diff --git a/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/14. Neorientované a orientované grafy (základní vlastnosti).md b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/14. Neorientované a orientované grafy (základní vlastnosti).md index 991eb79..8c9c30c 100644 --- a/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/14. Neorientované a orientované grafy (základní vlastnosti).md +++ b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/14. Neorientované a orientované grafy (základní vlastnosti).md @@ -1,49 +1,93 @@ # Grafy -**Graf** $G$ je dvojice $G = (V, E)$, kde $V$ je konečná množina a $E \subset \left({V \atop 2}\right)$, přičemž +**Graf** $G$ je dvojice $G = (V, E)$, kde $V$ je konečná množina a $E \subseteq \left({V \atop 2}\right)$, přičemž - $\left({V \atop 2}\right) = \{\{x,y\}: x,y\in V\text{ a } x\neq y\}$ je množina všech dvouprvkových množin (neuspořádaných dvojic) prvků množiny $V$. -- $V(G)$ - prvky množiny $V$ - vrcholy (uzly) grafu $G$ -- $V(E)$ - prvky množiny $E$ - hrany grafu $G$ +- $V(G)$ - prvky množiny $V$ - **vrcholy** (uzly) grafu $G$ +- $E(G)$ - prvky množiny $E$ - **hrany** grafu $G$ Vrcholy $x,y \in V$ jsou sousední, pokud $\{x,y\}\in E$. -**Faktor grafu** $G$ je libovolný jeho podgraf, jehož množina vrcholů je $V(G)$. Faktor je vlastní, je-li různý od grafu $G$. +### Podgraf -**Rovnost grafů** $G_{1} = G_{2}$ -- $G_{1} = (V_{1}, E_{1}), G_{2} = (V_{2}, E_{2})$, pokud $V_{1} = V_{2}, E_{1} = E_{2}$ +Mějme graf $G$, kde graf $H$ je +- podgrafem $G$, pokud platí + - $V(H) \subseteq V(G), \quad E(H) \subseteq E(G)$ + - je to graf $G$, od kterého odebereme hrany a vrcholy +- indukovaným podgrafem $G$, pokud platí + - $V(H) \subseteq V(G), \quad E(H) = E(G) \cap {V(H) \choose 2}$ + - graf $G$ s odebranými vrcholy a všemi hranamy k nim připojeným +### Faktor grafu -## Stupeň vrcholu +**Faktor grafu** $G$ je libovolný jeho podgraf $H$, pro který platí, že množina vrcholů $V(G) = V(H)$ a množina hran $E(G) \subseteq E(H)$. Faktor $H$ je **vlastní**, je-li různý od grafu $G$. -**Stupeň vrcholu** v grafu $G$ je počet gran grafu $G$, které obsahují vrchol $v$. Značí se $d_{G}(v)$. -- V grafu o n vrcholech je stupeň každého vrcholu nejvýše $n-1$. +### Rovnost grafů $G_{1} = G_{2}$ + +Grafy $G_{1} = (V_{1}, E_{1}), G_{2} = (V_{2}, E_{2})$ jsou si rovny, pokud $V_{1} = V_{2}, E_{1} = E_{2}$ + +### Stupeň vrcholu + +**Stupeň vrcholu** v grafu $G$ je počet hran grafu $G$, které obsahují vrchol $v$. Značí se $d_{G}(v)$. + +Obvykle značíme $n = \vert V(G) \vert$ a toto číslo nazýváme **řádem** grafu $G$ (počet vrcholů), a $m = \vert E(G) \vert$ nazýváme **velikostí** grafu $G$ (počet hran). +- V grafu o $n$ vrcholech je stupeň každého vrcholu nejvýše $n-1$. +- V každém grafu platí, že $\sum_{v \in V(G)} d_{G}(v) = 2m$. + - Důsledek: V každém grafu je počet vrcholů lichého stupně sudý. ## Neorientovaný graf - hrany jsou definovány jako neuspořádané dvojice vrcholů -- odpovídá relaci na V, která je antireflexivní a symetrická +- odpovídá relaci na $V$, která je antireflexivní a symetrická -## Orientovaný graf - -- Orientovaný graf je dvojice $G = (V, E)$, kde $V$ je množina vrcholů a $E \subseteq V \times V$ je množina hran. (hrany jsou nyní prvky kartézského součinu, tedy uspořádané dvojice vrcholů) -- orientované grafy odpovídají binárním relacím -- graf může obsahovat dvojici protichůdných hran -- má upravené definice některých pojmů - -## Základní grafy - -### Bipartitní graf +## Speciální grafy **Biparitní (sudý) graf** $K_{m, n}$ má množinu vrcholů rozdělitelnou na dvě **disjunktní množiny** $A, B$ tak, že žádné dva **vrcholy ze stejné množiny nejsou spojeny** hranou. - $V = A \cup B, A \cap B = \emptyset$ - $E \subseteq \{ \{a,b\} \mid a \in A, b \in B \}$ -### Úplný graf +**Úplný graf** na $n$ vrcholech (značený $K_{n}$) obsahuje jako hrany všechny neuspořádané dvojice prvků $[n]$, takže $V(K_{n}) = [n], E(K_{n}) = \left({[n] \atop 2}\right)$. -**Úplný graf** na n vrcholech (značený $K_{n}$) obsahuje jako hrany všechny neuspořádané dvojice prvků $[n]$, takže $V(K_{n}) = [n], E(K_{n}) = \left({[n] \atop 2}\right)$. +**Diskrétní graf** $D_{n}$ na $n$ vrcholech nemá žádné hrany: $V(D_n) = [n], E(D_{n}) = \emptyset$. -### Diskrétní graf +TODO -**Diskrétní graf** $D_{n}$ na n vrcholech nemá žádné hrany: $V(D_n) = [n], E(D_{n}) = \emptyset$. \ No newline at end of file +## Homomorfizmus grafu + +Nechť $G_{1} = (V_{1}, E_{1})$ a $G_{2} = (V_{2}, E_{2})$ jsou grafy. Zobrazení $f: V_{1} \to V_{2}$ je **homomorfismus**, pokud platí +1) $(x, y) \in E_{1} \implies (f(x), f(y)) \in E_{2}$, +2) $\{x, y\} \in E_{1} \implies \{f(x), f(y)\} \in E_{2}$. +- každá hrana se zobrazí na hranu +- zkráceně píšeme $f: G_{1} \to G_{2}$ + +Poznámka: $f: V_{1} \to V_{2}$ je homomorfizmus právě když $e \in E_{1} \implies f^*(e) \in E_{2}$. +### Zobrazení indukované zobrazením + +Nechť $f: V_{1} \to V_{2}$ je **homomorfizmus**. Potom zobrazení $f^*: \left({V_{1} \atop 2}\right) \to \left({V_{2} \atop 2}\right)$ definované vztahy +1) $f^*((u, v)) = (f(u), f(v))$, +2) $f^*(\{u, v\}) = \{f(u), f(v)\}$ + +nazveme **zobrazení indukované zobrazením** $f$. + +### Další morfizmy + +Nechť $G_{1} = (V_{1}, E_{1})$ a $G_{2} = (V_{2}, E_{2})$ jsou grafy a zobrazení $f: V_{1} \to V_{2}$ je **homomorfismus**. Potom se $f$ nazývá +1) **vrcholový monomorfizmus**, je-li $f$ prosté, +2) **vrcholový epimorfizmus**, je-li $f$ na, +3) **hranový monomorfizmus**, je-li $f^*$ prosté, +4) **hranový epimorfizmus**, je-li $f^*$ na, +5) **monomorfizmus**, jsou-li $f$ i $f^*$ prostá, +6) **epimorfizmus**, jsou-li $f$ i $f^*$ na, +7) **izomorfizmus**, jsou-li $f$ i $f^*$ zároveň prostá i na. + +*(mono = prosté, epi = zobrazení na)* + +Grafy $G_{1}, G_{2}$ jsou **izomorfní**, jestliže existuje izomorfizmus $G_{1}$ na $G_{2}$ a píšeme $G_{1} \simeq G_{2}$ + +# Orientované grafy + +- **Orientovaný graf** je dvojice $G = (V, E)$, kde $V$ je množina vrcholů a $E \subseteq V \times V$ je množina hran. (hrany jsou nyní prvky kartézského součinu, tedy uspořádané dvojice vrcholů) +- orientované grafy odpovídají **binárním relacím** +- graf může obsahovat **dvojici protichůdných hran** +- má upravené definice některých pojmů \ No newline at end of file diff --git a/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/15. Stromy.md b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/15. Stromy.md index fe0d014..8b11be3 100644 --- a/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/15. Stromy.md +++ b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/15. Stromy.md @@ -21,4 +21,8 @@ faktor (podgraf jiný, než je graf $G$). Faktor grafu $G$ (podgraf se stejnými vrcholy ale s odebranými stranami), který je stromem, se nazývá **kostra grafu** $G$. -Každý souvislý graf má alespoň jednu kostru. \ No newline at end of file + + + +**Věta**: Každý souvislý graf má alespoň jednu kostru. +- najdu kružnici - odstraním hranu - opakuji (reverzní mazací algoritmus) \ No newline at end of file diff --git a/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/16. Souvislost neorientovaného grafu.md b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/16. Souvislost neorientovaného grafu.md index 984448f..f44ad5a 100644 --- a/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/16. Souvislost neorientovaného grafu.md +++ b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/16. Souvislost neorientovaného grafu.md @@ -34,6 +34,8 @@ Zjištění souvislosti grafu (komponenty grafu) **Uzavřený sled** v grafu $G$ je sled $(v_{0}, \dots, v_{k})$, ve kterém platí $v_{0} = v_{k}$. +**Uzavřený tah** v grafu $G$ je tah $(v_{0}, \dots, v_{k})$, ve kterém platí $v_{0}= v_{k}$. + **Kružnice** v grafu $G$ je uzavřený sled délky alespoň 3, ve kterém se vrchol $v_{0}$ objevuje právě dvakrát a každý ostatní vrchol grafu nejvýše jednou. Číslo $k$ je délka dané kružnice. ## Vlastnosti diff --git a/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/17. Souvislost orientovaného grafu.md b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/17. Souvislost orientovaného grafu.md index ef451f8..65dc7e2 100644 --- a/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/17. Souvislost orientovaného grafu.md +++ b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/17. Souvislost orientovaného grafu.md @@ -2,13 +2,38 @@ Pojmy **podgraf** a **indukovaný podgraf** jsou definovány stejně jako u neorientovaných grafů. -## Symetrizace grafu +### Symetrizace orientovaného grafu + +**Symetrizací orientovaného grafu** $\vec{G}$ nazveme neorientovaný graf $G$, kde $V(G) = V(\vec{G})$ a $E(G) = \left\{ \{ x, y \}; (x, y) \in E(\vec{G}) \right\}$. Z orientovaného grafu můžeme snadno vyrobit neorientovaný graf tím, že "zapomeneme" orientaci všech hran. Případné smyčky odstraníme a násobné hrany nahradíme jednoduchými. +### Orientace neorientovaného grafu + +**Orientací neorientovaného grafu** $G$ nazveme orientovaný graf $\vec{G}$ s $V(\vec{G}) = V(G)$ a pro každou hranu $e \in E(G)$ zvolíme v $\vec{G}$ jednu ze dvou možných orientací. + +**Symetrickou orientací neorientovaného grafu** $G$ nazveme graf $\vec{G}_{s}$ takový, že $V(\vec{G}_{s}) = V(G)$ a $E(\vec{G}_{s}) = \left\{ (x, y), (y, x); \{ x, y \} \in E(G) \right\}$. +- vrcholy jsou stejné a hrany tohoto grafu jsou obousměrné (oběma směry) + +## Okolí a stupně orientovaných grafů + +Mějme orientovaný graf $\vec{G}$ a vrchol $v \in V(\vec{G})$. + +**Vstupním okolím** vrcholu $x$ v $\vec{G}$ nazveme vrcholy $N^\text{in}(x) = \left\{ v \in V(\vec{G}) ; (v, x) \in H(\vec{G}) \right\}$. + +**Výstupním okolím** vrcholu $x$ v $\vec{G}$ nazveme vrcholy $N^\text{out}(x) = \left\{ v \in V(\vec{G}) ; (x, v) \in H(\vec{G}) \right\}$. + +**Vstupním stupněm vrcholu** $x$ nazveme číslo $d^\text{in}(x) = \vert N^\text{in}(x) \vert$. + +**Výstupním stupněm vrcholu** $x$ nazveme číslo $d^\text{out}(x) = \vert N^\text{out}(x) \vert$. + +Nechť $\vec{G}$ je orientovaný graf, potom +- $\displaystyle\sum_{v \in V(\vec{G})} d^\text{in}(v) = \sum_{v \in V(\vec{G})} d^\text{out}(v) = m$. +- V grafu je stejný počet vstupních hran jako výstupních (jen jsou u jiných vrcholů) a tvoří všechny hrany daného grafu. + ## Slabá souvislost -Řekneme, že orientovaný graf $G$ je (**slabě**) **souvislý**, je-li jeho symetrizace souvislá. +Řekneme, že orientovaný graf $\vec{G}$ je (**slabě**) **souvislý**, je-li jeho symetrizace $G$ souvislý graf. ## Silná souvislost @@ -20,6 +45,33 @@ dvojice $v_{i−1}v_{i}$ hranou grafu $G$. **Orientovaná cesta** v $G$ je orientovaný sled, který obsahuje každý vrchol nejvýše jednou. +Orientovaný graf $G$ je **silně souvislý**, pokud v něm pro každou dvojici vrcholů $x, y$ existuje **orientovaná cesta** z $x$ do $y$ i orientovaná cesta z $y$ do $x$. + +### Cyklus + **Cyklus** v $G$ je orientovaný sled, ve kterém je $v_{0} = v_{k}$, tento vrchol je v něm obsažen právě dvakrát a všechny ostatní nejvýše jednou. -Orientovaný graf $G$ je **silně souvislý**, pokud v něm pro každou dvojici vrcholů $x, y$ existuje **orientovaná cesta** z $x$ do $y$ i orientovaná cesta z $y$ do $x$. \ No newline at end of file +Graf $G$ je silně souvislý právě tehdy, pokud je jeho každá hrana obsažena v nějakém cyklu. + +Graf $G$ je **acyklický**, jestliže $G$ neobsahuje jako podgraf žádný cyklus. + +## Relace oboustranné dosažitelnosti + +Nechť $G$ je orientovaným grafem. Potom na vrcholech $x, y \in V(G)$ definujeme **relaci oboustranné dosažitelnosti** $x \sim y$, pokud v $G$ existuje orientovaná cesta z $x$ do $y$ i naopak. +- tato relace je + - reflexivní + - symetrická + - tranzitivní - $x \sim y \wedge y \sim z \implies x \sim z$ + - je to ekvivalence +- $\implies$ rozklad V(G) na třídy ekvivalence + +**Kvazikomponentou (silnou komponentou)** nazveme maximální silně souvislý podgraf grafu $\vec{G}$. +- jedná se o podgraf indukovaný na třídě ekvivalence +- dvě různé kvazikomponenty $\vec{G}$ nemají společný vrchol + +![[_assets/kvazikomponenty.png]] + +### Kondenzace + +**Kondenzace orientovaného grafu** $G$ je orientovaný graf $G_{c}$, jehož vrcholy jsou kvazikomponenty grafu $G$, a pro různé kvazikomponenty $Q_{1}, Q_{2} \in V(G_{c})$ platí: +- $Q_{1}Q_{2} \in E(G_{c})$, pokud pro nějaké $x_{1} \in V(Q_{1}), x_{2} \in V(Q_{2})$ je $x_{1}x_{2} \in E(G)$. \ No newline at end of file