h8{26%?n{~$<@u?LrMywX{Nl!h($1~ zum_YXrmx%Hbuy?RTSFqsYqsa4kkG>g`8lbOE}Tx~1%_RAj>aP<2L< ziXW8j;E^M@ehdhakOZHR=nvYx4}A5>U1*>b!1@)Ovt^ zJF4_v!6(0c`xdiJQH5(V$m;+a*$ha7X`N@BdKPveIM(3Qg(s)=Uj|cg?Yl3VO6R_} zHeUZ0c^XjBHGBI?uzZVW8yYlbH75Q)zt;c#`xg_sj76`IHH21?XM-NiL0DM$jQh;% zFR%CMMbtTsoT;?33wZ?qy*6*4q}0gtlMTAW*qdOT+*N!F%=`4|(~CV>_vlXO?GJgN z$Ajx|KfsyL#v)`H0R&izet0Sdvmcw^#-k{lZw zekJfQQ}J(F#eIkPO=?_EemeeRc6NQF=pF|L2k zS4DX_{k;fTSy^A%lq5bLo{hE7<`*sDGgX;pmXzpt%}+>;X2QS*7kNiKBMnbQDoQ+gS2M z{08XVH9I@Pdhqh*W4jor&N*0HuZ}m8%~WKcb-t6&BN5e^EF*RLbmg9^+~MKjTQ_eC zJxY-a@CW$+F<3U+f=YVd-290kEyb{>pka-@A(?t3n#b{|MO|I}YeT@ri{B(<1GYD7 zB}I8rrjNyMn2qc)3F%4_xf*fr-fX8b$0NV34KaTHD6@^l5h;)|7Aenxp&`wu5=-wR zk9^9$xUxQMJPTSVz#(XhQpJ}Z-w~QL?*(7uS81|j@ z>69}$8xLEo!8)M$Eq0{^Z&3PtEi$bmA*1e1<=VpSHK~Pkp_R<+=>8{_0Q=iQEy>83 z`1v#C>C=~2JCm2CgoK2;KYzYqXqqr5>CLNuuW`J$ltLO`r%s(ZbLMf)$Vg*jBSre1TS3Zc>46|+WcqnAb#(>_v6m-0_H^$Di<%_Kxbdw z2@MUkshyggpAP`g1)s9{{R!;;_H82X#yE0gk+~oZj(?azpNmW{7rOmv45LANg@}`u z((>TxQ%47fdjzzMi|Oy{i@bk7Ry_+S>DTJ2-bPgryBeBgLffp69GZbHXI7|cOo5Yu z1#@$A^s&zA74Q@j6B9>U+tVP<1dehZXErH9o5|G8U_1M~ic0pjoN#WSMb%y-KcG$s zrCD=ZG_G!LTbrBoQm-5bOO;)A2eF1IrfG3y3IxR7btCc2kU?G9fd#Xdy`x#V0o+o&eC6+ zHXA^AtM~U0pLS$4O;FK}Rb?k|f$j_yeHLpMmnEp7)OZ`LJAvXJ7Czgj;z)~uF!=n! z6ChUZ`AbF*ReSNO4Z&lu>nnQNm!PF?u%9E>rq>VV z-(L|(n=Yj!?fX}dFkQ}o)YRafJq{}=m0LDZoIl@oSj4v1i1@f#Dc)S%=?e($Z6SkL za-X7-+v`KV7(O7)mM^OLZ+*RLV{^*<)k`Q8I98ClckkZ)U^&kc^U-7T^?UGP=y}V2 zA_}JzjG}>R?Pj{tps(T6BD1oxAZ@tL7pldutLgA3Oh|l;<%a;fi8{tMeYX88mugS1 zJUBe8qM{;REo3t<_rZrxiCkG(`I%e*^#9S%pS`|RyQr^QWdHOISo)?6F&h*OW3UPg zYv|{}-Xw@s^al_2Wc(~)Id4T`RBR?sj^@E4>+6kKrjg*can67`OzBT_lZ(jPYN+grb_3JXuWAaVi8}g^L>6HVR!MW_oOU<_4QjVV0 zj;*Vcikd*xii?SfVf>1S9Fg^vsAp1~`BLL%{>pcM_*n>!pbfZjj6%7x)xol>43Q?J z_OocUU{{`=o_W=~Y5(nn{UXjIGAiEY;o(7(RoB$~_~FBcwzfvW`-dL|r{`dXTyt=! zvhQn!BK_sdOQ?wLBbxGk=yH|bOW$^p?BUv4e#CnB?