From b460fac1d3bb1f68b2680a5532f0c381fefd9224 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Filip Znachor Date: Mon, 2 Jan 2023 14:30:42 +0100 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?Dopln=C4=9Bn=C3=AD=20pozn=C3=A1mek=20z=20LAA?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- KMA LAA/1. Polynomy.md | 1 + KMA LAA/2. Matice.md | 6 +++++- KMA LAA/3. Lineární vektorové prostory.md | 6 ++++++ KMA LAA/5. Hodnost matice.md | 21 +++++++++++++++++++- KMA LAA/6. Lineární zobrazení.md | 6 ++++++ KMA LAA/9. Prostory se skalárním součinem.md | 6 ++++++ 6 files changed, 44 insertions(+), 2 deletions(-) diff --git a/KMA LAA/1. Polynomy.md b/KMA LAA/1. Polynomy.md index 0ad9b72..66b5e72 100644 --- a/KMA LAA/1. Polynomy.md +++ b/KMA LAA/1. Polynomy.md @@ -15,6 +15,7 @@ Hodnoty $a_i$ nazýváme **koeficienty** polynomu $p(x)$. ### Stupeň polynomu Stupeň polynomu $p(x)$ je **nejvyšší mocnina proměnné $x$** u níž je nenulový koeficient. +- značí se: $st(p(x))$ ### Nulový polynom diff --git a/KMA LAA/2. Matice.md b/KMA LAA/2. Matice.md index 83b6e68..e1172fa 100644 --- a/KMA LAA/2. Matice.md +++ b/KMA LAA/2. Matice.md @@ -69,4 +69,8 @@ Maticí **typu m/n** nazveme soubor (tabulku) m x n prvků (čísel) $a_{ij}$ za - vynásobíme všechny členy konstantou - **Násobení dvou matic** - nekomutativní - - matice $A_{m/\underline{n}}$ a $B_{\underline{n}/p}$ \ No newline at end of file + - matice $A_{m/\underline{n}}$ a $B_{\underline{n}/p}$ + +### Pivot + +**Pivotem** v řádku $i$ je první nenulové číslo v tomto řádku zleva. diff --git a/KMA LAA/3. Lineární vektorové prostory.md b/KMA LAA/3. Lineární vektorové prostory.md index 104be0b..8d939cd 100644 --- a/KMA LAA/3. Lineární vektorové prostory.md +++ b/KMA LAA/3. Lineární vektorové prostory.md @@ -66,6 +66,12 @@ Souřadnice součtu dvou prvků V jsou součtem souřadnic těchto prvků. $$\widehat{(\vec{v_{1}} + \vec{v_{2}})}_{B} = \widehat{\vec{v_{1}}_{B}} + \widehat{\vec{v_{2}}_{B}}$$ $$\widehat{(\lambda \cdot\vec{v_{2}})}_{B} = \lambda \cdot \widehat{\vec{v_{2}}_{B}}$$ +### Určení souřadnic vektoru v bázi + +1. Bázové prvky zapíšeme do levé strany matice do sloupců. +2. Vektor zapíšeme do pravé strany matice. +3. Pomocí GJEM převedeme levou stranu matice do tvaru jednotkové matice. +4. Na pravé straně máme souřadnice v zadané bázi. ### Lineární obal diff --git a/KMA LAA/5. Hodnost matice.md b/KMA LAA/5. Hodnost matice.md index 9d2ee62..ff18503 100644 --- a/KMA LAA/5. Hodnost matice.md +++ b/KMA LAA/5. Hodnost matice.md @@ -78,4 +78,23 @@ Nechť A je matice. Potom je $hod(A) = m$ právě tehdy, Nechť A je čtvercová řádu $n$. Potom $hod(A) = n$, **pokud se $\det(A)$ nerová 0** - **DK**: Podle předchozí věty je $hod(A) = n \iff$ v A existuje nenulový minor řádu $n$. -- Víme, že jedinému minoru řádu $n$ odpovídá celá matice A, tedy $hod(A) = n \iff \det(A)$ **se nerovná 