diff --git a/KFY FYI1/Priklad09.md b/KFY FYI1/Priklad09.md new file mode 100644 index 0000000..dd7018d --- /dev/null +++ b/KFY FYI1/Priklad09.md @@ -0,0 +1,55 @@ +### Zadání + +Koule zadaného poloměru mírně kývá na závěsu zadané délky. Spočtěte: dobu kyvu kyvadla. Jaké chyby se dopustíme, budeme-li kouli považovat za bodovou hmotnost? (kyv = pohyb ze strany na stranu, kmit = 2 kyvy = pohyb z jedné strany na druhou a zpět) + +- $R$ - poloměr koule +- $l$ - délka závěsu +- $T_{kyvadla} = \, ?$ +- chyba pro $R \to 0 = \, ?$ +- netlumené kmity (tření) +- tíhové pole Země + +![](_assets/priklad9.svg) + +- 2. impulzová věta (pohybová rovnice pro rotaci tuhého tělesa) + - $J \cdot \vec \epsilon = -\vec M$ + - $\vec M = \vec I \cdot \vec G$ + - $M = \vert \vec M \vert = \vert \vec I \vert \cdot \vert \vec G \vert \cdot \sin \varphi = l \cdot m \cdot g \cdot \sin \varphi$ + - $J$ - moment setrvačnosti + - $\displaystyle \vec \epsilon = \frac{d\vec w}{dt} = \frac{d^2\vec\varphi}{dt^2}$ +- Steinerova věta + - $\displaystyle J \cdot \frac{d^2 \varphi}{dt^2} = -M$ + - $J = J_{0} + m \cdot l^2 = \frac{2}{5} m R^2 + m \cdot l^2$ + - $J_{0} = \frac{2}{5}m\cdot R$ (moment setrvačnosti koule - symetrická osa) + +### Výpočet + +$\displaystyle \left( \frac{2}{5} m R^2 + m \cdot l^2 \right) \cdot \frac{d^2\varphi}{dt^2} = -l\cdot m\cdot \sin \varphi$ + +$\displaystyle \left( \frac{2}{5} m R^2 + m \cdot l^2 \right) \cdot \frac{d^2\varphi}{dt^2} + l \cdot m \cdot g \cdot \sin \varphi = 0$ + +$\displaystyle \left( \frac{2}{5} m R^2 \cdot l^2 \right) \cdot \frac{d^2\varphi}{dt^2} + l \cdot g \cdot \sin \varphi = 0$ + +$\displaystyle\frac{d^2\varphi}{dt^2} + \frac{l \cdot g}{\frac{2}{5}R^2 + l ^2} \cdot \sin \varphi = 0$ + +$\displaystyle\frac{d^2\varphi}{dt^2} + \frac{l \cdot g}{\frac{2}{5}R^2 + l ^2} \cdot \sin \varphi = 0$ +- pro $\varphi < 5^\circ \implies \sin \varphi \simeq \varphi$ + +$\displaystyle\frac{d^2\varphi}{dt^2} + \frac{l \cdot g}{\frac{2}{5}R^2 + l ^2} \cdot \varphi = 0$ +- $\displaystyle \frac{l \cdot g}{\frac{2}{5}R^2 + l ^2} = \omega^2$ - úhlová rychlost + +$\displaystyle\frac{d^2\varphi}{dt^2} + \omega^2 \cdot \varphi = 0$ +- lineární harmonický oscilátor +- ... víme, že $\displaystyle\omega = \frac{2\pi}{T}$, kde $T$ je perioda (doba kmitu) +- $\displaystyle T_{kyv} = \frac{\pi}{\omega}$ + +$\displaystyle T_{kyv} = \frac{\pi}{\sqrt{ \frac{l \cdot g}{\frac{2}{5}R^2+l^2} }} = \pi \cdot \frac{\sqrt{ l \cdot \left[ \frac{2}{5}\left( \frac{R}{l} \right)^2+1 \right] }}{l \cdot g} = \pi \cdot \sqrt{ \frac{l}{g} } \cdot \sqrt{ \frac{2}{5} \left( \frac{R}{l}^2 + 1 \right) }$ + +### Výsledek + +pro $\displaystyle R \to 0 \implies T_{kyv} = \pi \cdot \sqrt{ \frac{l}{g} }$ +- doba kyvu matematického kyvadla + +bude-li R 10% délky závěsu l ($R = 0.1 \cdot l$) +- $\displaystyle T_{kyv} = T^M_{kyv} \cdot \sqrt{ \frac{2}{5} \left(\frac{0.1 \cdot l}{l}\right)^2 +1 } = T^M_{kyv \cdot \sqrt{ 1.004 }} = T^M_{kyv} \cdot 1,002$ +- chyba by byla 0.2% \ No newline at end of file diff --git a/KFY FYI1/_assets/priklad9.svg b/KFY FYI1/_assets/priklad9.svg new file mode 100644 index 0000000..bd27854 --- /dev/null +++ b/KFY FYI1/_assets/priklad9.svg @@ -0,0 +1,4 @@ + + + +
l
l
R
R
G = m · g
G = m · g
R
R
G = m · g
G = m · g
φ
φText is not SVG - cannot display \ No newline at end of file