_cjjhYs16>`irtqmvV^eDC1e z&(Q#AoUL;of(U-d0S*m7BWGvloQZ7>dxGO5CJH)ALlX_~CM=dGb}q&mS0yk18psti zSI>Qc(oV~dNS^AMlovnnHn)=DF)7dXwl)W7%UJZ#*lc@e0}&#z?7tG%BGP9<@6J^! z)6>(x1Q-XdSoI5(?;E2yL^PS2a`hV;#kX(ixw$P6PGt**{kLPq%1 z+Z$3O=&=V^)ykI8cH;Q)sAF;;r&m1O-D|ym%DPQy`1$#rc{Vvc&B?*>JUbh$?<5Du z6y_&JnnPb61AAR989b|#ZLO_7poAGJ(WnRL&&uY%phToVG{URmGBPqAJX5&r+t`1=3klKsyw7E{sIgW&*q4u{|8+q-bk-0l^%n3n)X57?CUP%}$h>tQD& z3*$GfWtR0#G~-EV6EJ&;F?q$#P68!({rYtv64ctK^Lv9NJmz9S?q9un_2kJD{2@HN z1zJbqbsQozHV0l_-ebp7ASB`In51inR3&(FfKeOA0B5JP zOUT)#dee`QJbxD!$emoinwIqJM2Kokra`I*W?q&Ehawl|{PE+*Pn|;7GO6?I=;?9A zKmu7YxO62|0cOrC$Qv*q0|Ek|yh3~fwqasqw6nL5zxm#w@xNoXDhb*o>%aM7dZnK-9}-2gfSW2JB66nr z1D;X=@LOL3|+pPgBo=_V<%cX-{^<-D`K1%9ZQ z_F%zKzC*zwv{s%R%1Lca4H}5B*UKQLD?^?NB)g9#*RrY!V?j7L_UM?MQfPIUNiE1e z#}#28D;~c~>(sCOtaGX6$vRr}Yl|awM`e6USjcnO;CPX##;}ts65w99T@fW1w<&si{0JX@aWS8)V1_%jvq0kB^6VW`v~<@BfhnXy%7zOXvvk zd`8RPn)cP06h)BF>p;y0pv0|CL$POMB-j^oi-FA(RE&aS&_43WX>yo}?Nduix;}nf zM3d1(reEVQ}cJ`m|EeCw=*6xX5y$eS|xR|_o3Gdd^G>~_I;ts4?jJVqoL8Lsp zZDcBL)6$WXVyXH@e!=sg3lB+xEQTU4|Mqkbr+~mu*tPBKiZj5aum^JbHJzD1fBMAB z!=vNrp2}}m!a|g@&xF4Uph)^?aqSV9szvQ5ue-Pi*_Tv+{h|iqQ;Yx~M@->xS=-w3 zaPw%6F93!+?7hQvQDmyu`wmI6)JEW8W>c88noWq*UN&! z+{LD+rx%-$U@$_(sganPksiJ~U3=+Jssl|IiH^rk71 z85n%FUkLM;1LoDE=hWg}1P&aC+Lgl`)(8jQ0S6rl6tB4mFYoz_7o(HhU0k|*dcL{V zoI7_8?!!=xTXtEQTT-b`YQJUl!(`78LRzU_sGbnN6=xzA4{RTZu)7}0E|0OmnEj%FpVB(YF{ znhBv2qDH0Lw5CrK%w%K%Fgn@_!fAQ9xVZTFE6d9Z=D7le(M3$*dVoI|8yV?WO_^O_ zJbW1H2vnM=WOg-Saq-U`9fg~ZC8CZnF}*D*pgLqNTq%a;!y?8e{Tx%K;pg;e|oIwfc~!SMMt-iR84 z&T&48fh%HTbKUJk^b(~js9Of+hzpC z>D1+Z#0F?+Xf9ciRuIn0rvjrgxFw1mdXq>PoQq`g_%-$h7iz@_j{rLd3|R(v*7}bq zaD%2adFYLc$>qz#NB}^HO28?-6p`CFKooo2Zm#4|GE!IHp&|Mb$@((4n5keEv zOoiRIZ;AA>5bR**-#-T7c>=AIDpc3i4G#@r_Ev%cJE|CDBXyG)7YAsyh628O_b#MH zK!