diff --git a/KFY FYI1/Priklad05.md b/KFY FYI1/Priklad05.md new file mode 100644 index 0000000..354a342 --- /dev/null +++ b/KFY FYI1/Priklad05.md @@ -0,0 +1,53 @@ +### Zadání + +Raketa o hmotnosti 100 kg nese pohonné látky o hmotnosti 1300 kg. Plyny tryskají z rakety (relativní) rychlostí 3 km/s. Určete: možné zvýšení rychlosti rakety v kosmickém prostoru. + +- $m_{R} = 100 \, \text{kg}$ +- $m_{P} = 1300 \, \text{kg}$ +- $u = 3 \, \text{km/s}$ +- $\Delta v = \, ?$ +- kosmický prostor $\to$ izolovaný systém $\to$ zákon zachování hybnosti + - $\vec p = \text{konst.}$ + +![](_assets/priklad5.svg) + +- $p(t) = p(t + dt)$ + - palivo $\mu$ se přemění na plyny, ty uniknou z rakety + - v čase $t$ platí + - $p(t) = m(t) \cdot v(t)$ + - v čase $t + dt$ platí + - $p(t) = m(t+dt) \cdot v(t+dt) + \mu [u(t)-u]$ ++ $p(t) = p(t+dt)$ ++ $m(t) \cdot u(t) = m(t+dt) \cdot v(t+dt) + \mu[u(t)-u]$ +- platí: + - $m(t+dt) = m(d) + dm$ + - $v(t+dt) = v(t) + dv$ + - $\mu = -dm$ + +### Výpočet + +$m(t) \cdot v(t) = [m(t)+dm] \cdot [v(t)+dv] -dm[v(t)-\mu]$ + +$\cancel{m(t) \cdot v(t)} = \cancel{m(t) \cdot v(t)} + m(t) \cdot dv + \cancel{dm \cdot v(t)} + dm \cdot dv - \cancel{dm \cdot v(t)} + u \cdot dm$ +- $dm \cdot dv$ zanedbáme, velmi malé číslo + +$0 = m(t) \cdot dv + u \cdot dm$ + +$udm = m(t) \cdot dv$ + +$\displaystyle \frac{dm}{m(t)} = -\frac{dv}{u}$ + +$\displaystyle \int^{m_{R}}_{m_{R}+m_{P}} \frac{dm}{m(t)} = -\frac{1}{u} \int^{v}_{v_{0}} dv$ + +$[\ln(m)]^{m_{R}}_{m_{R}+m_{P}} = -\frac{1}{u}[v]^{v}_{v_{0}}$ + +$\ln(m_{R}) - \ln(m_{R}+m_{P}) = -\frac{1}{u}(v-v_{0}) \quad v-v_{0}=\Delta v$ + +$u \cdot \ln\left[ \frac{m_{R}+m_{P}}{m_{R}} \right] = \Delta v$ + +Ciolkovského rovnice +- $\Delta v = u \cdot \ln\left[ 1 + \frac{m_{P}}{m_{R}} \right]$ + +### Výsledek + +$\Delta v = 3 \cdot \ln\left( 1 + \frac{1300}{100} \right) \, \text{km/s} = 7.92 \, \text{km/s}$ \ No newline at end of file diff --git a/KFY FYI1/_assets/priklad5.svg b/KFY FYI1/_assets/priklad5.svg new file mode 100644 index 0000000..7b98868 --- /dev/null +++ b/KFY FYI1/_assets/priklad5.svg @@ -0,0 +1,4 @@ + + + +
u
u
v(t)
v(t)
r(t)
r(t)Text is not SVG - cannot display \ No newline at end of file