Úprava 9. a přidání 10. přednášky z DMA

KMA DMA/Prednaska09.md

@@ -95,7 +95,7 @@
 	2) G je silně souvislý $\iff$ $G^C$ má jediný vrchol
 	3) G acyklický $\iff G^C = G$
 
-**Matice přířazené grafům** (or. & neor.)
+**Matice přiřazené grafům** (or. & neor.)
 - Laplaceova matice L(G) neorientovaného grafu G řádu $n = \vert V(G) \vert$
 - redukovaná Laplaceova matice $L_{R}(G)$
 	- vynecháním i-tého řádku a i-tého sloupce pro nějaké (pevné) i

KMA DMA/Prednaska10.md

@@ -0,0 +1,57 @@
+**Počet koster úplného grafu (různých)**
+- Věta (Cayleyho formule)
+	- počet různých koster úplného grafu $K_{n}$ je $n^{n-2}$
+	- [= počet různých stromů na $n$ vrcholech]
+
+**Incidenční matice** [vrcholově-hranová inc. matice]
+- or. graf G bez smyček, $G = (V, E), V = \{ v_{1}, \dots, v_{n} \}, E = \{ e_{1}, \dots, e_{n} \}$
+- $M(G) = (m_{ij})_{i = 1, \dots, n}^{j = 1, \dots, n}$ typu $n/m$
+- $m_{ij} \begin{cases} 1 \quad \text{pokud hrana } e_{j} \text{ začíná ve vrcholu } v_{i}\\-1 \quad \text{pokud hrana } e_{j} \text{ končí ve vrcholu } v_{i}\\0 \quad \text{ jinak (} e_{j} \text{ nekoliduje s } v_{i}\text{)} \end{cases}$
+- v každém sloupci je právě jedna 1 a právě jedna -1
+- sloupce odpovídají dvěma protichůdným hranám (jsou lineárně závislé)
+
+**Incidenční matice** neor. grafu
+- $M(G) = (m_{ij})$ typu $n/m$
+- $m_{ij} \begin{cases} 1 \quad \text{pokud hrana } e_{j} \text{ inciduje s vrcholem } v_{i}\\0 \quad \text{ jinak} \end{cases}$
+
+**Matice sousednosti**
+- $A(G) = (a_{ij})$ řádu n
+- $a_{ij} = \begin{cases} 1 \quad \text{v G existuje hrana }(i,j)\\ 0 \quad \text{jinak} \end{cases}$
+- obecně A není symetrická
+- pro neor. graf G (matice symetrické orientace)
+
+**Laplaceova matice** neor. grafu G na n vrcholech
+- $L(G) = (l_{ij})$ řádu n (symetrická)
+- $V = \{ v_{1}, \dots, v_{n} \}$
+- $l_{ij} = \begin{cases} \deg(v_{i}) \quad \text{pro } i=j \\ -1 \quad\qquad v_{i}v_{j} \in E(G) \\ 0 \qquad\qquad \text{jinak} \end{cases}$
+- redukovaná Laplaceova matice $L_{R}$
+- Tvrzení:
+	- neor. graf G, H lib. (pevná) orientace grafu G
+	- pak platí $L(G) = M(H) \cdot M^T(H)$ $\quad [L_{R}(G) = M_{R}(H) \cdot M_{R}^T(H)]$
+- Věty (2 lim. alg.):
+	- matice A řádu n, B typu n/m
+	- pokud $A = B \cdot B^T$, pak A je pozitivně semidefinitní
+	- p.s.d. matice má nezáporná vl. čísla
+	- Laplaceova matice neor. grafu je pozitivně semidefinitní
+
+**Vlastnosti incidenční matice orientovaného grafu**
+- G or. graf, $G = (V, E), V = \{ v_{1}, \dots, v_{n} \}, E= \{ e_{1}, \dots, e_{n} \}$
+- $M(G) = (m_{ij})$
+- Tvrzení:
+	- or. graf G, buď K slabá komponenta G, pokud $\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i}v_{i} = 0$, pak všechny $v_{i}$ komponenty K jsou si příslušné koeficienty $\alpha_{i}$ rovny
+- Pozorování:
+	- množin řádků M(G) je LZ (součet všech je nulový ř.)
+	- $\text{hod}(M(G)) < n$
+- Věta:
+	- G or. slabě souvislý graf, pak $h(M(G)) = n-1 \quad (n = \vert  V(G)\vert)$
+	- dokonce lib. podmnožina $n-1$ řádků je LN
+- Věta:
+	- or. graf F má k slabých komponent $\iff \text{hod}(M(G)) = n-k$
+
+**Kostra orientovaného grafu**
+- G or. graf, H je kostra G, pokud symetrizace H je kostrou symetrizace G a H neobsahuje protichůdné hrany a smyčky
+- značení: M(G), S množina sloupců M(G)
+	- $F_{S}$ ... faktor přiřazený vybrané množině sloupců S
+	- $e_{i} \in F_{S} \iff e_{i} \in S$
+- Věta:
+	- G slabě souvislý or. graf bez smyček, potom čtvercová podmatice $A_{S}$ matice $M_{R}(G)$ řádu $n-1$ je regulární $\iff$ odpovídající faktor $F_{S}$ je kostrou G