Přidání 4. přednášky z DMA

This commit is contained in:
Filip Znachor 2023-03-09 18:19:50 +01:00
parent f6275f44e0
commit 97e2c63e6f
2 changed files with 104 additions and 0 deletions

View File

@ -118,3 +118,4 @@ Uspořádání
- $a \in X$ je maximální, pokud $\not\exists \, x \in X : x \neq a, a \leq x$
- $a \in X$ je nejmenší, pokud $\not\exists \, x \in X : x \geq a$
- $a \in X$ je největší, pokud $\not\exists \, x \in X : a \geq x$
- Pozorování: X konečná množina, tak relace uspořádání je reflexivně-tranzitivní uzávěr relace bezprostředního předchůdce

103
KMA DMA/Prednaska04.md Normal file
View File

@ -0,0 +1,103 @@
- neporovnatelné prvky a, b ... $a \Vert b$
- neplatí $a\leq b \vee b\leq a$
- úplné (lineární) uspořádání ... každé dva prvky jsou porovnatelné
- $(\mathbb{R}, \leq)$
- $(X, \leq)$ poset, $C \subseteq X$ je řetězec (řetízek), pokud platí, že každé 2 různé prvky $x, y \in C$ jsou porovnatelné
- $A \subseteq X$ je antiřetězec (antiřetízek) : každé 2 různé prvky jsou neporovatelné
- $(X, \leq)$ poset, řekneme, že $(Y \leq_{y})$ je podposet $(X, \leq)$
- $Y \subseteq X, \quad \leq_{y} \, = \, \leq \cap \space (Y \times Y)$
Lineární rozšíření posetu
Věta: $(X, \leq)$ konečný poset, d á se vždy lineárně rozšířit
- i nekonečný, je ale potřeba axiom výběru
Výška posetu $P = (X, \leq)$ ... height(P)
- největší h takové, že v něm existuje řetězec velikosti h
Šířka posetu $P = (X, \leq)$ ... width(P)
- největší w takové, že v P existuje antiřetězec velikosti w
Věta (Dilworth) ... $P = (X, \leq)$ poset, width(P) = w
- pak existuje rozklad množiny X na podmnožiny $C_{1}, \dots, C_{w}$
- "Céčka" vzájemně disjunktní tak, že $C_i$ je řetězec
- navíc neexistuje rozklad na méně řetězců
Věta (duální Dilworthova věta)
- $P = (X, \leq)$ poset, h = height(P), pak existuje rozklad $X = A_{1} \cup \dots \cup A_{h}$ tak, že $A_i$ json antiřetězce
- navíc neexistuje rozklad na méně než h antiřetězců
Př.: Hasseův diagram $(\mathbb{N}, I)$
Př.: uspořádání množin inkluzí X
- $(2^x, \leq)$
- $A \cap B \quad$ největší množina na množině všech společných podmnožin A a B
- $A \cup B \quad$ nejmenší společná nadmnožina
Def.:
- poset $(X, \leq)$
- $a, b \in X \quad c \in X$ t. ž. $c \leq a \wedge c \leq b \quad$ dolní závora
- $a, b \in X \quad d \in X$ t. ž. $d \leq a \wedge d \leq b \quad$ horní závora
- $\sup(a,b)$ nejmenší horní závora
- $\inf(a,b)$ největší dolní závora
Definice svazu: $P = (X, \leq)$ poset, řekněme, že P je svaz, pokud
- $\forall \, x, y \in X \quad \exists \, \inf(x,y) \wedge \exists \, \sup(x, y)$
Př.: svazy a nesvazy
dvojí pohled na svazy
- $(X, \leq)$ poset $\to \wedge, \vee \quad a \leq b \iff a \wedge b = a \iff a \vee b = b$
- $(X, \wedge, \vee)$
Def.: $(X, \wedge_{x}, \vee_{x})$ svaz, $(Y, \wedge_{y}, \vee_{y})$ je podsvazem $(X, \wedge_{x}, \vee_{x})$ když platí $: Y \leq X$
- $\forall a, b \in Y : a \wedge_{y} b = a \wedge_{x} b$
- $\forall a, b \in Y : a \vee_{y} b = a \vee_{x} b$
Tvrzení: $(X, \wedge, \vee)$ svaz
- $\forall \, x, y, z \in X$
1) $x \vee x = x \quad$ idempotentnost $\quad x \wedge x = x$
2) $x \vee y = y \vee x \quad$ komutativita $\quad x \wedge x = y \wedge x$
3) $(x \vee y) \vee z = x \vee (y \vee x) \quad$ asociativita $\quad (x \wedge y) \wedge z = x \wedge (y \wedge x)$
4) $x \vee (y \wedge x) = x \quad$ absorbce $\quad x \wedge (y \vee x) = x$
Princip duality
- pokud v libovolném **pravdivém** tvrzení o svazech platném pro **všechny** svazy nahradíme
- $\wedge \to \vee$
- $\vee \to \wedge$
- $\leq \, \to \, \geq$
- získáme opět **pravdivé** tvrzení
- pro množiny
- $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$
- $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$
- distributivita pro $\cup, \cap$
Distributivní svaz $(X, \wedge, \vee)$
- $\forall \, a, b, c \in X : a \wedge (b \vee c) = (a \wedge b) \vee (a \wedge c)$
Tvrzení: v distrib. svazu platí i
- $\forall \, a, b, c \in X : a \vee (b \wedge c) = (a \vee b) \wedge (a \vee c)$
- neplyne z principu duality
Věta (Birkhoff) X svaz
- $(X, \wedge, \vee)$ je distributivní $\iff$ $(X, \wedge, \vee)$ neobsahuje jako podsvaz $M_{5}, N_{5}$
- ty nejsou distributivní
- $a \wedge (v \vee c) = a \wedge 1 = a \quad \neq \quad (a \wedge b) \vee (a \wedge c) = 0 \vee 0 = 0$
- $a \vee (v \wedge c) = a \quad \neq \quad (a \vee b) \wedge (a \vee c) = 0$
Tvrzení: v konečném svazu $\exists$ nejmenší a největší prvek
- Dk.: $X = \{ x_{1}, \dots, x_{n} \}$
- $x_{1} \vee \dots \vee x_{n} \geq x_{i} \, \forall \, i = 1, \dots, n \quad$ největší prvek
- $x_{1} \wedge \dots \wedge x_{n} \leq x_{i} \, \forall \, i = 1, \dots, n \quad$ nejmenší prvek
- označení:
- 0 - nejmenší prvek
- 1 - největší prvek
Komplement prvku: $(X, \wedge, \vee)$ konečný, 1 nejv. prvek, 0 nejm. prvek
- $a \in X \quad$ komplement $\overline a \in X$
- $a \wedge \overline a = 0$
- $a \vee \overline a = 1$
- svaz takový, že $\forall a \in X \quad \exists$ komplementární svaz
Booleova algebra
- distributivní a komplementární svaz s 0, 1