Doplnění poznámek k lineárnímu zobrazení, hodnosti matice a LVP v LAA

This commit is contained in:
Filip Znachor 2023-01-14 20:53:49 +01:00
parent 7df71d0746
commit ab49b41abf
3 changed files with 34 additions and 23 deletions

View File

@ -51,11 +51,11 @@ Každý podprostor vektorového prostoru je také vektorovým prostorem.
### Lineární kombinace
Prvek $\lambda_{1} \vec v_{1} + \lambda_{2} \vec v_{2} + \dots + \lambda_{k} \vec v_{k}$, kde $\vec v_{i}$ jsou prvky LVP $\mathcal{V}$ a $\lambda_{i}$ jsou koeficienty.
Prvek $\lambda_{1} \vec v_{1} + \lambda_{2} \vec v_{2} + \dots + \lambda_{k} \vec v_{k}$ (**LK**), kde $\vec v_{i}$ jsou prvky LVP $\mathcal{V}$ a $\lambda_{i}$ jsou koeficienty.
#### Lineární (ne)závislost
Prvky nazveme **lineárně nezávislými** (**LN**), jestliže se žádný z nich nedá vyjádřit lineární kombinací ostatních prvků. V opačném případě budou prvky **lineárně závislými** (**LZ**).
Prvky nazveme **lineárně nezávislými** (**LN**), jestliže se žádný z nich nedá vyjádřit lineární kombinací ostatních prvků (neboli $LK = \vec{o}$, jedině když $\lambda=0$). V opačném případě budou prvky **lineárně závislé** (**LZ**).
#### Lineární obal

View File

@ -70,13 +70,15 @@ Každou **regulární matici** lze řádkovými elementárními úpravami přev
Determinant **trojúhelníkové matice** je roven **součinu prvků na hlavní diagonále**.
Determinant libovolné **čtvercové podmatice** řádu $m$ se nazývá **minořem řádu** $m$ matice A.
Determinant libovolné **čtvercové podmatice** řádu $m$ se nazývá **minorem řádu** $m$ matice A.
**Hodnost matice** $A$ je rovna **rozměru největšího nenulového subdeterminantu**.
Nechť A je matice. Potom je $hod(A) = m$ právě tehdy,
- když v A existuje **nenulový minor řádu** $m$
- a zároveň každý **minor řádu většího než** $m$ **je nulový**.
Nechť A je čtvercová řádu $n$. Potom $hod(A) = n$, **pokud se $\det(A)$ nerová 0**
Nechť A je čtvercová řádu $n$. Potom $hod(A) = n$, **pokud se $\det(A)$ nerová 0**.
- **DK**: Podle předchozí věty je $hod(A) = n \iff$ v A existuje nenulový minor řádu $n$.
- Víme, že jedinému minoru řádu $n$ odpovídá celá matice A, tedy $hod(A) = n \iff \det(A)$ **se nerovná 0**.
@ -99,4 +101,3 @@ Pokud je matice A regulární, je možné získat inverzní matici.
$\displaystyle A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot A^A$
![[_assets/inverzni-matice-determinant.jpg]]