(a|pF$U^Z^yvFXAHG~MFo%D`xoSoD{n*gI)*jEAOXH1nBZT&m|%Efzo;1niIQ2q za1l)ZFm|;NT2l**PPi*RQ|*UwT7hdkXSxE5MsA3z#^9`pqB#o+z82Krc=Sxd1%@+0 zN+aZmlt>=e9O3=old4D;{yimN`{wd@wR7jtGR3hs=@}V?g@r{TdXPMMQkf^ttkyjjxD0|bf+5ch;1sX^&HeFyuO1ar7?jG|?z^=36R@=N zb8|f;&gxk`SUh;FrsvP+V_85?;CjMd%WQsfLTwoZ1zBZkWgT7k@#Dv61{EbGsmHzq z(xNVflkOuqRbvuD8#RHtwdje|;K*q9d*kx5U5DUZUUPAIVZzU;ro&FRpA-oS<>(Lq zLgY|K;SueE*Jx@_*6}Qe0FPRyFM~95~sGX@KjhM`c{zevs&c4@*-sQ z6PXogNfl_pfzW3EEl-{Yz(Pc6R-tb;zX_&jl7_9NWz5s3?c>haTGeQ~;}2CKQ2G2C zQ($gJvIM%JySw}G6DLefOav(*@&#-zHA8friT{NB$lT0~NwxEv?(Y5n%nhFW`sIA; zR3VB5bi5n07uSZwlDjIw+4=n=DJ{(c4jUA+m8lLShm!VZ&R#X{$;eks(!7o;s8E!< z61%P9Qea!l7fKK*=#?!P-%l(ho<+XQk3_B>xii3>rqW~+{$`iWy7NibC7G%H?3!c{ zp1Gl@LOe(nOCSNMW@A@r|9@rO{$~{be-n)Re}8fM8&4u4QCpbMutUDDtV6S67PclI z9v9VvR=x9QGytmrX{Kd*#i2%=nN6?k6#5kMKLF&$752(87?V>u+8K~EGODABi+`fS zz_#$&-dtx2^Tr{?{P;QA(D43NHMACRuHD3M^7QjDo$~5xpaN~IIpF1arKKRzx!H$%e>wvOCqdu8W{k95kfdbd~8|P_iu@92NPVNE3a>l2JF;tQsA1a zT_+>tS;^t30~l0zCO>#k0$%#^r8Kw(Fvw?F<1EJtG{U1KzNWzr6JJ#EP4O{X=9^b=r=Vzot>SH0STW^-;XzlHRjPHwHU|ISM~An zmnx!E&#S4usH`k%eT)%+(`?PLn>Y|jm7*di1{$CM$eUr1&+*0kkyEXwu~A7^cLmmu zepD@S&N;}8Nb8kC9$T#Y##_G|Uo$p!d)Td5-2+SO10K zfs>ES;Kz;*l<5|*JN_TbH#0RwuwC=QwoF}XHUSTy1!3B5EK;CxVA0+RLKC>!H-at0 zMHB`G5;oEPa5kNc-v%MeqL@a@7W?3VAm~E)Sw(^6wY5oS39N^n2PLFEAU1mCxFi93 z3XHsZ>lQlx1m1+U{OT$+3j`Bx-@Yy8&~JG8^2J0!HgWMPo+EHNeHOpe;CA;>QzNjX ztEHv2X0}JMrKJVZqP_{V=E1jbEs^X(lI_Q*>}aHT5INI7oyj!^-9Aae#nRjRFWNpP zcWZ%sz`gwKiagZ|rDje}MUXW?KHJ(k$=~+%c|fU&5Fu##69t@c>PVtoe0D~^tfQ@~ zrzh`HzZ8_@r;=_UT+meWW7g0%@TTH~)B(`G!`GMVkj?TK(lRovut@aNgg%n^ffmhmD~Pn^(JUHW2nB&d`F_t1YW(m11Sqd!Ozc6s-X8u-__L>?+T@R zMs4FUHxExcVTxU4n-NN?4^f2ip^zpO18xvf=Qw1U`DUVXH$l*mXbU9zi| zmaag=gbMKQBxj>+%+n7iVf^~_D;!BNVPQ+D2SYGVu#)TGUP+RxgZj_URKK)n3^j#Q z4}h_1?c~HCY5_e&UwRRGz`clwTFl2ssre@a1)U*+X z(B?ss(9d8pV}&Q5(8E8&H}lid0xbrRlYmth^fP@Flwf!