From d8fae2eaeae7ca20e2b4ca1e9f71c934cd708d90 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Filip Znachor Date: Tue, 16 May 2023 13:40:59 +0200 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?P=C5=99id=C3=A1n=C3=AD=202.=20p=C5=99=C3=ADklad?= =?UTF-8?q?u=20z=20FYI?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- KFY FYI1/Priklad02.md | 39 +++++++++++++++++++++++++++++++++++ KFY FYI1/_assets/priklad2.svg | 4 ++++ 2 files changed, 43 insertions(+) create mode 100644 KFY FYI1/Priklad02.md create mode 100644 KFY FYI1/_assets/priklad2.svg diff --git a/KFY FYI1/Priklad02.md b/KFY FYI1/Priklad02.md new file mode 100644 index 0000000..a6fc042 --- /dev/null +++ b/KFY FYI1/Priklad02.md @@ -0,0 +1,39 @@ +### Zadání + +Podél rovnoměrně se otáčející tyče se od jejího upevnění rovnoměrně pohybuje kulička. Určete: **parametrické rovnice dráhy kuličky**, **velikost rychlosti kuličky** a její **celkové**, **tečné** a **normálové zrychlení**. + +- $\omega = \text{konst.}$ (rotace tyče) +- $v_{0} = \text{konst.}$ (pohyb kuličky podél tyče) +- parametrická rovnice trajektorie kuličky = ? +- velikost rychlosti kuličky v = ? +- celkové ($a = \ ?$), tečné ($a_{t} = \ ?$) a normálové ($a_{n} = \ ?$) zrychlení + +![](_assets/priklad2.svg) + +- $\alpha = \omega \cdot t$ +- $r = v_{0} \cdot z$ +- $r = \sqrt{ v_{x}^2 + v_{y}^2 }$ ++ parametrická rovnice trajektorie kuličky + + $x = \cos \alpha \cdot r = v_{0}\cdot \cos(\omega t)$ + + $y = \sin \alpha \cdot r = v_{0}\cdot \sin(\omega t)$ ++ umocníme na druhou a sečteme + + $x^2 + y^2 = (v_{0}t)^2 \cdot [\cos^2(\omega t) + \sin^2(\omega t)] = (v_{0}t)^2 \cdot 1$ + + $x^2 + y^2 = (v_{0}t)^2$ ... rovnice rovinné spirály + +- $\displaystyle v_{x} = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}[v_{0} t \cdot \cos(\omega t)] = v_{0} \cos(\omega t) - v_{0}\omega t \sin(\omega t)$ +- $\displaystyle v_{y} = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}[v_{0}t \cdot \sin(\omega t)] = v_{0} \sin(\omega t) + v_{0}\omega t \cos(\omega t)$ + +### Výpočet + +$\displaystyle r = \sqrt{ [v_{0} \cos(\omega t) - v_{0}\omega t \sin(\omega t)]^2 + [v_{0} \sin(\omega t) + v_{0}\omega t \cos(\omega t)]^2 } = v_{0} \cdot \sqrt{ 1 + (\omega t)^2 }$ +$\displaystyle a_x = \frac{dv_{x}}{dt} = \frac{d}{dt}[v_{0} \cos(\omega t) - v_{0}\omega t \sin(\omega t)] = \dots = -2 \cdot v_{0} \cdot \omega \sin(\omega t) - v_{0} \cdot \omega^2 t \cos(\omega t)$ +$\displaystyle a_{y} = \frac{dv_{y}}{dt} = \frac{d}{dt}[v_{0} \sin(\omega t) + v_{0}\omega t \cos(\omega t)] = \dots = 2 \cdot v_{0} \cdot \omega \cos(\omega t) - v_{0} \cdot \omega^2 t \sin(\omega t)$ + +### Výsledek + +$\displaystyle a = \sqrt{ a_{t}^2 + a_{n}^2 } = \sqrt{ 4 v_{0}^2 \cdot \omega^2 + (v_{0} \cdot \omega^2 t)^2 } = v_{0} \cdot \omega \cdot \sqrt{ 4 + (\omega t)^2 }$ + +$\displaystyle a_{t} = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}[ v_{0} \cdot \sqrt{ 1 + (\omega t)^2 } ] = v_{0} \cdot \frac{1}{\cancel{2}}[1 + (\omega t)^2]^\frac{-1}{2} \cdot \cancel{2}(\omega t) \cdot \omega = \frac{v_{0} \cdot \omega^2 \cdot t}{\sqrt{ 1+(\omega t)^2 }}$ +$\displaystyle a_{n} = \frac{v^2}{R} \quad$ R neznáme, ale známe $\displaystyle a = \sqrt{ a^2_{t} + a^2_{n} }$ + +$\displaystyle a_{n} = \sqrt{ a^2 - a^2_{t} } = \sqrt{ v_{0}^2 \cdot \omega^2 \cdot [4 + (\omega t)^2] - \frac{v_{0}^2 \cdot \omega^4 \cdot t^2}{1 + (\omega t)^2} } = \dots = \frac{v_{0} \cdot \omega \cdot [2 + (\omega t)^2]}{\sqrt{ 1 + (\omega t)^2 }}$ \ No newline at end of file diff --git a/KFY FYI1/_assets/priklad2.svg b/KFY FYI1/_assets/priklad2.svg new file mode 100644 index 0000000..09a2d6d --- /dev/null +++ b/KFY FYI1/_assets/priklad2.svg @@ -0,0 +1,4 @@ + + + +
w
w
r
r
ω
ω
v0
v0
x = r ⋅ cos α
x = r ⋅ cos α
y = r ⋅ sin α
y = r ⋅ sin α
α
α
t = t
t = t
v
v
vy
vy
vx
vx
t
t Text is not SVG - cannot display \ No newline at end of file