diff --git a/KMA LAA/Okruhy/2. Determinant matice, definice determinantu, vlastnosti.md b/KMA LAA/Okruhy/2. Determinant matice, definice determinantu, vlastnosti.md new file mode 100644 index 0000000..e00831f --- /dev/null +++ b/KMA LAA/Okruhy/2. Determinant matice, definice determinantu, vlastnosti.md @@ -0,0 +1,93 @@ +# Determinant matice + +## Permutace + +Vzájemně jednoznačné zobrazení konečné množiny na sebe. + +$$ +\pi_{1} = \begin{pmatrix} +1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ +5 & 3 & 2 & 1 & 4 +\end{pmatrix} \qquad \pi_{2} = \begin{pmatrix} +1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ +2 & 4 & 3 & 1 & 5 +\end{pmatrix} +$$ + +Můžeme je skládat (stejně jako funkce): + +$$ +\pi_{1} \circ \pi_{2} = \begin{pmatrix} +1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ +5 & 3 & 4 & 2 & 1 +\end{pmatrix} \qquad \pi_{2} \circ \pi_{1} = \begin{pmatrix} +1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ +1 & 3 & 2 & 5 & 4 +\end{pmatrix} +$$ + +### Transpozice + +Permutace $\pi$, pro kterou existují $i, j$ takové, že $\pi(i) = j, \pi(j) = i$ a $\pi(k) = k$ pro všechna $k \neq i, j$. +- v transpozici dojde pouze k **prohození dvou prvků** + +$$ +J_{1} = \begin{pmatrix} +1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ +1 & 4 & 3 & 2 & 5 +\end{pmatrix} \qquad J_{2} = \begin{pmatrix} +1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ +2 & 1 & 3 & 4 & 5 +\end{pmatrix} +$$ + +Každá **permutace** se dá vyjádřit jako složení **konečného počtu transpozic**. + +$$ +\pi_{2} = \begin{pmatrix} +1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ +2 & 4 & 3 & 1 & 5 +\end{pmatrix} = J_{1} \circ J_{2} = \begin{pmatrix} +1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ +1 & 4 & 3 & 2 & 5 +\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} +1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ +2 & 1 & 3 & 4 & 5 +\end{pmatrix} +$$ + +Znázornění jednotlivých transpozic (směrem dolů): + +$$ +\downarrow \quad \begin{matrix} +\text{začátek} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ +J_{1} & 1 & \mathbf{4} & 3 & \mathbf{2} & 5\\ +J_{2} & \mathbf{2} & 4 & 3 & \mathbf{1} & 5 +\end{matrix} +$$ + +Permutace je **sudá nebo lichá** podle sudého nebo lichého počtu transpozic. +- **Znaménko permutace** $\pi$ je pak číslo + + $$ + zn(\pi) = \begin{cases}1, \text{je-li } \pi \text{ sudá} \\ -1, \text{je-li } \pi \text{ lichá}\end{cases} + $$ +- Znaménko permutace vzniklé složením dvou permutací se rovná součinu znamének každé permutace. + - $zn(\pi_1 \circ \pi_{2}) = zn(\pi_{1}) \cdot zn(\pi_{2})$ + +## Determinant + +**Determinantem** čtvercové matice $A = [a_{ij}]$ řádu $n$ nazveme číslo + +$$\det(A) = \sum_{\pi}^{} zn(\pi)a_{1\pi(1)}a_{2\pi(2)}\dots a_{n\pi(n)}$$ + +kde sčítáme přes všechny permutace na množině $\{1, 2, \dots, n\}$. + +- determinant je suma všech permutací vzniklých z diagonálního řádku matice, kde sudá permutace je s kladným znaménkem a lichá se záporným +- v součinu prvků v definici determinantu je z každého řádku a z každého sloupce vybrán právě jeden prvek +- $det(A) = det(A^{T})$ + +#### Algebraický doplněk matice + +Subdeterminant (minor) vzniklý z matice vynecháním $i$-tého řádku a $j$-tého sloupce. +- $(-1)^{i+j} \det A[\cancel{i/j}]$ \ No newline at end of file diff --git a/KMA LAA/Okruhy/3. Rozvoj determinantu podle řádku či sloupce.md b/KMA LAA/Okruhy/3. Rozvoj determinantu podle řádku či sloupce.md new file mode 100644 index 0000000..7855f17 --- /dev/null +++ b/KMA LAA/Okruhy/3. Rozvoj determinantu podle řádku či sloupce.md @@ -0,0 +1,43 @@ +## Determinant + +**Determinantem** čtvercové matice $A = [a_{ij}]$ řádu $n$ nazveme číslo + +$$\det(A) = \sum_{\pi}^{} zn(\pi)a_{1\pi(1)}a_{2\pi(2)}\dots a_{n\pi(n)}$$ + +kde sčítáme přes všechny permutace na množině $\{1, 2, \dots, n\}$. + +### Rozvoj podle i-tého řádku + +- A je čtvercová matice řádu $n$ +- $i \in {\{ 1, 2, ..., n \}}$ +- $det(A) = a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2} + ... + a_{in}A_{in} = \sum_{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij}$ +- rozvojem se řeší všechny determinanty řádu $n\eq 4$ +- elementární úpravy: + - prohození dvou řádků matice + - vynásobení (vydělení) řádku matice nenulovým číslem + - přičtení $k$-násobku $i$-tého řádku k $j$-tému +- pro determinanty můžeme využívat analogicky i sloupcové elementární úpravy ($det(A) = det(A^{T})$) + +### Věty + +Nechť matice B vznikne z matice A prohozením dvou řádků (sloupců). Potom $\det(B) = -\det(A)$. +- **DK**: Prohozením dvou řádků (sloupců) se změní počet transpozic v každé permutaci o 1, tedy znaménka se změní v opačná. +- z definice determinantu pak plyne, že determinant vyjde opačný k $det(A)$ + +Má-li matice A **dva stejné řádky** nebo **sloupce**, potom $\det(A) = 0$. +- **DK**: Matice B vznikne z matice A prohozením dvou stejných řádků (sloupců). +- musí platit zároveň, že: + - $\det(B) = -\det(A)$ z předchozí věty, tedy $0 = -0$ + - matice $B = A$, tedy $\det(B) = \det(A)$, proto $0 = 0$ +- Z toho plyne, že determinant je nulový, tedy $\det(A)=\det(B)=0$. + +Nechť matice B vznikne z matice A vynásobením $i$-tého řádku (sloupce) číslem $c$. Potom $\det(B) = c \cdot \det(A)$. +- **DK**: Rozvoj v matici B podle $i$-tého řádku: +- $\det(B) = (c \cdot a_{i1} \cdot A_{i1} + c \cdot a_{i2} \cdot A_{i2} + \dots + c \cdot a_{in} \cdot A_{in}) =$ $c \cdot (a_{i1} \cdot A_{i1} + a_{i2} \cdot A_{i2} + \dots + a_{in}*A_{in}) = c \cdot det(A)$ + +Má-li matice A nějaký řádek nebo sloupec nulový, potom $\det(A) = 0$ +- **DK**: Rozvojem podle nulového řádku (či sloupce). + +Nechť matice B vznikne z matice A přičtením $c$-násobku $i$-tého řádku (slupce) k $j$-tému řádku (sloupci) ($i \neq j$). Potom $\det(B) = \det(A)$. + +Nechť A, B jsou matice řádu $n$. Potom $\det(A \cdot B) = det(A) \cdot det(B)$. \ No newline at end of file diff --git a/KMA LAA/Okruhy/4. Lineární prostor, lineární závislost a nezávislost.md b/KMA LAA/Okruhy/4. Lineární prostor, lineární závislost a nezávislost.md new file mode 100644 index 0000000..a9bc84d --- /dev/null +++ b/KMA LAA/Okruhy/4. Lineární prostor, lineární závislost a nezávislost.md @@ -0,0 +1,53 @@ +# Lineární vektorové prostory + +- neprázdnou množinu V nazveme lineární vekotorový prostor nad tělesem $\mathbb{T}$ (nad $\mathbb{C}$ nebo nad $\mathbb{R}$) + - těleso je množina s operacemi "$+$" a "$*$" splňující distributivitu + +Příklady: + +| zápis | typ | +| ---------- | ------------------------------------------- | +| $R^2, R^3$ | geometrické vektory o 2, resp. 3 složkách | +| $R^n$ | n-tice reálných čísel (aritmetické vektory) | +| $M_{m,n}$ | všechny matice typu m/n (nad $R$, nad $C$) | +| $P_n$ | všechny polynomy stupně nejvýše n | +| $C(a,b)$ | všechny funkce spojité na $$ | + +## základní vlastnosti v L. V. P. +- Nechť V je L. V. P. nad $\mathbb R$ + - nulový prvek je určen jednoznačně + - je-li $x + y = x + z => y = z$ + - je-li $x + y = z => x = z + (-y)$ + - $\forall x \in V$ je opačný prvek $-x$ určen jednoznačně + - $\forall x \in V$ a $\forall k \in \mathbb R$ je $0x = k0 = 0$ + - $\forall x \in V$ je $-1x = -x$ + - je-li $kx = 0 => k = 0$ nebo $x = 0$ + +# Lineární závislost a nezávislost +- Nechť V je $L. V. P.