From 9624d402c69b7e7adaa24e867a65ea13de8e9864 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: BigTire Date: Sat, 7 Jan 2023 14:02:44 +0100 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?P=C5=99id=C3=A1ny=20pozn=C3=A1mky?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- ... vektory, zobecněné vlastní vektory matice.md | 47 +++++++++++++++++++ .../17. Změna báze a matice přechodu.md | 8 ++++ ...tice lineárního operátoru při změně báze.md | 1 + ...stnosti, Jordanův kanonický tvar matice.md | 34 ++++++++++++++ ...nosti, norma indukovaná skalárním součinem.md | 44 +++++++++++++++++ ...oru, Gramův-Schmidtův ortogonalizační proces.md | 33 +++++++++++++ ...rostoru, lineární metoda nejmenších čtverců.md | 8 ++++ ...trické matice, kriteria definitnosti matic.md | 26 ++++++++++ 8 files changed, 201 insertions(+) create mode 100644 KMA LAA/Okruhy/16. Vlastní čísla, vlastní vektory, zobecněné vlastní vektory matice.md create mode 100644 KMA LAA/Okruhy/17. Změna báze a matice přechodu.md create mode 100644 KMA LAA/Okruhy/18. Změna matice lineárního operátoru při změně báze.md create mode 100644 KMA LAA/Okruhy/19. Podobnost matic, jejich vlastnosti, Jordanův kanonický tvar matice.md create mode 100644 KMA LAA/Okruhy/20. Skalární součin a jeho vlastnosti, norma indukovaná skalárním součinem.md create mode 100644 KMA LAA/Okruhy/21. Ortogonální a ortonormální báze prostoru, Gramův-Schmidtův ortogonalizační proces.md create mode 100644 KMA LAA/Okruhy/22. Ortogonální průmět vektoru do podprostoru, lineární metoda nejmenších čtverců.md create mode 100644 KMA LAA/Okruhy/23. Kvadratické formy a reálné symetrické matice, kriteria definitnosti matic.md diff --git a/KMA LAA/Okruhy/16. Vlastní čísla, vlastní vektory, zobecněné vlastní vektory matice.md b/KMA LAA/Okruhy/16. Vlastní čísla, vlastní vektory, zobecněné vlastní vektory matice.md new file mode 100644 index 0000000..a8811d2 --- /dev/null +++ b/KMA LAA/Okruhy/16. Vlastní čísla, vlastní vektory, zobecněné vlastní vektory matice.md @@ -0,0 +1,47 @@ +# Vlastní čísla, vlastní vektory, zobecněné vlastní vektory matice +## Vlastní čísla +- $A$ - matice A +- $\vec{u}$ - vlastní vektor matice A +- $\lambda$ - vlastní číslo matice A + +$A \cdot \vec{u} = \lambda \cdot \vec{u}$ +- $\vec{u} \in U \smallsetminus \{\vec{o}\}$ (u nulového vektoru by to platilo vždy) +- úpravou získáme $(\lambda I-A) \cdot \vec{u} = \vec{o}$ + +## Vlastní čísla + +**Získání**: +1. Vypočítáme determinant matice + $\det{(\lambda I - A)}$ -> výsledkem je **charakteristický polynom** +2. V průběhu si zkusíme vytknout něco s lambdou, např. $(\lambda-5)$ +3. Získáme kořeny polynomu (vlastní čísla) a výsledek zapíšeme ve tvaru $(\lambda-5)(\lambda+2)^2$ + - $(\lambda_{1} = 5, \lambda_{2,3} = -2)$ + +Při změně báze se vlastní čísla ani vlastní vektory nemění. Vektory jsou sice stejné, ale v jiné bázi. + +### Spektrum matice + +- soubor všech vlastních čísel +- značí se $Sp(A)$ + - např.: $Sp(A) = \{3^2; -1\}$ + +## vlastní vektory +- bázové prvky jádra lineárního zobrazení s maticí $A - \lambda I$ pro konkrétní vlastní číslo + +**Získání**: +1. Dosadíme vlastní číslo za lambdu +2. Vypočítáme GJEM z matice s dosazenou lambdou +3. Pomocí $n-hod(\lambda I-A)$ zjistíme počet dosazovaných LN vektorů +4. Do vlastního vektoru odzadu dosadíme LN vektory (pokud jen 1, dosadíme nenulové číslo) + - běžně např. $(x, 1, 0)$ a $(x, 0, 1)$ +5. Dopočítáme pomocí rovnic v matici zbytek souřadnic + např.: $h_{1} = [2, -1, 1]^T$ + +Vlastním vektorem $h_{1} = [2, -1, 1]$ se myslí $t\cdot [2, -1, 1], t\in R$ + +## zobecněné vlastní vektory matice +- Pokud nám chybí některé $h_{i}$ (máme vícenásobné vl. číslo ale $n-hod(\lambda I-A)$ vyjde menší), je možné $h_3$ dopočítat opakováním postupu pro $(\lambda I-A) = -h_{2}$, kde $-h2$ bude v pravém sloupci. +- nechť A je čtvercová matice řádu n +- nechť $\lambda$ je vlastní číslo matice $A$ +- uspořádaná k-tice vektorů $\vec u_1, \vec u_2, ... , \vec u_k$ se nazývá řetězec zobecněných vlastních vektorů pokud: + - $(\lambda I - A)u_k = u_{k-1}$ \ No newline at end of file diff --git a/KMA LAA/Okruhy/17. Změna báze a matice přechodu.md b/KMA LAA/Okruhy/17. Změna báze a matice přechodu.md new file mode 100644 index 0000000..70dab57 --- /dev/null +++ b/KMA LAA/Okruhy/17. Změna báze a matice přechodu.md @@ -0,0 +1,8 @@ +# Změna báze a matice přechodu +## Matice přechodu +- Matice identického lineárního zobrazení vzhledem k bázím $B_{1}$ a $B_{2}$. +- Nechť $\mathbb T$ je matice přechodu od báze $B_{2}$ k bázi $B_{1}$ + - 1. T je regulární + - 2. $T_{uC} = u_D \forall u \in U$ + - 3. $T^{-1}$ je matice přechodu od báze $B_{1}$ k bázi $B_{2}$$ +- Postup je stejný jako u matice lineárního zobrazení, jen prvky první báze nezobrazuji a rovnou je zapíšu do matice. \ No newline at end of file diff --git a/KMA LAA/Okruhy/18. Změna matice lineárního operátoru při změně báze.md b/KMA LAA/Okruhy/18. Změna matice lineárního operátoru při změně báze.md new file mode 100644 index 0000000..f175d1a --- /dev/null +++ b/KMA LAA/Okruhy/18. Změna matice lineárního operátoru při změně báze.md @@ -0,0 +1 @@ +# Změna matice lineárního operátoru při změně báze \ No newline at end of file diff --git a/KMA LAA/Okruhy/19. Podobnost matic, jejich vlastnosti, Jordanův kanonický tvar matice.md b/KMA LAA/Okruhy/19. Podobnost matic, jejich vlastnosti, Jordanův kanonický tvar matice.md new file mode 100644 index 0000000..c4e65d4 --- /dev/null +++ b/KMA LAA/Okruhy/19. Podobnost matic, jejich vlastnosti, Jordanův kanonický tvar matice.md @@ -0,0 +1,34 @@ +# Podobnost matic, jejich vlastnosti, Jordanův kanonický tvar matice +## Podobnost matic, jejich vlastnosti +Matice $A$ a $B$ jsou podobné, jestli existuje matice $T$ taková, aby platilo $A = T^{-1}BT$. +- pokud je A podobná B, je zároveň B podobná A, platí tedy i: + - $TA = BT$ + - $TAT^{-1} = B$ +- každá matice je podobná sama sobě ($T$ by byla jednotková matice $I$) +- matice $A$ řádu $n$ je podobná diagonální matici, právě když $A$ má lin. nezávislou množinu $n$ vlastních vektorů +- Pokud jsou matice A a B podobné, mají **stejné charakteristické polynomy i spektra**. + +### Diagonalizace + +Matice NxN je diagonalizovatelná právě když +- má N lineárně nezávislých vlastních vektorů +- má různá vlastní čísla +- je symetrická nebo jednotková + +K diagonalizaci matice A stačí najít množinu n lineárně nezávislých vlastních vektorů, tedy **vlastní čísla mohou být i vícenásobná**. Pro k-násobné vl. číslo musí platit, že $dim(Ker(\mathbb{L})) = k$. + +Na diagonále diagonální matice jsou vlastní čísla ve stejném pořadí, jako vlastní vektory v matici + +### Nediagonalizovatelné matice + +Taková matice je potom podobná tzv. blokově diagonální matici, nazývané Jordanův diagonální tvar. Skládá se z jednotlivých bloků, které se nazývají Jordanovy bloky. + +Jordanův blok vypadá takto: $\begin{bmatrix}\lambda & 1 & 0\\0 & \lambda & 1\\0 & 0 & \lambda\end{bmatrix}$ +- na diagonále má vlastní čísla, nad ní čísla 1 +- každý blok odpovídá nějakému vl. číslu + +## Jordanův kanonický tvar matice +- skládá se z Jordanových bloků +- každý blok odpovídá nějakému vl. číslu +- jednomu vlastnímu číslu může odpovídat jeden i více bloků +- rozměry J. bloku mohou být i 1x1 \ No newline at end of file diff --git a/KMA LAA/Okruhy/20. Skalární součin a jeho vlastnosti, norma indukovaná skalárním součinem.md b/KMA LAA/Okruhy/20. Skalární součin a jeho vlastnosti, norma indukovaná skalárním součinem.md new file mode 100644 index 0000000..7871f75 --- /dev/null +++ b/KMA LAA/Okruhy/20. Skalární součin a jeho vlastnosti, norma indukovaná skalárním součinem.md @@ -0,0 +1,44 @@ +# Skalární součin a jeho vlastnosti, norma indukovaná skalárním součinem +## skalární součin a jeho vlastnosti +Nechť $U$ je lineární vektorový prostor nad $\mathbb{R}$. Zobrazení $(\vec{x}, \vec{y}):U \times U \to \mathbb{R}$ splňující vlastnosti +1. $(\vec{x}, \vec{x}) \geq 0$ pro každé $\vec{x} \in U; (\vec{x}, \vec{x}) = 0$, právě když $\vec{x} = \vec{o}$, +2. $(\vec{x}, \vec{y}) = (\vec{y}, \vec{x}) \space \forall \vec{x}, \vec{y} \in U$, +3. $(k\vec{x}, \vec{y}) = k(\vec{x}, \vec{y}) \space \forall \vec{x}, \vec{y} \in U$ a $\forall k \in \mathbb{R}$ +4. $(\vec{x} + \vec{y}, \vec{z}) = (\vec{x}, \vec{z}) + (\vec{y}, \vec{z}) \space \forall \vec{x}, \vec{y}, \vec{z} \in U$, + +se nazývá **skalární součin**. + +Skalární součin se vypočítá součinem prvků na stejných pozicí ve vektoru a jejich sečtením. +- např. v $\mathbb{R}^3 : (\vec{x}, \vec{y}) = x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2} + x_{3}y_{3}$ + +Lineární vektorový prostor se skalárním součinem se nazývá **Eukleidovský prostor**. + +Příklad: +1. $\mathbb{R}^3 : (\vec{x}, \vec{y}) = x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2} + x_{3}y_{3}$ +2. $\displaystyle \mathbb{R}^n : (\vec{x}, \vec{y}) = x_{1}y_{1} + x_{1}y_{1} + \dots + x_{n}y_{n} = \sum^n_{i=1} x_{i}y_{i}$ +3. $\displaystyle C(0, 1) : (f, g) = \int^1_{0} f(x) \cdot g(x) \, dx$ +4. $\displaystyle \mathbb{P}_{n} : (p(x); q(x)) = \int^b_{a} p(x) \cdot q(x) \, dx$ + +V Eukleidovském prostoru platí (pro každé $k \in \mathbb{R}$ a $\vec{x}, \vec{y}, \vec{z} \in U$): +1. $(\vec{x}, k\vec{y}) = k(\vec{x}, \vec{y})$ +2. $(\vec{x}, \vec{y} + \vec{z}) = (\vec{x}, \vec{y}) + (\vec{x}, \vec{z})$ +3. $(\vec{x}, \vec{o}) = (\vec{o}, \vec{x}) = 0$ + +**Cauchy-Schwarzova nerovnost** - Je-li $U$ Eukleidovský prostor, potom pro každé $\vec{x}, \vec{y} \in U$ platí +- $(\vec{x}, \vec{y})^2 \leq (\vec{x}, \vec{x}) \cdot (\vec{y}, \vec{y})$. + +## norma indukovaná skalárním součinem +**Norma** v lineárním vektorovém prostoru $U$ je zobrazení $\Vert \vec{x} \Vert : U \to \mathbb{R}$ s vlastostmi +1. $\Vert \vec{x} \Vert \geq 0 \, \forall \vec{x} \in U;\space \Vert \vec{x} \Vert = 0$, právě když $\vec{x} = \vec{o}$, +2. $\Vert k\vec{x} \Vert = \vert k \vert \cdot \Vert \vec{x} \Vert \ \forall\vec{x} \in U$ a $\forall k \in \mathbb{R}$, +3. $\Vert \vec{x} + \vec{y} \Vert \leq \Vert \vec{x} \Vert + \Vert \vec{y} \Vert \ \forall \vec{x}, \vec{y} \in \mathbb{R}$. + +Je-li $U$ Eukleidovský prostor, potom $\Vert \vec{x} \Vert = \sqrt{ (\vec{x}, \vec{x}) }$ je norma. Nazývá se **norma indukovaná sklárním součinem**. + +Pro dva prvky $x, y$ libovolného L.V.P. $U$ lze definovat úhel dvou prvků + +$$ +\displaystyle \phi = \arccos \frac{(\vec{x}, \vec{y})}{\Vert \vec{x} \Vert \cdot \Vert \vec{y} \Vert} +$$ + +a vzdálenost dvou prvků $d(\vec{x}, \vec{y}) = \Vert \vec{x} - \vec{y} \Vert$. Vzdálenosti se obvykle říká **metrika** a příslušnému prostoru **metrický prostor**. \ No newline at end of file diff --git a/KMA LAA/Okruhy/21. Ortogonální a ortonormální báze prostoru, Gramův-Schmidtův ortogonalizační proces.md b/KMA LAA/Okruhy/21. Ortogonální a ortonormální báze prostoru, Gramův-Schmidtův ortogonalizační proces.md new file mode 100644 index 0000000..d8bf650 --- /dev/null +++ b/KMA LAA/Okruhy/21. Ortogonální a ortonormální báze prostoru, Gramův-Schmidtův ortogonalizační proces.md @@ -0,0 +1,33 @@ +# Ortogonální a ortonormální báze prostoru, Gramův-Schmidtův ortogonalizační proces +## Ortogonální a ortonormální báze prostoru +### Ortogonální báze prostoru +- Dva prvky $\vec{x}, \vec{y}$ Eukleidovského prostoru $U$ jsou **ortogonální** (kolmé), jestliže $(\vec{x}, \vec{y}) = 0$. +- Píšeme $\vec{x} \perp \vec{y}$. +- Množiny $X, Y, \subset U$ jsou ortiginální, jestliže $\vec{x} \perp \vec{y}$ pro každé $\vec{x} \in X$ a $\vec{y} \in Y$. + +- Každá podmnožina Eukleidovského prostoru, jejíž prvky jsou nenulové a navzájem ortogonální, je LN. +- Žádný ze vzájemně kolmých vektorů není možné vyjádřit jako LK ostatních. + +### Ortonormální báze prostoru +- prvky báze jsou ortogonální