Přidání 5. příkladu z FYI

KFY FYI1/Priklad05.md

@@ -0,0 +1,53 @@
+### Zadání
+
+Raketa o hmotnosti 100 kg nese pohonné látky o hmotnosti 1300 kg. Plyny tryskají z rakety (relativní) rychlostí 3 km/s. Určete: možné zvýšení rychlosti rakety v kosmickém prostoru.
+
+- $m_{R} = 100 \, \text{kg}$
+- $m_{P} = 1300 \, \text{kg}$
+- $u = 3 \, \text{km/s}$
+- $\Delta v = \, ?$
+- kosmický prostor $\to$ izolovaný systém $\to$ zákon zachování hybnosti
+	- $\vec p = \text{konst.}$
+
+![](_assets/priklad5.svg)
+
+- $p(t) = p(t + dt)$
+	- palivo $\mu$ se přemění na plyny, ty uniknou z rakety
+	- v čase $t$ platí
+		- $p(t) = m(t) \cdot v(t)$
+	- v čase $t + dt$ platí
+		- $p(t) = m(t+dt) \cdot v(t+dt) + \mu [u(t)-u]$
++ $p(t) = p(t+dt)$
++ $m(t) \cdot u(t) = m(t+dt) \cdot v(t+dt) + \mu[u(t)-u]$
+- platí:
+	- $m(t+dt) = m(d) + dm$
+	- $v(t+dt) = v(t) + dv$
+	- $\mu = -dm$
+
+### Výpočet
+
+$m(t) \cdot v(t) = [m(t)+dm] \cdot [v(t)+dv] -dm[v(t)-\mu]$
+
+$\cancel{m(t) \cdot v(t)} = \cancel{m(t) \cdot v(t)} + m(t) \cdot dv + \cancel{dm \cdot v(t)} + dm \cdot dv - \cancel{dm \cdot v(t)} + u \cdot dm$
+- $dm \cdot dv$ zanedbáme, velmi malé číslo
+
+$0 = m(t) \cdot dv + u \cdot dm$
+
+$udm = m(t) \cdot dv$
+
+$\displaystyle \frac{dm}{m(t)} = -\frac{dv}{u}$
+
+$\displaystyle \int^{m_{R}}_{m_{R}+m_{P}} \frac{dm}{m(t)} = -\frac{1}{u} \int^{v}_{v_{0}} dv$
+
+$[\ln(m)]^{m_{R}}_{m_{R}+m_{P}} = -\frac{1}{u}[v]^{v}_{v_{0}}$
+
+$\ln(m_{R}) - \ln(m_{R}+m_{P}) = -\frac{1}{u}(v-v_{0}) \quad v-v_{0}=\Delta v$
+
+$u \cdot \ln\left[ \frac{m_{R}+m_{P}}{m_{R}} \right] = \Delta v$
+
+Ciolkovského rovnice
+- $\Delta v = u \cdot \ln\left[ 1 + \frac{m_{P}}{m_{R}} \right]$
+
+### Výsledek
+
+$\Delta v = 3 \cdot \ln\left( 1 + \frac{1300}{100} \right) \, \text{km/s} = 7.92 \, \text{km/s}$