diff --git a/KMA LAA/0. Komplexní čísla.md b/KMA LAA/0. Komplexní čísla.md index 383c058..fa7a049 100644 --- a/KMA LAA/0. Komplexní čísla.md +++ b/KMA LAA/0. Komplexní čísla.md @@ -1,9 +1,9 @@ # Komplexní čísla -z = a + bi - -$i^2 = -1$ +- $z = a + bi$ +- $i^2 = -1$ +- $i = \sqrt{ -1 }$ ### Komplexně sdružené číslo -Komplex. sdružené číslo k $x = a + bi$ je $\overline{x} = a - bi$ \ No newline at end of file +Komplexně sdružené číslo k $x = a + bi$ je $\overline{x} = a - bi$ \ No newline at end of file diff --git a/KMA LAA/10. Kvadratické formy.md b/KMA LAA/10. Kvadratické formy.md index f7c54bb..7ff184a 100644 --- a/KMA LAA/10. Kvadratické formy.md +++ b/KMA LAA/10. Kvadratické formy.md @@ -1,36 +1,58 @@ # Kvadratické formy + ## Kvadratická forma -- **A** => reálná symetrická matice řádu n -- kvadratická forma určená maticí **A** je zobrazení $\kappa (x) = x^{T}Ax$ -- nechť **A** je reálná symetrická matice => - - 1) všechna vlastní čísla matice **A** jsou reálná - - 2) ke každému vlastnímu číslu existuje reálný vlastní vektor - - 3) vlastní vektory příslušející různým vlastním číslům jsou ortogonální -- reálná symetrická matice **A** řádu n má n ortogonálních reálných vlastních vektorů + +- matice **A** je reálná symetrická matice řádu $n$ +- kvadratická forma určená maticí **A** je zobrazení $\kappa(\vec{x}) = \vec{x}^{T}A\vec{x}$ +- Nechť **A** je reálná symetrická matice. Potom + 1. všechna vlastní čísla matice **A** jsou reálná; + - **DK**: Nechť $\lambda \in \mathbb{C}$ je vlastním číslem matice **A** s vl. vektorem $\vec{u}$. Tedy $A \cdot \vec{u} = \lambda \cdot \vec{u}$. + - platí: + $$\vec{u}^T \cdot A \cdot \overline{\vec{u}} = \vec{u}^T \cdot (A \cdot \overline{\vec{u}}) = \vec{u}^T \cdot (\overline{A} \cdot \overline{\vec{u}}) = \vec{u}^T \cdot \overline{\lambda} \cdot \overline{\vec{u}} = \overline{\lambda} \cdot \vec{u}^T \cdot \overline{\vec{u}} = \overline{\lambda} \cdot (\vec{u}, \overline{\vec{u}})$$ + $$\vec{u}^T \cdot A \cdot \overline{\vec{u}} = \vec{u}^T \cdot A^T \cdot \overline{\vec{u}} = (A \cdot \vec{u})^T \cdot \overline{\vec{u}} = (\lambda \cdot \vec{u})^T \cdot \overline{\vec{u}} = \lambda \cdot \vec{u}^T \cdot \overline{\vec{u}} = \lambda \cdot (\vec{u}, \overline{\vec{u}})$$ + $$\implies \lambda = \overline{\lambda} \implies \lambda \in \mathbb{R} \qquad \vec{u} \neq \vec{o}$$ + 1. ke každému vlastnímu číslu existuje **reálný vlastní vektor**; + - **DK**: $A- \lambda I$ je reální singulární $\implies \exists$ nenulové reálné řešení + 2. vlastní vektory příslušející různým vlastním číslům **jsou ortogonální**. + - **DK**: Nechť $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ jsou různá vl. čísla s vl. vektory $\vec{u}_{1}, \vec{u}_{2}$. + - platí: + $$\vec{u}_{1}^T \cdot A \cdot \vec{u}_{2} = \vec{u}_{1}^T \cdot \lambda_{2} \cdot \vec{u}_{2} = \lambda_{2} \cdot \vec{u}_{1}^T \cdot \vec{u}_{2} = \lambda_{2} \cdot (\vec{u}_{1}, \vec{u}_{2})$$ + $$\vec{u}_{1}^T \cdot A \cdot \vec{u}_{2} = \vec{u}_{1}^T \cdot A^T \cdot \vec{u}_{2} = (A \cdot \vec{u}_{1})^T \cdot \vec{u}_{2} = \lambda_{1} \cdot \vec{u}_{1}^T \cdot \vec{u}_{2} = \lambda_{1} \cdot (\vec{u}_{1}, \vec{u}_{2})$$ + $$\text{protože } \lambda_{1} \neq \lambda_{2} \implies (\vec{u}_{1}, \vec{u}_{2}) = 0 \implies \vec{u}_{1} \perp \vec{u}_{2}$$ +- Reálná symetrická matice **A** řádu $n$ má $n$ ortogonálních reálných vlastních vektorů. ### Zákon setrvačnosti kvadratických forem -- je-li kvadratická