From ab49b41abf26a06fd3d2be8f012178584bdbb122 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Filip Znachor Date: Sat, 14 Jan 2023 20:53:49 +0100 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?Dopln=C4=9Bn=C3=AD=20pozn=C3=A1mek=20k=20line?= =?UTF-8?q?=C3=A1rn=C3=ADmu=20zobrazen=C3=AD,=20hodnosti=20matice=20a=20LV?= =?UTF-8?q?P=20v=20LAA?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- KMA LAA/3. Lineární vektorové prostory.md | 4 +- KMA LAA/5. Hodnost matice.md | 7 ++-- KMA LAA/6. Lineární zobrazení.md | 46 ++++++++++++++--------- 3 files changed, 34 insertions(+), 23 deletions(-) diff --git a/KMA LAA/3. Lineární vektorové prostory.md b/KMA LAA/3. Lineární vektorové prostory.md index e05dc03..d34005b 100644 --- a/KMA LAA/3. Lineární vektorové prostory.md +++ b/KMA LAA/3. Lineární vektorové prostory.md @@ -51,11 +51,11 @@ Každý podprostor vektorového prostoru je také vektorovým prostorem. ### Lineární kombinace -Prvek $\lambda_{1} \vec v_{1} + \lambda_{2} \vec v_{2} + \dots + \lambda_{k} \vec v_{k}$, kde $\vec v_{i}$ jsou prvky LVP $\mathcal{V}$ a $\lambda_{i}$ jsou koeficienty. +Prvek $\lambda_{1} \vec v_{1} + \lambda_{2} \vec v_{2} + \dots + \lambda_{k} \vec v_{k}$ (**LK**), kde $\vec v_{i}$ jsou prvky LVP $\mathcal{V}$ a $\lambda_{i}$ jsou koeficienty. #### Lineární (ne)závislost -Prvky nazveme **lineárně nezávislými** (**LN**), jestliže se žádný z nich nedá vyjádřit lineární kombinací ostatních prvků. V opačném případě budou prvky **lineárně závislými** (**LZ**). +Prvky nazveme **lineárně nezávislými** (**LN**), jestliže se žádný z nich nedá vyjádřit lineární kombinací ostatních prvků (neboli $LK = \vec{o}$, jedině když $\lambda=0$). V opačném případě budou prvky **lineárně závislé** (**LZ**). #### Lineární obal diff --git a/KMA LAA/5. Hodnost matice.md b/KMA LAA/5. Hodnost matice.md index d254bc4..c8d2210 100644 --- a/KMA LAA/5. Hodnost matice.md +++ b/KMA LAA/5. Hodnost matice.md @@ -70,13 +70,15 @@ Každou **regulární matici** lze řádkovými elementárními úpravami přev Determinant **trojúhelníkové matice** je roven **součinu prvků na hlavní diagonále**. -Determinant libovolné **čtvercové podmatice** řádu $m$ se nazývá **minořem řádu** $m$ matice A. +Determinant libovolné **čtvercové podmatice** řádu $m$ se nazývá **minorem řádu** $m$ matice A. + +**Hodnost matice** $A$ je rovna **rozměru největšího nenulového subdeterminantu**. Nechť A je matice. Potom je $hod(A) = m$ právě tehdy, - když v A existuje **nenulový minor řádu** $m$ - a zároveň každý **minor řádu většího než** $m$ **je nulový**. -Nechť A je čtvercová řádu $n$. Potom $hod(A) = n$, **pokud se $\det(A)$ nerová 0** +Nechť A je čtvercová řádu $n$. Potom $hod(A) = n$, **pokud se $\det(A)$ nerová 0**. - **DK**: Podle předchozí věty je $hod(A) = n \iff$ v A existuje nenulový minor řádu $n$. - Víme, že jedinému minoru řádu $n$ odpovídá celá matice A, tedy $hod(A) = n \iff \det(A)$ **se nerovná 0**. @@ -99,4 +101,3 @@ Pokud je matice A regulární, je možné získat inverzní matici. $\displaystyle A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot A^A$ ![[_assets/inverzni-matice-determinant.jpg]] - diff --git a/KMA LAA/6. Lineární zobrazení.md b/KMA LAA/6. Lineární zobrazení.md index 7a76bc4..0830855 100644 --- a/KMA LAA/6. Lineární zobrazení.md +++ b/KMA