a zároveň normované, tedy vzájemně různé prvky báze jsou na sebe **kolmé** a všechny prvky báze jsou **jednotkové** + +## Gramův-Schmidtův ortogonalizační proces +- určení ortogonální báze ze zadané báze + +1. Mějme v $U$ bázi $\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}, \dots, \vec{b}_{n};$ hledáme ortogonální bázi $\vec{g}_{1}, \vec{g}_{2}, \dots, \vec{g}_{n}$. +2. Položíme $\vec{g}_{1} = \vec{b}_{1}$. +3. Určíme $\displaystyle \vec{g}_{2} = \vec{b}_{2} - \frac{\vec{b}_{2}, \vec{g}_{1}}{(\vec{g}_{1}, \vec{g}_{1})} \vec{g}_{1}$, což je ortogonální (kolmý) průmět vektoru $\vec{b}_{2}$ do přímky dané vektorem $\vec{g}_{1}$. Platí, že $\vec{g}_{2} \perp \vec{g}_{1}$. +4. Obecně hledáme $\vec{g}_{k}$ jako $\vec{b}_{k} - \overline{\vec{b}_{k}}$, kde $\overline{\vec{b}_{k}}$ je ortogonální průmět prvku $\vec{b}_{k}$ do podprostoru s ortogonální bází $\vec{g}_{1}, \vec{g}_{2}, \dots, \vec{g}_{k-1}$. Tedy: + $$ + \displaystyle \vec{g}_{k} = \vec{b}_{k} - \biggl( + \frac{(\vec{b}_{k}, \vec{g}_{1})}{(\vec{g}_{1}, \vec{g}_{1})} \vec{g}_{1} + + + \frac{(\vec{b}_{k}, \vec{g}_{2})}{(\vec{g}_{2}, \vec{g}_{2})} \vec{g}_{2} + + + \dots + + + \frac{(\vec{b}_{k}, \vec{g}_{k-1})}{(\vec{g}_{k-1}, \vec{g}_{k-1})} \vec{g}_{k-1} + \biggr). + $$ + +5. Pak jistě $\vec{g}_{k} \perp \vec{g}_{1}, \vec{g}_{k} \perp \vec{g}_{2}, \dots, \vec{g}_{k} \perp \vec{g}_{k-1}$. \ No newline at end of file diff --git a/KMA LAA/Okruhy/22. Ortogonální průmět vektoru do podprostoru, lineární metoda nejmenších čtverců.md b/KMA LAA/Okruhy/22. Ortogonální průmět vektoru do podprostoru, lineární metoda nejmenších čtverců.md new file mode 100644 index 0000000..61807e3 --- /dev/null +++ b/KMA LAA/Okruhy/22. Ortogonální průmět vektoru do podprostoru, lineární metoda nejmenších čtverců.md @@ -0,0 +1,8 @@ +# Ortogonální průmět vektoru do podprostoru, lineární metoda nejmenších čtverců +## Ortogonální průmět vektoru do podprostoru +- Mějme Eukleidovský prostor $U$, jeho podprostor $V$ a v něm generátor (ne nutně bázi) $\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}, \dots, \vec{b}_{k}$. Máme určit ortogonální průmět $\overline{\vec{x}}$ prvku $\vec{x} \in U$ do $V$. +- Víme, že $\vec{x} - \overline{\vec{x}} \perp \vec{b}_{i}$ pro každé $i = 1, 2, \dots, k$. +- Dále: $\overline{\vec{x}} \in V$, tedy $\overline{\vec{x}} = a_{1}\vec{b}_{1} + a_{2}\vec{b}_{2} + \dots + a_{k}\vec{b}_{k}$ (je to LK generátorů). + +## Lineární metoda nejmenších čtverců +- Metodou nejmenších čtverců je možné aproximovat funkci - najít nějakou jednodušší, která je co nejpodobnější. \ No newline at end of file diff --git a/KMA LAA/Okruhy/23. Kvadratické formy a reálné symetrické matice, kriteria definitnosti matic.md b/KMA LAA/Okruhy/23. Kvadratické formy a reálné symetrické matice, kriteria definitnosti matic.md new file mode 100644 index 0000000..8b56f8e --- /dev/null +++ b/KMA LAA/Okruhy/23. Kvadratické formy a reálné