From b62bdbe3f63670897b6b939d44d6041e995982a5 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Filip Znachor Date: Sat, 12 Aug 2023 20:46:03 +0200 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?Dopln=C4=9Bn=C3=AD=207.=20a=209.=20ot=C3=A1zky?= =?UTF-8?q?=20z=20DMA?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- .../07. Částečně uspořádané množiny.md | 30 +++++++++++++++---- KMA DMA/Otázky ke zkoušce/09. Svazy.md | 28 ++++++++++++----- 2 files changed, 45 insertions(+), 13 deletions(-) diff --git a/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/07. Částečně uspořádané množiny.md b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/07. Částečně uspořádané množiny.md index 2f3bbb6..c753cf4 100644 --- a/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/07. Částečně uspořádané množiny.md +++ b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/07. Částečně uspořádané množiny.md @@ -12,6 +12,22 @@ Nechť $x, y$ jsou dva prvky uspořádané množiny $(X, \leq)$. Platí-li $x \l Uspořádání $\leq$ se často označuje jako **částečné** (POSET), protože definice připouští existenci dvojic neporovnatelných prvků. +## Hasseův diagram + +Hasseův diagram uspořádané množiny $(X, \leq)$ je znázornění, ve kterém **pro každou dvojici prvků** $x, y \in X$ platí $x \triangleleft y$, právě když $x, y$ jsou spojeny čarou a prvek $y$ **je nakreslen výše** než $x$. + +Spojnice není nutná opatřovat šipkou, protože směr je jednoznačně dán. + +**Nezakreslujeme** +- relace, které jsou v relaci díky tranzitivitě +- smyčky u vrcholů (reflexivita) +### Bezprostřední předchůdce + +Nechť $x, y$ jsou prvky uspořádané množiny $(X, \leq)$. Prvek $x$ je **bezprostředním předchůdcem** prvku $y$ (psáno $x \triangleleft y$), pokud $x \leq y$ a **neexistuje žádné** $z \in X - \{x,y\}$, pro které by platilo $x \leq z \leq y$. + +Na vztah $\triangleleft$ se můžeme dívat jako na relaci na množině $X$ (tzv. **relace bezprostředního +předcházení**). Tato relace obecně není reflexívní ani tranzitivní. + ## Základní pojmy **Největší prvek** @@ -35,12 +51,16 @@ Uspořádání $\leq$ se často označuje jako **částečné** (POSET), protož - může jich být více **Infimum** -- TODO +- největší dolní závora prvků $x, y \in X$ +- prvek $i \in X$ s vlastnostmi + - $i \leq x$ a $i \leq y$ (je dolní závorou) + - je-li $z \leq x$ a $z \leq y$ pro nějaké $z \in X$, pak $z \leq i$ (je největší dolní závorou) **Supremum** -- TODO - -TODO +- nejmenší horní závora prvků $x, y \in X$ +- prvek $s \in X$ s vlastnostmi + - $x \leq s$ a $y \leq s$ (je horní závorou) + - je-li $x \leq z$ a $y \leq z$ pro nějaké $z \in X$, pak $s \leq z$ (je nejmenší horní závorou) **Výška POSETu** - označíme $\text{height}(\mathcal P)$, je největší $h$ takové, že existuje řetězec $h$ prvků v $\mathcal P$ @@ -58,4 +78,4 @@ TODO TODO **Řetěz** -- Řetězem délky $k$ nad abecedou $\Gamma = \{ \sigma_{1}, \sigma_{2}, \dots, \sigma_{n} \}$ velikosti $n$ budeme rozumět posloupnost $$ \ No newline at end of file +- Řetězem délky $k$ nad abecedou $\Gamma = \{ \sigma_{1}, \sigma_{2}, \dots, \sigma_{n} \}$ velikosti $n$ budeme rozumět posloupnost \ No newline at end of file diff --git a/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/09. Svazy.md b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/09. Svazy.md index 710f72c..ed23b51 100644 --- a/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/09. Svazy.md +++ b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/09. Svazy.md @@ -1,25 +1,32 @@ # Svazy -Svaz je **uspořádaná množiny** $(X, \leq)$, ve které existuje **supremum** i **infimum** pro **libovolnou dvojici prvků**. +Svaz je **uspořádaná množina** $(X, \leq)$, ve které existuje **supremum** i **infimum** pro **každou dvojici prvků**. Pro libovolné dva prvky $a, b$ svazu $(X, \leq)$ platí - $a \leq b$ právě když $a \vee b = b$ právě když $a \wedge b = a$. +| popis | inf/sup | značení | +| -------------------------- | ---------------- | ---------------- | +| $a$ je dolní závora $a, b$ | $a = \inf(a, b)$ | $a = a \wedge b$ | +| $b$ je horní závora $a, b$ | $b = \sup(a, b)$ | $b = a \vee b$ | + ## Princip duality -Když v libovolném pravdivém tvrzení prohodíme průsek a spojení (a uspořádání nahradíme inverzním), dostaneme opět pravdivé tvrzení. +Když v libovolném pravdivém tvrzení **prohodíme průsek a spojení** (a uspořádání nahradíme inverzním), dostaneme opět pravdivé tvrzení. ## Operace **Supremum** - značíme $x \vee y$ -- největší dolní závora obou prvků +- nejmenší horní závora obou prvků - spojení (sjednocení) dvou množin **Infimum** - značíme $x \wedge y$ -- nejmenší horní závora obou prvků -- průnik dvou množin +- největší dolní závora obou prvků +- průsek (průnik) dvou množin + +## Vlastnosti Mejmě svaz $X$ a $x, y, z \in X$. Potom platí: @@ -32,10 +39,13 @@ Mejmě svaz $X$ a $x, y, z \in X$. Potom platí: ## Distributivní svaz -**Definice** -- Řekneme, že svaz $(X, \leq)$ je distributivní, jestliže $\forall \, x, y, z \in X$ je $x \wedge (y \vee z) = (x \vee y) \wedge (x \vee z)$. +Řekneme, že **svaz** $(X, \leq)$ je **distributivní**, jestliže +- $\forall \, x, y, z \in X$ je $x \wedge (y \vee z) = (x \vee y) \wedge (x \vee z)$. + +Z principu duality v distributivním svazu platí rovněž $x \vee (y \wedge z) = (x \wedge y) \vee (x \wedge z)$ + +### Birkhoffovo kritérium distributivity -**Birkhoffovo kritérium distributivity** - Svaz $(X, \leq)$ je distributivní právě když neobsahuje jako podsvaz $X_{1}$ ani $X_{2}$. ![[_assets/distributivni_svaz.png]] @@ -44,6 +54,8 @@ Mejmě svaz $X$ a $x, y, z \in X$. Potom platí: Nechť $(X, \leq)$ je svaz a $Y \subset X$. Řekneme, že POSET $(Y, \leq)$ je podsvazem svazu $(X, \leq)$, jestliže operace spojení a průseku v $Y$ jsou zúženími operací spojení a průseku v $X$. +Vyškrtnu infimum a supremum, pokud alespoň jeden z prvků chybí v podsvazu a zbytek tabulky by měl stále platit. + ## Konečný svaz Je-li $(X, \leq)$ konečný svaz (tj. $|X|$ je konečný), potom v $X$ existuje nejmenší i největší prvek.