LAA/6. Lineární zobrazení.md @@ -1,24 +1,22 @@ # Lineární zobrazení -- $U = R^4$ - před zobrazením -- $V = R^3$ - po zobrazení -- $\mathbb{L} : U \to V$ +- $\mathcal{U} = R^4$ - LVP před zobrazením +- $\mathcal{V}= R^3$ - LVP po zobrazení +- $\mathbb L : \mathcal{U} \to \mathcal{V}$ + +Zobrazení $\mathbb L : \mathcal{U} \to \mathcal{V}$ kde $\mathcal{U}, \mathcal{V}$ jsou LVP, jestliže pro každé $\vec x, \vec y \in \mathcal{U}$ a pro každé $c \in \mathbb R$ platí: +1. $\mathbb{L}(\vec x + \vec y) = \mathbb{L}(\vec x) + \mathbb{L}(\vec y)$ +2. $\mathbb{L}(c \cdot \vec x) = c \cdot \mathbb{L}(\vec x)$ Nazývá se také **homomorfizmus**. -$\dim(Ker \space \mathbb L) + \dim(Im \space \mathbb L) = \dim(U)$ - -### Ověření linearity zobrazení - -- zkontrolovat, že platí - - $\mathbb{L}(V + V) = \mathbb{L}(V) + \mathbb{L}(V)$ - - $\mathbb{L}(k \cdot V) = k \cdot \mathbb{L}(V)$ +$\dim(Ker \space \mathbb L) + \dim(Im \space \mathbb L) = \dim(\mathcal U)$ ### Jádro - všechny LK vektorů před zobrazením, které se po zobrazení rovnají 0 - zjištění přes zjištění LK - - $Ker \space \mathbb{L} = \{ \forall \vec x \in U; \mathbb L (\vec x) = 0 \}$ + - $Ker \space \mathbb{L} = \{ \forall \vec x \in \mathcal U; \mathbb L (\vec x) = 0 \}$ - zápis: $Ker \space \mathbb{L} = \langle \vec{u}; \vec{v} \rangle$ Zapíšu zobrazení do matice, po provedení GJEM zjistím, které prvky se zobrazí na nulový vektor (tedy si vyjádřím např. $a, b, c$). @@ -26,25 +24,37 @@ Zapíšu zobrazení do matice, po provedení GJEM zjistím, které prvky se zobr ### Obraz - všechny LK vektorů po zobrazení - - $Im \space \mathbb{L} = \{ \vec y \in V; \exists \vec x U, \mathbb{L}(\vec x) = \vec y \}$ + - $Im \space \mathbb{L} = \{ \vec y \in \mathcal V; \exists \vec x \in \mathcal U, \mathbb{L}(\vec x) = \vec y \}$ - zápis: $Im \space \mathbb{L} = \langle \vec{u}; \vec{v} \rangle$ Vypočítám jej opět zapsáním zobrazení do matice a provedením GJEM. Obrazem je poté LN množina vektorů (podobné jako u báze). ### Identické zobrazení -Zobrazení definované vztahem $F(x) = (x)$. +Zobrazení $\mathbb F$ definované vztahem $\mathbb F(x) = (x)$. ### Prosté zobrazení -Každý prvek z prostoru $U$ se zobrazí přesně na jeden prvek z prostoru $V$. -- $\dim(Ker \space \mathbb{L}) = \{\vec{o}_{U}\}$ +Každý prvek z prostoru $\mathcal U$ se zobrazí pouze na jeden prvek z prostoru $\mathcal V$ a naopak. +- $Ker \space \mathbb{L} = \{\vec{o}_{\mathcal U}\}$ +- $\dim(Ker \space \mathbb{L}) = 0$ + +### Zobrazení na + +Zobrazuje na celou cílovou množinu. +- $\forall v \in \mathcal V : \exists u \in \mathcal U : f(u) = v$ ### Izomorfní zobrazení -Lineární zobrazení je **izomorfizmem**, pokud je **prosté** a dimenze jeho obrazu je stejná jako dimenze prostoru V. -- platí $\dim(Ker \space \mathbb{L}) = \{\vec{o}_{U}\}$ a $\dim(Im \space \mathbb{L}) = \dim(V)$ -- $\dim(U) = \dim(V)$ +Lineární zobrazení je **izomorfizmem**, pokud je **prosté a na**, dimenze jeho obrazu je stejná jako dimenze prostoru V. +- platí $\dim(Ker \space \mathbb{L}) = \{\vec{o}_{\mathcal U}\}$ a $\dim(Im \space \mathbb{L}) = \dim(\mathcal V)$ +- $\dim(\mathcal U) = \dim(\mathcal V)$ + +### Inverzní zobrazení + +Je-li $f : A \to B$ zobrazení, pak inverzním zobrazením je $f^{-1} : B \to A$. +- $f^{-1}(b) = a$ +- $f(a) = b$ ## Matice lineárního zobrazení