0**. \ No newline at end of file +- Víme, že jedinému minoru řádu $n$ odpovídá celá matice A, tedy $hod(A) = n \iff \det(A)$ **se nerovná 0**. + +### Inverzní matice + +Inverzní matice $A^{-1}$ nemusí pro matici $A$ vždy existovat. Pokud ale existuje, je jednoznačně určená. +- $A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I$ +- $(AB)^{-1} = A^{-1}B^{-1}$ + +Inverzní matice $A^{-1}$ k matici $A$ existuje pouze, pokud je matice $A$ regulární. + +### Adjungovaná matice + +Adjungovaná matice je matice $A^A$, která je poskládaná z algebraických doplňků, ale **transponovaně**. + +#### Určení inverzní matice pomocí determinantů + +Pokud je matice A regulární, je možné získat inverzní matici. + +$\displaystyle A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot A^A$ + diff --git a/KMA LAA/6. Lineární zobrazení.md b/KMA LAA/6. Lineární zobrazení.md index 6829966..d9493d9 100644 --- a/KMA LAA/6. Lineární zobrazení.md +++ b/KMA LAA/6. Lineární zobrazení.md @@ -46,3 +46,9 @@ Nejsnadnější způsob, jak počítačově popsat lineární zobrazení. 3. Do matice $A_{1}$ napíšu do sloupců vektory ze druhé báze. 4. Matice **spojím** do matice $A = [A_{1} \mid A_{2}]$, kterou vyřeším pomocí GJEM. 5. Na **levé straně** díky GJEM dostanu **jednotkovou matici** a na **pravé straně** vznikne **matice lineárního zobrazení**. + +### Matice přechodu + +Matice identického lineárního zobrazení vzhledem k bázím $B_{1}$ a $B_{2}$. + +Postup je stejný jako u matice lineárního zobrazení, jen prvky první báze nezobrazuji a rovnou je zapíšu do matice. \ No newline at end of file diff --git a/KMA LAA/9. Prostory se skalárním součinem.md b/KMA LAA/9. Prostory se skalárním součinem.md index 5a1952b..91a6e73 100644 --- a/KMA LAA/9. Prostory se skalárním součinem.md +++ b/KMA LAA/9. Prostory se skalárním součinem.md @@ -164,6 +164,12 @@ Zřejmě $\overline{\vec{x}}$ je nejbližším vektorem k $\vec{x}$ ve $V$. Je-li $V$ podprostorem prostoru $U$ a $\vec{x} \notin V$, potom existuje právě jeden prvek $\overline{\vec{x}}$ takový, že $\vec{x} - \overline{\vec{x}} \perp V$ a $\overline{\vec{x}} \in V$. - Pro každý vektor $\vec{y} \in V$ platí $\Vert \vec{x} - \vec{y} \Vert \geq \Vert \vec{x} - \overline{\vec{x}} \Vert$ a rovnost nastává, právě když $\vec{y} = \overline{\vec{x}}$. +**Postup**: +1. Potřebujeme prvky báze $\vec{b}_{i}$ prostoru, do kterého děláme prmět a prvek $\vec{z}$, jehož průmět budeme zjišťovat. +2. Pomocí vzorečku $(\vec{b_{1}}, \vec{b_{i}}) + (\vec{b_{2}}, \vec{b_{i}}) + \dots + (\vec{b_{i}}, \vec{b_{i}}) = (\vec{z}, \vec{b_{i}})$ vytvoříme Gramovu matici. +3. Pomocí GJEM vyřešíme levou část matice, abychom zde získali jednotkovou matici. +4. Výsledkem je vektor v pravé části matice. + ### Metoda nejmenších čtverců Metodou nejmenších čtverců je možné aproximovat funkci - najít nějakou jednodušší, která je co nejpodobnější.