From 7a896754d7b10dd83ac4215b6521e7db330001ae Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Filip Znachor Date: Thu, 23 Mar 2023 20:08:40 +0100 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?P=C5=99id=C3=A1n=C3=AD=206.=20p=C5=99edn=C3=A1?= =?UTF-8?q?=C5=A1ky=20z=20DMA?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- KMA DMA/Prednaska05.md | 23 +++++++ KMA DMA/Prednaska06.md | 133 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 2 files changed, 156 insertions(+) create mode 100644 KMA DMA/Prednaska06.md diff --git a/KMA DMA/Prednaska05.md b/KMA DMA/Prednaska05.md index 46b7d26..f31fe64 100644 --- a/KMA DMA/Prednaska05.md +++ b/KMA DMA/Prednaska05.md @@ -126,3 +126,26 @@ Věta (Stone) - $\implies \exists \text{ atom } a \in B : a \leq b_{1}, a \not\leq b_{2}$ - $\implies a \in \Theta(b_{1}) \wedge a \not\in \Theta(b_{2})$ - $\Theta$ surjektivní + - plyne z věty o jednoznačnosti vyjádření prvku b pomocí suprema mn. atomů + - $\implies \Theta$ je bijekce (vzájemně jednoznačné zobrazení) + - $\Theta$ zachovává 0, 1 $b(0) = \emptyset, b(1) = X$ + - $\Theta$ zachovává komplement + - $\Theta$ zachovává operace $\wedge, \vee$ + - chci $\Theta(b_{1} \wedge b_{2}) = \Theta(b_{1}) \cap \Theta(b_{2})$ (1) + - $\Theta(b_{1} \vee b_{2}) = \Theta(b_{1}) \cup \Theta(b_{2})$ (2) + 1. atom $x \leq b_{1} \wedge b_{2} \implies x \leq b_{1} \wedge x \leq b_{2}$ + - $\implies x \in \Theta(b_{1}), x \in \Theta(b_{2})$ + - $\implies x \in \Theta(b_{1}) \cap \Theta(b_{2})$ + - $x \in \Theta(b_{1}) \wedge \Theta(b_{2}) \implies x \in \Theta(b_{1}) \wedge x \in \Theta(b_{2})$ + - $\implies x \leq b_{1} \wedge x \leq b_{2} \implies x \leq b_{1} \wedge b_{2} \implies x \in \Theta(b_{1} \wedge b_{2})$ + 2. $\subseteq \quad x \in \Theta(b_{1} \vee b_{2}) \implies x \leq b_{1} \vee b_{2} \implies x = x \wedge (b_{1} \vee b_{2})$ + - $= (x \wedge b_{1}) \vee (x \wedge b_{2}) \implies x \wedge b_{1} \neq 0 \text{ nebo } x \wedge b_{2} \neq 0$ + - pokud $x \wedge b_{1} = 0 = x \wedge b_{2}$ + - $\implies x \leq b_{2} \text{ nebo } x \leq b_{2} \implies x \in \Theta(b_{1}) \text{ nebo } x \in \Theta(b_{2})$ + - $\implies x \in \Theta(b_{1}) \cup \Theta(b_{2})$ + - $\supseteq \quad x \in \Theta(b_{1}) \cup \Theta(b_{2}) \implies x \leq b_{1} \vee x \leq b_{2} \implies x \leq b_{1} \vee b_{2}$ + - $\implies x \in \Theta(b_{1} \vee b_{2})$ + - Důsl.: Každá konečná B. algebra má $2^n$ prvků, kde $n = \#$ atomů. + - $\implies$ # atomů = $\log_{2}|B|$ + - $B = (B, \leq)$ + - Důsl.: Každé dvě B. algebry se stejným počtem prvků jsou izomorfní diff --git a/KMA DMA/Prednaska06.md b/KMA DMA/Prednaska06.md new file mode 100644 index 0000000..ac6e107 --- /dev/null +++ b/KMA DMA/Prednaska06.md @@ -0,0 +1,133 @@ +Struktura B. algeber +- $X = \{a, ,b, c\}, (2^x, \leq)$ +- každá podmnožina X reprezentuje char. vektory + +Věta (Sperner) +- $\displaystyle width(2^x) = {|x| \choose \lfloor\frac{|x|}{2}\rfloor}$ +- Pascalův tojúhelník + +Direktní součin