Úprava poznámek ke kvadratickým formám v LAA

KMA LAA/0. Komplexní čísla.md

@@ -1,9 +1,9 @@
 # Komplexní čísla 
 
-z = a + bi
-
-$i^2 = -1$
+- $z = a + bi$
+- $i^2 = -1$
+- $i = \sqrt{ -1 }$
 
 ### Komplexně sdružené číslo
 
-Komplex. sdružené číslo k $x = a + bi$ je $\overline{x} = a - bi$
+Komplexně sdružené číslo k $x = a + bi$ je $\overline{x} = a - bi$

KMA LAA/10. Kvadratické formy.md

@@ -1,36 +1,58 @@
 # Kvadratické formy
+
 ## Kvadratická forma
-- **A** => reálná symetrická matice řádu n
-- kvadratická forma určená maticí **A** je zobrazení $\kappa (x) = x^{T}Ax$
-- nechť **A** je reálná symetrická matice =>
-    - 1) všechna vlastní čísla matice **A** jsou reálná
-    - 2) ke každému vlastnímu číslu existuje reálný vlastní vektor
-    - 3) vlastní vektory příslušející různým vlastním číslům jsou ortogonální
-- reálná symetrická matice **A** řádu n má n ortogonálních reálných vlastních vektorů
+
+- matice **A** je reálná symetrická matice řádu $n$
+- kvadratická forma určená maticí **A** je zobrazení $\kappa(\vec{x}) = \vec{x}^{T}A\vec{x}$
+- Nechť **A** je reálná symetrická matice. Potom
+	1. všechna vlastní čísla matice **A** jsou reálná;
+		- **DK**: Nechť $\lambda \in \mathbb{C}$ je vlastním číslem matice **A** s vl. vektorem $\vec{u}$. Tedy $A \cdot \vec{u} = \lambda \cdot \vec{u}$.
+		- platí:
+			$$\vec{u}^T \cdot A \cdot \overline{\vec{u}} = \vec{u}^T \cdot (A \cdot \overline{\vec{u}}) = \vec{u}^T \cdot (\overline{A} \cdot \overline{\vec{u}}) = \vec{u}^T \cdot \overline{\lambda} \cdot \overline{\vec{u}} = \overline{\lambda} \cdot \vec{u}^T \cdot \overline{\vec{u}} = \overline{\lambda} \cdot (\vec{u}, \overline{\vec{u}})$$
+			$$\vec{u}^T \cdot A \cdot \overline{\vec{u}} = \vec{u}^T \cdot A^T \cdot \overline{\vec{u}} = (A \cdot \vec{u})^T \cdot \overline{\vec{u}} = (\lambda \cdot \vec{u})^T \cdot \overline{\vec{u}} = \lambda \cdot \vec{u}^T \cdot \overline{\vec{u}} = \lambda \cdot (\vec{u}, \overline{\vec{u}})$$
+			$$\implies \lambda = \overline{\lambda} \implies \lambda \in \mathbb{R} \qquad \vec{u} \neq \vec{o}$$
+	1. ke každému vlastnímu číslu existuje **reálný vlastní vektor**;
+		- **DK**: $A- \lambda I$ je reální singulární $\implies \exists$ nenulové reálné řešení 
+	2. vlastní vektory příslušející různým vlastním číslům **jsou ortogonální**.
+		- **DK**: Nechť $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ jsou různá vl. čísla s vl. vektory $\vec{u}_{1}, \vec{u}_{2}$.
+		- platí: 
+			$$\vec{u}_{1}^T \cdot A \cdot \vec{u}_{2} = \vec{u}_{1}^T \cdot \lambda_{2} \cdot \vec{u}_{2} = \lambda_{2} \cdot \vec{u}_{1}^T \cdot \vec{u}_{2} = \lambda_{2} \cdot (\vec{u}_{1}, \vec{u}_{2})$$
+			$$\vec{u}_{1}^T \cdot A \cdot \vec{u}_{2} = \vec{u}_{1}^T \cdot A^T \cdot \vec{u}_{2} = (A \cdot \vec{u}_{1})^T \cdot \vec{u}_{2} = \lambda_{1} \cdot \vec{u}_{1}^T \cdot \vec{u}_{2} = \lambda_{1} \cdot (\vec{u}_{1}, \vec{u}_{2})$$
+			$$\text{protože } \lambda_{1} \neq \lambda_{2} \implies (\vec{u}_{1}, \vec{u}_{2}) = 0 \implies \vec{u}_{1} \perp \vec{u}_{2}$$
+- Reálná symetrická matice **A** řádu $n$ má $n$ ortogonálních reálných vlastních vektorů.
 