forma vyjádřena dvěma způsoby jako lineární kombinace čtverců souřadnic vzhledem ke dvěma bázím => v obou vyjádřeních je **stejný počet kladných, záporných i nulových koeficientů** + +- Je-li kvadratická forma na $\mathbb{R}^n$ vyjádřena dvěma způsoby jako lineární kombinace čtverců souřadnic vzhledem ke dvěma bázím, pak v obou vyjádřeních je **stejný počet kladných, záporných i nulových koeficientů**. + - $2x^2 + 2y^2 = (x+y)^2 + (x-y)^2$ ### Inercie kvadratické formy -- Nechť $\kappa (x) = x^{T}Ax$ je kvadratická forma, **A** reálná symetrická matice - - k - počet kladných čísel **A** - - z - počet záporných čísel **A** - - d - počet nulových čísel **A** -- trojici čísel **(k, z, d)** nazýváme **inercií kvadratické formy** -- značíme in( $\kappa $ ) = (k, z, d) + +- Nechť $\kappa(\vec{x}) = \vec{x}^{T}A\vec{x}$ je kvadratická forma, **A** reálná symetrická matice. Označme + - $k$ - počet kladných čísel **A** (vč. násobností); + - $z$ - počet záporných čísel **A**; + - $d$ - počet nulových čísel **A**. +- Trojici čísel ($k$, $z$, $d$) nazýváme **inercií kvadratické formy**. +- značíme $in(\kappa) = (k, z, d)$ #### Druhy inercií -- **pozitivně definitní** => in( $\kappa$ ) = (k, 0, 0) -- **negativně definitní** => in( $\kappa$ ) = (0, z, 0) -- **pozitivně semidefinitní** => in( $\kappa$ ) = (k, 0, d), d > 0 -- **negativně semidefinitní** => in( $\kappa$ ) = (0, z, d), d > 0 -- **indefinitní** => in( $\kappa$ ) = (k, z, d) - - k > 0, z > 0 + +Řekněme, že kvadratická forma $\kappa(\vec{x})$ na $\mathbb{R}^n$ je + +| typ | jestliže | +| --------------------------- | -------------------------------------- | +| **pozitivně definitní** | $in(\kappa) = (k, 0, 0)$ | +| **negativně definitní** | $in(\kappa) = (0, z, 0)$ | +| **pozitivně semidefinitní** | $in(\kappa) = (k, 0, d), d > 0$ | +| **negativně semidefinitní** | $in(\kappa) = (0, z, d), d > 0$ | +| **indefinitní** | $in(\kappa) = (k, z, d), k > 0, z > 0$ | ### Hlavní minory -- Nechť A = [ $a_{ij}$ ] reálná symetrická matice řádu n a $A_k$ je její podmatice obsahující prvky $a_{11}, a_{12}, ..., a_{kk}$ => číslo det($A_k$) nazveme **hlavním minorem matice** A **řádu** k a značí se $\Delta _{k}$ + +- Nechť $A = [a_{ij}]$ je reálná symetrická matice řádu $n$ a $A_k$ je její podmatice obsahující prvky $a_{11}, a_{12}, \dots, a_{kk}$. Potom číslo $\det(A_k)$ nazveme **hlavním minorem matice** $A$ **řádu** $k$ a značí se $\Delta _{k}$. ### Definitnost kvadratické formy (Sylvestorovo kriterium) -- Nechť **A** reálná symetrická matice řádu n s hlavními minory $\Delta _{1}, \Delta _{2}, ... , \Delta _{n} \neq 0$ -- Kvadratická forma $\kappa (x) = x^{T}Ax$ je **pozitivně definitní** => $\Delta _{i} > 0$ pro každé i z {1, 2, ..., n} -- Kvadratická forma $\kappa (x) = x^{T}Ax$ je **negativně definitní** => $\Delta _{i} > 0$ pro každé i z {1, 2, ..., n} sudé a $\Delta _{i} < 0$ pro každé i z {1, 2, ..., n} liché \ No newline at end of file + +- Nechť **A** je reálná symetrická matice řádu $n$ s hlavními minory $\Delta _{1}, \Delta _{2}, \dots, \Delta _{n} \neq 0$. +- Kvadratická forma $\kappa(\vec{x}) = \vec{x}^{T}A\vec{x}$ je **pozitivně definitní**, jestliže $\Delta _{i} > 0$ pro každé i z $\{1, 2, \dots, n\}$. +- Kvadratická forma $\kappa(\vec{x}) = \vec{x}^{T}A\vec{x}$ je **negativně definitní**, jestliže $\Delta _{i} > 0$ pro každé i z $\{1, 2, \dots, n\}$ sudé a $\Delta _{i} < 0$ pro každé i z $\{1, 2, \dots, n\}$ liché. \ No newline at end of file