B. algebry +- $B_{1} = (B_{1}, \leq_{1}), B_{2} = (B_{2}, \leq_{2})$ +- direktní součin B. algeber $B_{1} \times B_{2}$ se rovná algebra + - $B = B_{1} \times B_{2} = (B_{1} \times b_{2}, \leq)$ + - $(a_{1}, a_{2}) \leq (b_{1}, b_{2}) \iff a_{1} \leq_{1} b_{1} \wedge a_{2} \leq_{2} b_{2}$ +- Př.: $B_{1} \quad B_{2}$ + - $B_{1} = \{0_{1}, 1_{1}\} \quad B_{2} = \{0_{2}, 1_{2}\}$ + - $B_{1} \times B_{2} = \{(0_{1}, 0_{2}), (0_{1}, 1_{2}), (1_{1}, 0_{2}), (1_{1}, 1_{2})\}$ +- Důsl.: Každá B. algebra B je izomorfní $B_{2}^n$, kde n = # atomů B + - $B_{2}^2 = B_{2} \times B_{2}, B_{2}^3 = B_{2} \times B_{2} \times B_{2}$ + - $B_{2}^4$ - hyperkrychle (4-rozměrná) + +Booleovské funkce +- $f: B_{2}^n \to B_{2}^m \quad$ omezíme se na $m = 1$ +- speciální případ je výroková logika +- binární logické spojky, pravdivostní tabulka + +| $p$ | $q$ | $p \wedge q$ | $p \vee q$ | $p \implies q$ | $p \iff q$ | $p + q$ | +| --- | --- | ------------ | ---------- | -------------- | ---------- | ------- | +| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | +| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | +| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | +| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | + +- kolik existuje B. fcí n proměnných? + - $x_{1}, x_{2} \dots x_{n} \qquad f(x_{1}, \dots, x_{n})$ + - \# vstupů je $2^n$ ... $2^{2^n}$ + - jaká je struktura B. fcí? + - množina všech B. fcí n proměnných ... Fn + - na Fn lze zavést uspořádání + - $F, g \in Fn$, definujeme $f \leq g \iff \forall \, x \in B_{2}^n \quad f(x) \leq g(x)$ + - porovnání v $B_{2}$ + - pokud $f \leq g$, pak řekneme, že f implikuje g +- Př.: + - $f \leq g$ + - $f \Vert h$ jsou neporonatelné + +| x | y | f(x, y) | g(x, y) | h(x, y) | +| --- | --- | ------- | ------- | ------- | +| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | +| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | +| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | +| 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | + + +- Množina Fn tvoří B. algebru + - $(f \wedge g)(x) = f(x) \wedge g(x)$ + - $(f \vee g)(x) = f(x) \vee g(x)$ + - $\overline f(x) = \overline{f(x)}$ + +Booleovy polynomy +- $\wedge, \vee, \overline{}$ +- Def.: B. polynom v proměnných $x_{1}, \dots, x_{n}$ + 1. $0, 1, x_{1}, \dots, x_{n}$ tvoří B. polynom + 2. jsou-li p, q B. polynomy, pak + - $p \wedge q, p \vee q, \overline p$ + - jsou B. p. +- B. p. v proměnných $x_{1}, \dots, x_{n}$ se rozumí každý výraz vytvořený konečným počtem aplikací těchto pravidel +- Př.: $x_{1}, x_{2}, x_{3} : x_{1} \quad \overline{x_{3}} \wedge x_{1}$ + - $x_{2} \vee x_{3}$ +- Def.: literál proměnné $x_{i}$ je B. p. rovný $x_{i}$ nebo $\overline{x_{i}}$ + - **součinová (průseková) klauzule** v proměnných $x_{1}, \dots, x_{n} \qquad \overline{x_{1}} \wedge x_{2} \wedge x_{7}$ + - součin (průsek) některých literálů proměnných $x_{1}, \dots, x_{n}$ + - **součtová (spojová) klauzule** + - součet (spojení) $\qquad x_{1} \vee \overline{x_{3}} \vee x_{5}$ + - **úplná součinová klauzule** součinová klauzule obsahující literály všech proměnných + - $\overline{x_{1}} \wedge x_{2} \wedge x_{3}$ + - $x_{1} \wedge x_{2} \wedge \overline{x_{3}}$ + - **úplná součtová klauzule** součtová klauzule obsahující literály všech proměnných + - $x_{1} \vee \overline{x_{2}} \vee x_{3}$ + - $\wedge \to \cdot \qquad \overline{x_{1}} \wedge x_{2} \wedge x_{7} = \overline{x_{1}} x_{2} x_{3}$ + - $\wedge \to + \qquad x_{1} \wedge \overline{x_{3}} \wedge x_{5} = x_{1} + \overline{x_{3}} + x_{5}$ + - **součtová (disjunktivní) forma** + - pokud B. f. vyjádřená jako součet součinových klauzulí + - **úplná součtová (disjunktivní) forma** + - součet nějakých úplných součtových klauzulí + - **součinová (konjuktivní) forma** + - pokud B. f. vyjádřená jako součin součtových klauzulí + - **úplná součinová (konjuktivní) forma** + - součet nějakých úplných součinových klauzulí +- Př.: $f(x_{1}, x_{2}, x_{3})$ + - $x_{1} \cdot x_{2} + x_{3} \quad$ součtová (disj.) forma + - $x_{1} \cdot \overline{x_{2}} \cdot x_{3} + \overline{x_{1}} \cdot x_{2} \cdot \overline{x_{3}} \quad$ úplná součtová (disj.) forma + - $(\overline{x_{1}} + x_{2}) \cdot x_{3} \quad$ součinová (konj.) forma + - $(\overline{x_{1}} + \overline{x_{2}} + \overline{x_{3}}) \cdot (x_{1} + \overline{x_{2}} + x_{3}) \quad$ úplná součinová (konj.) forma + +Věta: Každá B. fce se dá vyjádřit pomocí B. polynomu +- Každá nekonstantní B. fce se dá vyjádřit pomocí ÚDNF nebo ÚKNF. +- Př.: + - ÚDNF: $\quad f(x, y, z) = \overline x y \overline z + \overline x y z + x y \overline z$ + - ÚKNF: $\quad f(x, y, z) = (x+y+z)(x+y+\overline z)(\overline x+y+z)(\overline x+y+\overline z)(\overline x+\overline y+\overline z)$ + +| x | y | z | f(x, y, z) | ÚKD | ÚDK | +| --- | --- | --- | ---------- | --------------------------------------- | ----------------------------------------- | +| 0 | 0 | 0 | 0 | | $x + y + z$ | +| 0 | 0 | 1 | 0 | | $x + y + \overline z$ | +| 0 | 1 | 0 | 1 | $\overline x \cdot y \cdot \overline z$ | | +| 0 | 1 | 1 | 1 | $\overline x \cdot y \cdot z$ | | +| 1 | 0 | 0 | 0 | | $\overline x + y + z$ | +| 1 | 0 | 1 | 0 | | $\overline x + y + \overline z$ | +| 1 | 1 | 0 | 1 | $x \cdot y \cdot \overline z$ | | +| 1 | 1 | 1 | 0 | | $\overline x + \overline y + \overline z$ | + +Minimalizace B. fcí +- minimální disjunktivní forma +- součet co nejmenšího počtu součinů + +Quineho-McCluskeyho metoda +- Př.: + - ÚDNF: $\quad \overline x \overline y \overline z + \overline x \overline y z + x \overline y z + x y \overline z$ + 1. dvojice: $\quad \overline x \overline y (\overline z + z) = \overline x \overline y$ + 2. druhá dvojice: $\quad (\overline x + x) \overline y \overline z = \overline y \overline z$ + +| x | y | z | f(x, y, z) | +| --- | --- | --- | ---------- | +| 0 | 0 | 0 | 1 | +| 0 | 0 | 1 | 1 | +| 0 | 1 | 0 | 0 | +| 0 | 1 | 1 | 0 | +| 1 | 0 | 0 | 1 | +| 1 | 0 | 1 | 1 | +| 1 | 1 | 0 | 1 | +| 1 | 1 | 1 | 0 | + +