diff --git a/KMA DMA/Prednaska03.md b/KMA DMA/Prednaska03.md
index 13ed863..209c3ce 100644
--- a/KMA DMA/Prednaska03.md	
+++ b/KMA DMA/Prednaska03.md	
@@ -118,3 +118,4 @@ Uspořádání
 		- $a \in X$ je maximální, pokud $\not\exists \, x \in X : x \neq a, a \leq x$
 		- $a \in X$ je nejmenší, pokud $\not\exists \, x \in X : x \geq a$
 		- $a \in X$ je největší, pokud $\not\exists \, x \in X : a \geq x$
+	- Pozorování: X konečná množina, tak relace uspořádání je reflexivně-tranzitivní uzávěr relace bezprostředního předchůdce
\ No newline at end of file
diff --git a/KMA DMA/Prednaska04.md b/KMA DMA/Prednaska04.md
new file mode 100644
index 0000000..09cc1e0
--- /dev/null
+++ b/KMA DMA/Prednaska04.md	
@@ -0,0 +1,103 @@
+- neporovnatelné prvky a, b ... $a \Vert b$
+	- neplatí $a\leq b \vee b\leq a$
+- úplné (lineární) uspořádání ... každé dva prvky jsou porovnatelné
+	- $(\mathbb{R}, \leq)$
+- $(X, \leq)$ poset, $C \subseteq X$ je řetězec (řetízek), pokud platí, že každé 2 různé prvky $x, y \in C$ jsou porovnatelné
+	- $A \subseteq X$ je antiřetězec (antiřetízek) : každé 2 různé prvky jsou neporovatelné
+- $(X, \leq)$ poset, řekneme, že $(Y \leq_{y})$ je podposet $(X, \leq)$
+	- $Y \subseteq X, \quad \leq_{y} \, = \, \leq \cap \space (Y \times Y)$
+
+Lineární rozšíření posetu
+
+Věta: $(X, \leq)$ konečný poset, d á se vždy lineárně rozšířit
+- i nekonečný, je ale potřeba axiom výběru
+
+Výška posetu $P = (X, \leq)$ ... height(P)
+- největší h takové, že v něm existuje řetězec velikosti h
+
+Šířka posetu $P = (X, \leq)$ ... width(P)
+- největší w takové, že v P existuje antiřetězec velikosti w
+
+Věta (Dilworth) ... $P = (X, \leq)$ poset, width(P) = w
+- pak existuje rozklad množiny X na podmnožiny $C_{1}, \dots, C_{w}$
+- "Céčka" vzájemně disjunktní tak, že $C_i$ je řetězec
+- navíc neexistuje rozklad na méně řetězců
+
+Věta (duální Dilworthova věta)
+- $P = (X, \leq)$ poset, h = height(P), pak existuje rozklad $X = A_{1} \cup \dots \cup A_{h}$ tak, že $A_i$ json antiřetězce
+- navíc neexistuje rozklad na méně než h antiřetězců
+
+Př.: Hasseův diagram $(\mathbb{N}, I)$
+
+Př.: uspořádání množin inkluzí X
+- $(2^x, \leq)$
+- $A \cap B \quad$ největší množina na množině všech společných podmnožin A a B
+- $A \cup B \quad$ nejmenší společná nadmnožina
+
+Def.:
+- poset $(X, \leq)$
+	- $a, b \in X \quad c \in X$ t. ž. $c \leq a \wedge c \leq b \quad$ dolní závora
+	- $a, b \in X \quad d \in X$ t. ž. $d \leq a \wedge d \leq b \quad$ horní závora
+- $\sup(a,b)$ nejmenší horní závora
+- $\inf(a,b)$ největší dolní závora
+
+Definice svazu: $P = (X, \leq)$ poset, řekněme, že P je svaz, pokud
+- $\forall \, x, y \in X \quad \exists \, \inf(x,y) \wedge \exists \, \sup(x, y)$
+
+Př.: svazy a nesvazy
+
+dvojí pohled na svazy
+- $(X, \leq)$ poset $\to \wedge, \vee \quad a \leq b \iff a \wedge b = a \iff a \vee b = b$
+- $(X, \wedge, \vee)$
+
+Def.: $(X, \wedge_{x}, \vee_{x})$ svaz, $(Y, \wedge_{y}, \vee_{y})$ je podsvazem $(X, \wedge_{x}, \vee_{x})$ když platí $: Y \leq X$
+- $\forall a, b \in Y : a \wedge_{y} b = a \wedge_{x} b$
+- $\forall a, b \in Y : a \vee_{y} b = a \vee_{x} b$
+
+Tvrzení: $(X, \wedge, \vee)$ svaz
+- $\forall \, x, y, z \in X$
+1) $x \vee x = x \quad$ idempotentnost $\quad x \wedge x = x$
+2) $x \vee y = y \vee x \quad$ komutativita $\quad x \wedge x = y \wedge x$
+3) $(x \vee y) \vee z = x \vee (y \vee x) \quad$ asociativita $\quad (x \wedge y) \wedge z = x \wedge (y \wedge x)$
+4) $x \vee (y \wedge x) = x \quad$ absorbce $\quad x \wedge (y \vee x) = x$
+
+Princip duality
+- pokud v libovolném **pravdivém** tvrzení o svazech platném pro **všechny** svazy nahradíme
+	- $\wedge \to \vee$
+	- $\vee \to \wedge$
+	- $\leq \, \to \, \geq$
+- získáme opět **pravdivé** tvrzení
+- pro množiny
+	- $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$
+	- $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$
+	- distributivita pro $\cup, \cap$
+
+Distributivní svaz $(X, \wedge, \vee)$
+- $\forall \, a, b, c \in X : a \wedge (b \vee c) = (a \wedge b) \vee (a \wedge c)$
+
+Tvrzení: v distrib. svazu platí i
+- $\forall \, a, b, c \in X : a \vee (b \wedge c) = (a \vee b) \wedge (a \vee c)$
+- neplyne z principu duality
+
+Věta (Birkhoff) X svaz
+- $(X, \wedge, \vee)$ je distributivní $\iff$ $(X, \wedge, \vee)$ neobsahuje jako podsvaz $M_{5}, N_{5}$
+	- ty nejsou distributivní
+	- $a \wedge (v \vee c) = a \wedge 1 = a \quad \neq \quad (a \wedge b) \vee (a \wedge c) = 0 \vee 0 = 0$
+	- $a \vee (v \wedge c) = a \quad \neq \quad (a \vee b) \wedge (a \vee c) = 0$
+
+Tvrzení: v konečném svazu $\exists$ nejmenší a největší prvek
+- Dk.: $X = \{ x_{1}, \dots, x_{n} \}$
+	- $x_{1} \vee \dots \vee x_{n} \geq x_{i} \, \forall \, i = 1, \dots, n \quad$ největší prvek
+	- $x_{1} \wedge \dots \wedge x_{n} \leq x_{i} \, \forall \, i = 1, \dots, n \quad$ nejmenší prvek
+- označení:
+	- 0 - nejmenší prvek
+	- 1 - největší prvek
+
+Komplement prvku: $(X, \wedge, \vee)$ konečný, 1 nejv. prvek, 0 nejm. prvek
+- $a \in X \quad$ komplement $\overline a \in X$
+	- $a \wedge \overline a = 0$
+	- $a \vee \overline a = 1$
+- svaz takový, že $\forall a \in X \quad \exists$ komplementární svaz
+
+Booleova algebra
+- distributivní a komplementární svaz s 0, 1
\ No newline at end of file