 ### Zákon setrvačnosti kvadratických forem
-- je-li kvadratická forma vyjádřena dvěma způsoby jako lineární kombinace čtverců souřadnic vzhledem ke dvěma bázím => v obou vyjádřeních je **stejný počet kladných, záporných i nulových koeficientů**
+
+- Je-li kvadratická forma na $\mathbb{R}^n$ vyjádřena dvěma způsoby jako lineární kombinace čtverců souřadnic vzhledem ke dvěma bázím, pak v obou vyjádřeních je **stejný počet kladných, záporných i nulových koeficientů**.
+	- $2x^2 + 2y^2 = (x+y)^2 + (x-y)^2$
 
 ### Inercie kvadratické formy
-- Nechť $\kappa (x) = x^{T}Ax$ je kvadratická forma, **A** reálná symetrická matice
-    - k - počet kladných čísel **A**
-    - z - počet záporných čísel **A**
-    - d - počet nulových čísel **A**
-- trojici čísel **(k, z, d)** nazýváme **inercií kvadratické formy**
-- značíme in( $\kappa $ ) = (k, z, d)
+
+- Nechť $\kappa(\vec{x}) = \vec{x}^{T}A\vec{x}$ je kvadratická forma, **A** reálná symetrická matice. Označme
+	- $k$ - počet kladných čísel **A** (vč. násobností);
+	- $z$ - počet záporných čísel **A**;
+	- $d$ - počet nulových čísel **A**.
+- Trojici čísel ($k$, $z$, $d$) nazýváme **inercií kvadratické formy**.
+- značíme $in(\kappa) = (k, z, d)$
 
 #### Druhy inercií
-- **pozitivně definitní** => in( $\kappa$ ) = (k, 0, 0)
-- **negativně definitní** => in( $\kappa$ ) = (0, z, 0)
-- **pozitivně semidefinitní** => in( $\kappa$ ) = (k, 0, d), d > 0
-- **negativně semidefinitní** => in( $\kappa$ ) = (0, z, d), d > 0
-- **indefinitní** => in( $\kappa$ ) = (k, z, d)
-    - k > 0, z > 0
+
+Řekněme, že kvadratická forma $\kappa(\vec{x})$ na $\mathbb{R}^n$ je
+
+| typ                         | jestliže                               |
+| --------------------------- | -------------------------------------- |
+| **pozitivně definitní**     | $in(\kappa) = (k, 0, 0)$               |
+| **negativně definitní**     | $in(\kappa) = (0, z, 0)$               |
+| **pozitivně semidefinitní** | $in(\kappa) = (k, 0, d), d > 0$        |
+| **negativně semidefinitní** | $in(\kappa) = (0, z, d), d > 0$        |
+| **indefinitní**             | $in(\kappa) = (k, z, d), k > 0, z > 0$ |
 
 ### Hlavní minory
-- Nechť A = [ $a_{ij}$ ] reálná symetrická matice řádu n a $A_k$ je její podmatice obsahující prvky $a_{11}, a_{12}, ..., a_{kk}$ => číslo det($A_k$) nazveme **hlavním minorem matice** A **řádu** k a značí se $\Delta _{k}$
+
+- Nechť $A = [a_{ij}]$ je reálná symetrická matice řádu $n$ a $A_k$ je její podmatice obsahující prvky $a_{11}, a_{12}, \dots, a_{kk}$. Potom číslo $\det(A_k)$ nazveme **hlavním minorem matice** $A$ **řádu** $k$ a značí se $\Delta _{k}$.
 
 ### Definitnost kvadratické formy (Sylvestorovo kriterium)
-- Nechť **A** reálná symetrická matice řádu n s hlavními minory $\Delta _{1}, \Delta _{2}, ... , \Delta _{n} \neq 0$
-- Kvadratická forma $\kappa (x) = x^{T}Ax$ je **pozitivně definitní** => $\Delta _{i} > 0$ pro každé i z {1, 2, ..., n}
-- Kvadratická forma $\kappa (x) = x^{T}Ax$ je **negativně definitní** => $\Delta _{i} > 0$ pro každé i z {1, 2, ..., n} sudé a $\Delta _{i} < 0$ pro každé i z {1, 2, ..., n} liché
+
+- Nechť **A** je reálná symetrická matice řádu $n$ s hlavními minory $\Delta _{1}, \Delta _{2}, \dots, \Delta _{n} \neq 0$.
+- Kvadratická forma $\kappa(\vec{x}) = \vec{x}^{T}A\vec{x}$ je **pozitivně definitní**, jestliže $\Delta _{i} > 0$ pro každé i z $\{1, 2, \dots, n\}$.
+- Kvadratická forma $\kappa(\vec{x}) = \vec{x}^{T}A\vec{x}$ je **negativně definitní**, jestliže $\Delta _{i} > 0$ pro každé i z $\{1, 2, \dots, n\}$ sudé a $\Delta _{i} < 0$ pro každé i z $\{1, 2, \dots, n\}$ liché.