View File

@ -1,24 +1,22 @@
# Lineární zobrazení
- $U = R^4$ - před zobrazením
- $V = R^3$ - po zobrazení
- $\mathbb{L} : U \to V$
- $\mathcal{U} = R^4$ - LVP před zobrazením
- $\mathcal{V}= R^3$ - LVP po zobrazení
- $\mathbb L : \mathcal{U} \to \mathcal{V}$
Zobrazení $\mathbb L : \mathcal{U} \to \mathcal{V}$ kde $\mathcal{U}, \mathcal{V}$ jsou LVP, jestliže pro každé $\vec x, \vec y \in \mathcal{U}$ a pro každé $c \in \mathbb R$ platí:
1. $\mathbb{L}(\vec x + \vec y) = \mathbb{L}(\vec x) + \mathbb{L}(\vec y)$
2. $\mathbb{L}(c \cdot \vec x) = c \cdot \mathbb{L}(\vec x)$
Nazývá se také **homomorfizmus**.
$\dim(Ker \space \mathbb L) + \dim(Im \space \mathbb L) = \dim(U)$
### Ověření linearity zobrazení
- zkontrolovat, že platí
- $\mathbb{L}(V + V) = \mathbb{L}(V) + \mathbb{L}(V)$
- $\mathbb{L}(k \cdot V) = k \cdot \mathbb{L}(V)$
$\dim(Ker \space \mathbb L) + \dim(Im \space \mathbb L) = \dim(\mathcal U)$
### Jádro
- všechny LK vektorů před zobrazením, které se po zobrazení rovnají 0
- zjištění přes zjištění LK
- $Ker \space \mathbb{L} = \{ \forall \vec x \in U; \mathbb L (\vec x) = 0 \}$
- $Ker \space \mathbb{L} = \{ \forall \vec x \in \mathcal U; \mathbb L (\vec x) = 0 \}$
- zápis: $Ker \space \mathbb{L} = \langle \vec{u}; \vec{v} \rangle$
Zapíšu zobrazení do matice, po provedení GJEM zjistím, které prvky se zobrazí na nulový vektor (tedy si vyjádřím např. $a, b, c$).
@ -26,25 +24,37 @@ Zapíšu zobrazení do matice, po provedení GJEM zjistím, které prvky se zobr
### Obraz
- všechny LK vektorů po zobrazení
- $Im \space \mathbb{L} = \{ \vec y \in V; \exists \vec x U, \mathbb{L}(\vec x) = \vec y \}$
- $Im \space \mathbb{L} = \{ \vec y \in \mathcal V; \exists \vec x \in \mathcal U, \mathbb{L}(\vec x) = \vec y \}$
- zápis: $Im \space \mathbb{L} = \langle \vec{u}; \vec{v} \rangle$
Vypočítám jej opět zapsáním zobrazení do matice a provedením GJEM. Obrazem je poté LN množina vektorů (podobné jako u báze).
### Identické zobrazení
Zobrazení definované vztahem $F(x) = (x)$.
Zobrazení $\mathbb F$ definované vztahem $\mathbb F(x) = (x)$.
### Prosté zobrazení
Každý prvek z prostoru $U$ se zobrazí přesně na jeden prvek z prostoru $V$.
- $\dim(Ker \space \mathbb{L}) = \{\vec{o}_{U}\}$
Každý prvek z prostoru $\mathcal U$ se zobrazí pouze na jeden prvek z prostoru $\mathcal V$ a naopak.
- $Ker \space \mathbb{L} = \{\vec{o}_{\mathcal U}\}$
- $\dim(Ker \space \mathbb{L}) = 0$
### Zobrazení na
Zobrazuje na celou cílovou množinu.
- $\forall v \in \mathcal V : \exists u \in \mathcal U : f(u) = v$
### Izomorfní zobrazení
Lineární zobrazení je **izomorfizmem**, pokud je **prosté** a dimenze jeho obrazu je stejná jako dimenze prostoru V.
- platí $\dim(Ker \space \mathbb{L}) = \{\vec{o}_{U}\}$ a $\dim(Im \space \mathbb{L}) = \dim(V)$
- $\dim(U) = \dim(V)$
Lineární zobrazení je **izomorfizmem**, pokud je **prosté a na**, dimenze jeho obrazu je stejná jako dimenze prostoru V.
- platí $\dim(Ker \space \mathbb{L}) = \{\vec{o}_{\mathcal U}\}$ a $\dim(Im \space \mathbb{L}) = \dim(\mathcal V)$
- $\dim(\mathcal U) = \dim(\mathcal V)$
### Inverzní zobrazení
Je-li $f : A \to B$ zobrazení, pak inverzním zobrazením je $f^{-1} : B \to A$.
- $f^{-1}(b) = a$
- $f(a) = b$
## Matice lineárního zobrazení