|BPg)oIA(C$>~<}1s+6=+qCCwkFv`w z)|7_jObBgHZ!bcUj*|l4=RX&3Z*L>k3e<|NLmEkZOGMV{Jtd@MD45Xet!-?O_x45; zSmkKg`hD5Qrxv6F?GufYm6jY_JNv?u{;C`1wpFV)kJE+2a!{b%caYES>r2UcyOx-f z;|-uU_wvbp(7Z*5ju(mi{C4##l>A&FpPkUs!>L4v~7%q$t=09@_o zg@s$_yZE*<@Rk;0VwgYoEe61d;vPN>q+MQG(x!Ya9g)rxa5=9CXgFK**&Ol*BGdR3 z#!&8L+tIAFG+@Fv8X$o{n^CWB=R`DYZxF~LKD966;D50?Kyn~4KfkSGMJe&|zd=+m z9ih_9Vgew&;OypR^=i4*VC3z1sZE<8WgV_jnRgR0FUHWVe?J>m34v`0p_huyE*NBd zpPrVIkmxdaj08FxTN=P4ju!Ray~xiV47FHQ{)QA*(wWcbRv4Os4C%jthQ0VWSy z2&%`0Ir`qc3~{v!7oJJqEX~TAL@hM<{R^eV(Pv8O>}+q(G~nXladmO2ahce2AOKBg zW<`aI9#mxtvwAfhyX+?M6gPi7gp_!fX_azA4}vYQ84>S-ACn^K7V0mFSpa)mksO{Y zkUoJyb#)1fiN)O%$JE+cN!g)iV9?(VM8LhJwKXq2tFQL$sT;UKjD7;OZ*3(^Wr$J; zjMmrJBO{dWeHRb_gqD$wo|)NXjrR+V1VXzg>m|T4&}4+iK8Thgw)r@JdV*4!RH}0FCXX zlJasr#~S$cND8%g8mg)7jhfIn@-QU@@z_TCKMm-3SZ7`OIOOGR+73>6#I<~w9KLQ` zOct}wC*)Oc z1I^>|k)1>b@qrJQ=NJqFPP z1Th~xlDRo)E_7yQ2Gs!ZAx<3{VnKfXlejo#0aVbT`YMP4=>12}xD!JEjG-;or8rh_ z*rvBGqOiZauHyjEH=@1vqIXo@7}Yc%=h^M&F<5`g3&-9k3gL~Knst2GjGBy0y^z&= zy{wqG=Lq(9_GTmQ~h92V2cV*&!ZOPpqts{yaGv23xE)k3i8G zLm#qB!e@aBLv`dd*J7pb6^u%TJ3=s6@I5fIu1CmR#+kFJv&UeMqmGDweDh|!xM4eQ zQzkbMei(ob0{S#ZP8UQxf$ks0EZNi9d1I*j8q(wvz(e>J zQE)wo4;K0!*f^4D7&-C%J7i0*)fw%kK0rB4Y!nn>1aPvm_p+Wgu4q^XUH)%eUn+l# znTvRe#)S*K#tKN7brP&EVYk+Rt-rqhc1U`dJcY0k9897X)1I#Oh{J-BKr#^1?11gay6PUpibgr>X>AOt%d%+!o#u&{gC|-(Jc*qW#mqTMDk^Lbtg&wzh--jfezvUw zv;iQ;f+2oPaj@}5DDk>6h)#qKh5&`5{hWmm+wY0v85Fl7UWlWq}Ol;dEslv?s zyqkpjt65#1xNVHoz`(%vB=b|)6T89E$#ms=;Lf^g0vnhk|Nj2%9pfjjT{OdLCJ_`o zJb{wET-X{AJhLZfd6ZQ)r8qmAla_qOHtBJ$XFp;Y*d9M?>+fKgZHE%TnI7R(1KO$o zW=&{2Nw?QjJ|j+2UcNAgC z{U@l{etc@wod%0p3=bLr!