From cdb4747e609efb0e03a8c35b6ce8d9b7ef2d79ad Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Filip Znachor Date: Fri, 5 May 2023 08:36:25 +0200 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?P=C5=99id=C3=A1n=C3=AD=2011.=20p=C5=99edn=C3=A1?= =?UTF-8?q?=C5=A1ky=20z=20DMA?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- KMA DMA/Prednaska11.md | 51 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 51 insertions(+) create mode 100644 KMA DMA/Prednaska11.md diff --git a/KMA DMA/Prednaska11.md b/KMA DMA/Prednaska11.md new file mode 100644 index 0000000..0032671 --- /dev/null +++ b/KMA DMA/Prednaska11.md @@ -0,0 +1,51 @@ +- Def.: matice A je totálně unimodulární, pokud determinant lib. čtvercové podmatice je $0, +1, -1$ (A má prvky $0, \pm1$) +- Věta: incidenční matice M(G) or. grafu G je totálně unimodulární +- Věta (Cauchy-Binet): B matice typu $r \times s$, pak platí + - $\det(B \cdot B^T) = \sum_{I} \det^2(B_{I})$, kde se sčítá přes všechny r-prvkové podmnožiny množiny sloupců B +- Věta: G slabě souvislý or. graf. $L_{R} = M_{R} \cdot M_{R}^T$, kde $M_{R}$ je redukovaná inc. matice G + - pak platí, že počet různých koster $G = \det L_{R}$ [$L_R$ je red. Lapl. matice sym. or. G] + +**Incidenční matice neorientovaných grafů** +- prvky M jsou 0, 1 - chápeme jako prvky tělesa $\mathbb{Z}_{2}$ +- řádky M jsou prvky lineárního prostoru $\mathbb{Z}_{2}^m$ nad $\mathbb{Z}_{2}$ +- spec. vektory v $\mathbb{Z}_{2}^m$ jsou LN $\iff \exists$ jejich neprázdná podmnožina s nulovým součtem +- Věta: G neorientovaný graf + 1) hodnost $M(G)$ nad $\mathbb{Z}_{2}$ je $n-k$ $\iff$ má $k$ komponent + 2) G souvislý, pak každých $n-1$ řádků matice $M(G)$ tvoří LN množinu nad $\mathbb{Z}_{2}$ + - značení: $\text{hod}_{2}(A) \dots$ hodnost A nad $\mathbb{Z}_{2}$ + +**Matice sousednosti a počty sledů** +- G or. graf, A(G) matice sousednosti +- $A(G) = (a_{ij}), G$ má $n$ vrcholů, $A(G)$ má řád $n$ +- $A^o(G) = I_{n}, I_{n}$ jednotková matice řádu $n$ +- $A^k(G) = (a_{ij}^{(k)})$ +- Věta: G orientovaný graf, $k \geq 0$ (celé) + - pak $a_{ij}^{(k)}$ matice $A^k(G)$ je roven počtu $v_{i}v_{j}$-sledů délky přesně $k$ v $G$ + +**Test nilpotentnosti 0-1-matice** +- Tvrzení: or. graf G je acyklický $\iff$ nějaká mocnina matice A(G) je nulová [$\exists \, k \geq 0 : A^k(G) = 0$] + +**Vzdálenost v grafech** +- Def.: G or. graf, vzdálenost $d(x,y)$ vrcholu y od x je délka nejkratší xy-cesty v G + - pokud v G neex. xy-sled, pak $d(x,y) = \infty$ +- analogicky pro neor. grafy + - $d(x,y) = d(y,x)$ +- Věta: G souvislý neor. graf, pak $d(x,y)$ je metrikou na V(G) + 1) $d(x,y) \geq 0, d(x,y) = 0 \iff x = y$ [pozitivní definitnost] + 2) $d(x,y) = d(y,x)$ [symetrie] + 3) $d(x,y) + d(y,z) \geq d(x,z)$ [trojúhelníková nerovnost] +- v or. grafech neplatí 2) +- Def.: distanční matice or. grafu G s vrcholy $v_{1}, \dots, v_{n}$ je matice řádu n + - $D(G) = (d(v_{i}, v_{j}))^n_{i,j=1}$ +- Tvrzení: prvek $d(v_{i}, v_{j})$ distanční matice D(G) je roven nejmenšímu k, pro které $a_{ij}^{(k)} \neq 0$ a pokud takové k neexistuje, pak $d(v_{i}, v_{j}) = \infty$ + +**Ohodnocené grafy** +- Def.: ohodnocený or. graf (G, w) je or. graf $G = (V, E)$ spolu s funkcí $w : E(G) \to (0, +\infty)$ + - $w(e) \dots$ váha (ohodnocení) hrany e +- Pozn.: neohodnocené grafy lze (často) považovat jako ohodnocené grafy s ohodnocením 1 +- Def.: vážená matice sousednosti ohodnoceného or. grafu (G, w) s vrcholy $v_{1}, \dots, v_{n}$ je matice $W(G) = (w_{ij})$ + - $w_{ij} = \begin{cases} w(v_{i}, v_{j}) \quad (v_{i}, v_{j} \in E), i, j = 1, \dots, n \\ 0 \end{cases}$ +- Pozn.: k ohodnocenému grafu se přiřadí nezáporná čtvercová matice + - teorie nezáporných matic [Perrou/Frobenius] +- Def.: minimální cesta z u do v je každá cesta, jejíž váha je minimální + - vážená vzdálenost $d^w(u, v)$ vrcholu v od u je váha (lib.) minimální cesty z u do v \ No newline at end of file