Přidání 9. příkladu z FYI

KFY FYI1/Priklad09.md

@@ -0,0 +1,55 @@
+### Zadání
+
+Koule zadaného poloměru mírně kývá na závěsu zadané délky. Spočtěte: dobu kyvu kyvadla. Jaké chyby se dopustíme, budeme-li kouli považovat za bodovou hmotnost? (kyv = pohyb ze strany na stranu, kmit = 2 kyvy = pohyb z jedné strany na druhou a zpět)
+
+- $R$ - poloměr koule
+- $l$ - délka závěsu
+- $T_{kyvadla} = \, ?$
+- chyba pro $R \to 0 = \, ?$
+- netlumené kmity (tření)
+- tíhové pole Země
+
+![](_assets/priklad9.svg)
+
+- 2. impulzová věta (pohybová rovnice pro rotaci tuhého tělesa)
+	- $J \cdot \vec \epsilon = -\vec M$
+		- $\vec M = \vec I \cdot \vec G$
+		- $M = \vert \vec M \vert = \vert \vec I \vert \cdot \vert \vec G \vert \cdot \sin \varphi = l \cdot m \cdot g \cdot \sin \varphi$
+	- $J$ - moment setrvačnosti
+	- $\displaystyle \vec \epsilon = \frac{d\vec w}{dt} = \frac{d^2\vec\varphi}{dt^2}$
+- Steinerova věta
+	- $\displaystyle J \cdot \frac{d^2 \varphi}{dt^2} = -M$
+	- $J = J_{0} + m \cdot l^2 = \frac{2}{5} m R^2 + m \cdot l^2$
+		- $J_{0} = \frac{2}{5}m\cdot R$ (moment setrvačnosti koule - symetrická osa)
+
+### Výpočet
+
+$\displaystyle \left( \frac{2}{5} m R^2 + m \cdot l^2 \right) \cdot \frac{d^2\varphi}{dt^2} = -l\cdot m\cdot \sin \varphi$
+
+$\displaystyle \left( \frac{2}{5} m R^2 + m \cdot l^2 \right) \cdot \frac{d^2\varphi}{dt^2} + l \cdot m \cdot g \cdot \sin \varphi = 0$
+
+$\displaystyle \left( \frac{2}{5} m R^2 \cdot l^2 \right) \cdot \frac{d^2\varphi}{dt^2} + l \cdot g \cdot \sin \varphi = 0$
+
+$\displaystyle\frac{d^2\varphi}{dt^2} + \frac{l \cdot g}{\frac{2}{5}R^2 + l ^2} \cdot \sin \varphi = 0$
+
+$\displaystyle\frac{d^2\varphi}{dt^2} + \frac{l \cdot g}{\frac{2}{5}R^2 + l ^2} \cdot \sin \varphi = 0$
+- pro $\varphi < 5^\circ \implies \sin \varphi \simeq \varphi$ 
+
+$\displaystyle\frac{d^2\varphi}{dt^2} + \frac{l \cdot g}{\frac{2}{5}R^2 + l ^2} \cdot \varphi = 0$
+- $\displaystyle \frac{l \cdot g}{\frac{2}{5}R^2 + l ^2} = \omega^2$ - úhlová rychlost
+
+$\displaystyle\frac{d^2\varphi}{dt^2} + \omega^2 \cdot \varphi = 0$
+- lineární harmonický oscilátor
+- ... víme, že $\displaystyle\omega = \frac{2\pi}{T}$, kde $T$ je perioda (doba kmitu)
+- $\displaystyle T_{kyv} = \frac{\pi}{\omega}$
+
+$\displaystyle T_{kyv} = \frac{\pi}{\sqrt{ \frac{l \cdot g}{\frac{2}{5}R^2+l^2} }} = \pi \cdot \frac{\sqrt{ l \cdot \left[ \frac{2}{5}\left( \frac{R}{l} \right)^2+1 \right] }}{l \cdot g} = \pi \cdot \sqrt{ \frac{l}{g} } \cdot \sqrt{ \frac{2}{5} \left( \frac{R}{l}^2 + 1 \right) }$
+
+### Výsledek
+
+pro $\displaystyle R \to 0 \implies T_{kyv} = \pi \cdot \sqrt{ \frac{l}{g} }$
+- doba kyvu matematického kyvadla
+
+bude-li R 10% délky závěsu l ($R = 0.1 \cdot l$)
+- $\displaystyle T_{kyv} = T^M_{kyv} \cdot \sqrt{ \frac{2}{5} \left(\frac{0.1 \cdot l}{l}\right)^2 +1 } = T^M_{kyv \cdot \sqrt{ 1.004 }} = T^M_{kyv} \cdot 1,002$
+- chyba by byla 0.2%