symetrické matice, kriteria definitnosti matic.md @@ -0,0 +1,26 @@ +# Kvadratické formy a reálné symetrické matice, kriteria definitnosti matic +## Kvadratická forma +- matice **A** je reálná symetrická matice řádu $n$ +- kvadratická forma určená maticí **A** je zobrazení $\kappa(\vec{x}) = \vec{x}^{T}A\vec{x}$ +- Nechť **A** je reálná symetrická matice. Potom + 1. všechna vlastní čísla matice **A** jsou reálná; + - **DK**: Nechť $\lambda \in \mathbb{C}$ je vlastním číslem matice **A** s vl. vektorem $\vec{u}$. Tedy $A \cdot \vec{u} = \lambda \cdot \vec{u}$. + - platí: + $$\vec{u}^T \cdot A \cdot \overline{\vec{u}} = \vec{u}^T \cdot (A \cdot \overline{\vec{u}}) = \vec{u}^T \cdot (\overline{A} \cdot \overline{\vec{u}}) = \vec{u}^T \cdot \overline{\lambda} \cdot \overline{\vec{u}} = \overline{\lambda} \cdot \vec{u}^T \cdot \overline{\vec{u}} = \overline{\lambda} \cdot (\vec{u}, \overline{\vec{u}})$$ + $$\vec{u}^T \cdot A \cdot \overline{\vec{u}} = \vec{u}^T \cdot A^T \cdot \overline{\vec{u}} = (A \cdot \vec{u})^T \cdot \overline{\vec{u}} = (\lambda \cdot \vec{u})^T \cdot \overline{\vec{u}} = \lambda \cdot \vec{u}^T \cdot \overline{\vec{u}} = \lambda \cdot (\vec{u}, \overline{\vec{u}})$$ + $$\implies \lambda = \overline{\lambda} \implies \lambda \in \mathbb{R} \qquad \vec{u} \neq \vec{o}$$ + 1. ke každému vlastnímu číslu existuje **reálný vlastní vektor**; + - **DK**: $A- \lambda I$ je reální singulární $\implies \exists$ nenulové reálné řešení + 2. vlastní vektory příslušející různým vlastním číslům **jsou ortogonální**. + - **DK**: Nechť $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ jsou různá vl. čísla s vl. vektory $\vec{u}_{1}, \vec{u}_{2}$. + - platí: + $$\vec{u}_{1}^T \cdot A \cdot \vec{u}_{2} = \vec{u}_{1}^T \cdot \lambda_{2} \cdot \vec{u}_{2} = \lambda_{2} \cdot \vec{u}_{1}^T \cdot \vec{u}_{2} = \lambda_{2} \cdot (\vec{u}_{1}, \vec{u}_{2})$$ + $$\vec{u}_{1}^T \cdot A \cdot \vec{u}_{2} = \vec{u}_{1}^T \cdot A^T \cdot \vec{u}_{2} = (A \cdot \vec{u}_{1})^T \cdot \vec{u}_{2} = \lambda_{1} \cdot \vec{u}_{1}^T \cdot \vec{u}_{2} = \lambda_{1} \cdot (\vec{u}_{1}, \vec{u}_{2})$$ + $$\text{protože } \lambda_{1} \neq \lambda_{2} \implies (\vec{u}_{1}, \vec{u}_{2}) = 0 \implies \vec{u}_{1} \perp \vec{u}_{2}$$ +- Reálná symetrická matice **A** řádu $n$ má $n$ ortogonálních reálných vlastních vektorů. + +## Definitnost kvadratické formy (Sylvesterovo kriterium) + +- Nechť **A** je reálná symetrická matice řádu $n$ s hlavními minory $\Delta _{1}, \Delta _{2}, \dots, \Delta _{n} \neq 0$. +- Kvadratická forma $\kappa(\vec{x}) = \vec{x}^{T}A\vec{x}$ je **pozitivně definitní**, jestliže $\Delta _{i} > 0$ pro každé i z $\{1, 2, \dots, n\}$. +- Kvadratická forma $\kappa(\vec{x}) = \vec{x}^{T}A\vec{x}$ je **negativně definitní**, jestliže $\Delta _{i} > 0$ pro každé i z $\{1, 2, \dots, n\}$ sudé a $\Delta _{i} < 0$ pro každé i z $\{1, 2, \dots, n\}$ liché. \ No newline at end of file