$ a $v_1, v_2, ..., v_n$ jsou prvky prostoru V +- Nechť $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n$ jsou reálná čísla (prvky $\mathbb T$) +- prvek $\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + ... + \lambda_n v_n$ se nazvývá **lineární kombinací** +- prvky $v_1, v_2, ..., v_n$ jsou **linárně nezávislé** pokud LK $= 0$ +- prvky $v_1, v_2, ..., v_n$ jsou **linárně závislé** pokud LK $\neq 0$ + +- prázdná množina prvků je vždy LN + +### Podprostor + +Máme lineární vektorový prostor $V$ a jeho podprostor $U \subset V$, jestliže +1) pro každé $\vec{u}, \vec{v} \in U$ je $\vec{u} + \vec{v} \in U$ +2) pro každé $\vec{u} \in U$ a pro každé $a \in K$ je $a \cdot \vec{u} \in U$ + - vyplývá, že v podprostoru $U$ bude vždy i nulový vektor ($a = 0$) + +Každý podprostor vektorového prostoru je také vektorovým prostorem. + +#### Operace s podprostory + +- Sjednocení $u_{1} \cup u_{2}$ + - Musí platit: + - $u_{1} \subseteq u_{2}$ + - $u_{2} \subseteq u_{1}$ + +### Generující množina + +Množina $M = \{\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}, \dots, \vec{v_{k}}\} \subseteq V$ generuje lineární vektorový prostor, jestliže se lineární kombinace všech prvků M rovná prostoru V, tedy $\langle M \rangle = V$. \ No newline at end of file diff --git a/KMA LAA/Okruhy/5. Báze a dimenze prostoru, souřadnice prvku v dané bázi.md b/KMA LAA/Okruhy/5. Báze a dimenze prostoru, souřadnice prvku v dané bázi.md new file mode 100644 index 0000000..6c8cb63 --- /dev/null +++ b/KMA LAA/Okruhy/5. Báze a dimenze prostoru, souřadnice prvku v dané bázi.md @@ -0,0 +1,39 @@ +### Báze + +Je-li generující množina prostoru V lineárně nezávislá, jedná se také o bázi prostoru V. +- zápis: $\text{báze }A = \{\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}\}$ + +Bázi z generující množiny zjistím tím, že vektory GM zapíšu **do sloupců** matice a provedu **GJEM**, čímž zjistím, jestli se nedá některý z vektorů **vyjádřit jako LK jiného vektoru** (tedy vyjde jako **parametr**). + +#### Dimenze V + +Počet prvků báze V se nazývá **dimenze V** a značí se $dim(V)$. + +Dimenzi vypočítám **zjištěním báze**, kde **počet prvků báze** je roven **dimenzi V**. + +#### Souřadnice v bázi + +Jednoznačně určené koeficienty $c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n} \in \mathbb{R}$ LK $v = c_{1}\vec{b_{1}}, c_{2}\vec{b_{2}}, \dots, c_{n}\vec{b_{n}}$ se nazývají **souřadnice prvku v** v bází B. +- značí se $\widehat{v_{B}} = [c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n}]^T$ + +Pořadí prvků v bázi je důležité! Při změně pořadí se změní i pořadí souřadnic: + +$$B_{1} = \{ \vec{b_{1}}, \vec{b_{2}}, \vec{b_{3}} \} \qquad \vec{x}_{B_{1}} = [1, 2, 3]$$ +$$B_{2} = \{ \vec{b_{2}}, \vec{b_{1}}, \vec{b_{3}} \} \qquad \vec{x}_{B_{2}} = [2, 1, 3]$$ + +Souřadnice součtu dvou prvků V jsou součtem souřadnic těchto prvků. + +$$\widehat{(\vec{v_{1}} + \vec{v_{2}})}_{B} = \widehat{\vec{v_{1}}_{B}} + \widehat{\vec{v_{2}}_{B}}$$ +$$\widehat{(\lambda \cdot\vec{v_{2}})}_{B} = \lambda \cdot \widehat{\vec{v_{2}}_{B}}$$ + +### Určení souřadnic vektoru v bázi + +1. Bázové prvky zapíšeme do levé strany matice do sloupců. +2. Vektor zapíšeme do pravé strany matice. +3. Pomocí GJEM převedeme levou stranu matice do tvaru jednotkové matice. +4. Na pravé straně máme souřadnice v zadané bázi. + +### Lineární obal + +- všechny lineární kombinace zadaných vektorů +- $\langle\vec{u}; \vec{v}\rangle = \{ \lambda_{1} \cdot \vec{u} + \lambda_{2} \cdot \vec{v} \}$ \ No newline at end of file