-AV2cEcMl@6d>2)zcHhO5T(NiTKaF@hL1{BS9eyZ1GuT zPSeV%HpWV#6&Uk?Rw1|ZXu30H#asHnAXm~Y66k`8N=opZ4hon_JCD6qcaktd*Z_m^ z#+Pb^ghkA09YaG^f%MCi>~w1StzJBeJ38?J$4YkYgjoy##}bzCgi2J`AGuAS;3P4J zOC8k6=$3;;61v9FP*2tebvp+KLP#A4*TvJ5pPPFx1x4PVLYopfDo>7;^$Mg=^qI+J zJdx3LJ(z)T1?ceLd5Mx>IFP=tUAh#Xlw_oQIV&^M1do>0u+8Bt2q!rL${QOSt3)y9 zes_lHi1lgt_|aA;PmgD7+(RGpN{CW-b5Hl~XTqbbL9Aa!Mj$ZN`K-;gdKuQ(@6aM% zw>VhFiG@CMrgpOjkJgBYlp$tW7$bw>O3VgI_i+D#18x)VBhdr|6BLg>ByTLi;}WQLLt9pu*GOwb zxV`dSR}6@+P?)x{1%p8slT9&y-tZP0I%K)o(gBPMV50_oNNZE+N z#DQF^#oG`(L-6UmgWCmbM@Kx_G=pwt^3vM{Tt$EItdf!y0vPTx^`!-9MXj;i?syu4 zPe^D9LoV)yD-3B~gCf-|9or~*)~@buZntYX@1dYvN+YDlr@IXp zKrp;PfZNT8pLuy26F#iFf6mB+6q1gUs8KDIvg|;!HCn20|e#q*ejUO zntzhHMMg(QvEIMk$B7$D(4!%P#^zQt*6I0~}}x=BX2ibbuD69!NQRe6~BI84-(_$7hF7^}4#c=hfAD0s=LN zCZi3zDd?4j){aCRJ05BQm}5|6((>WMm9O9?s1<6%`;uCy+0l+}^KW&CJcwk?{2z4_duy zd^+2+1(O^7aA*79PcS=_e&&q@iCe!5%F0Bdn?dXrFu@fQM8!l!F&f*x$YswUFo9V} zc*JkXduV6~qvhAynoYd0QFM|U6bV$585A4nKmZgG3l69zvFZ9lRciy7LL1`f};sK1>1aqwVO=&X#baBUl+q7rk>BhzN0Y9UR8R+R_ zPek3(qUAtovTP*!lCcKKd47q22nm2xDXT z5fmYOL2!NcYy|2|vh>Ywi;G1thKh?J@%%zk7lRpD?}+9JfV5|4JR;U<0c4YCzTrZ# zYPg}R&d$FOvBz(p>y-0aWDd1JD>R4x35Na~*|`<(m*5qwA&CZ1gc%@>9yu~xY%X^+ z`ZFdpe1_v8u-E#K{lj;Fp#f)kUQtL%)j{@)kbSqzQ!8!-tpIHpDmI44rAwEfFdcBK zgxF(fXc#MZ3UFw9gh%nYfv&v#ZP1Qy*R@51SP7uQb+Q$HE8Y?*0^nbuvte{5k|lpxtU1KLArm5?KaBx6-Ht=zwp*tehPzn?{dn zE%-HZON1+8?sM^I$le1yK6@wor03Z}$b+guT|r=Bq|EXg#63{YIwtFzD%G#A43uSQ zd3@#P3>O~7C*~*oy#Pyho4zf3xfq;frNtA*m;C%}KrYX~R6+O38@LBs$8UrF@L{8= zBX?=>oM#3?{@(&y@t%kQLjPRN#PcFsoe`f5QoXG5PPx_C~!Q%H2j3rV8 zI5r)6Q;8c_z?=fq68xy=4aMmH-A@_YE*yVW;WINX-?mYmV| z&$xb9_4VEK`WbVnpXFM`Ts^v-(3RIjweizo-qL0aDtT#W8Qfn(^$X*7;ZbQsm-32> z`7rpCVQ=?%IXF3)+4izL&TCfxw&WcVEQTizg%{+>l`UQ#K|B%q6SKExvnq799jZ zSQsaIOL|xJ{Bm9h^VIMcy+e|n{?>hNd#GiIRL}iz#)ik;Pt|W3|ACCz!UC^xg#8&l zv%`Y%!bA)_+}yJ;H)U2ELHP3rqTUFKit7DvFj9s*Rj^1KRt{l8UFWir9P{r6j*20# zNMwBE?||4NWeO>v6a|7Ok@dV*&;t_U^M1W?Ss5XSzj$~$uTEb{5=Bj~ zd?zFXhHU2VKhyobd^SYAFx}*Sd^dTB;9hDfE4UP5k?KAUf$FRwLBYWX=;-iN1wjis wt@413=yoW1k@K$q=f8>J|6({z?(7P7`fN3;+3HP4I}sDF#rGn literal 0 HcmV?d00001