diff --git a/KMA LAA/9. Prostory se skalárním součinem.md b/KMA LAA/9. Prostory se skalárním součinem.md index 1f3a474..614b6e2 100644 --- a/KMA LAA/9. Prostory se skalárním součinem.md +++ b/KMA LAA/9. Prostory se skalárním součinem.md @@ -110,11 +110,13 @@ V každém Eukleidovském prostoru konečné dimenze existuje ortogonální báz ### Ortogonální průmět Mějme Eukleidovský prostor $U$, jeho podprostor $V$ a v něm generátor (ne nutně bázi) $\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}, \dots, \vec{b}_{k}$. Máme určit ortogonální průmět $\overline{\vec{x}}$ prvku $\vec{x} \in U$ do $V$. -- Víme, že $\vec{x} - \overline{\vec{x}} \perp \vec{b}_{i}$ pro každé $i = 1, 2, \dots, k$. +- Víme, že $(\vec{x} - \overline{\vec{x}}) \perp \vec{b}_{i}$ pro každé $i = 1, 2, \dots, k$. - Dále: $\overline{\vec{x}} \in V$, tedy $\overline{\vec{x}} = a_{1}\vec{b}_{1} + a_{2}\vec{b}_{2} + \dots + a_{k}\vec{b}_{k}$ (je to LK generátorů). ![[_assets/ortogonalni-prumet.png]] +Ortogonální průmět $\overline{\vec{x}}$ je vzdálenost $\vec{x}$ od $\mathcal{U}$. + Pro každé $i = 1, 2, \dots, k$ platí: $$ diff --git a/KMA LAA/Pojmy.md b/KMA LAA/Pojmy.md index ad89d10..73cbcb0 100644 --- a/KMA LAA/Pojmy.md +++ b/KMA LAA/Pojmy.md @@ -1,3 +1,5 @@ +# Pojmy z LAA + **Zobrazení** - Předpis $f : X \to Y$, kdy prvkům z X přiřazujeme prvky z Y (např. reálná funkce). **Komplexní čísla** - Číslo $z = a+bi$, kde $a, b \in \mathbb{R};$ a $\text{Re}(z) = a, \text{Im}(z) = b;$ hodnota $i = \sqrt{-1}$. @@ -5,6 +7,7 @@ ### Polynomy **Polynom** - Polynomem proměnné $x$ je předpis (funkce) $p(x) = a_{n}x^n + \dots + a_{1}x + a_{0}$. +- $p(x) = \sum_{i=0}^{n} a_{i}x^i \quad \forall x \in \mathbb{C}, a_{n} \neq 0$ **Koeficienty polynomu $p(x)$** - Hodnoty $a_{i}$ v předpisu polynomu. @@ -96,7 +99,7 @@ Tvary **Konečně generovaný prostor** - Prostor, ve kterém existuje konežná množina generující $\mathcal{V}$. -**Báze prostoru $\mathcal{V}$** - Lineárně nezávislá množina, která generuje $\mathcal{V}$. +**Báze prostoru $\mathcal{V}$** - Lineárně nezávislá množina, která generuje prostor $\mathcal{V}$. **Dimenze $\mathcal{V}$** - Počet prvků báze LVP $\mathcal{V}$, značí se $\dim(\mathcal{V})$. @@ -134,19 +137,22 @@ Nechť $\mathcal{U}, \mathcal{V}$ jsou LVP a $\mathbb L : \mathcal{U} \to \mathc **Lineární zobrazení (homomorfizmus)** - Zobrazení $\mathbb L : \mathcal{U} \to \mathcal{V}$ kde $\mathcal{U}, \mathcal{V}$ jsou LVP, jestliže pro každé $\vec x, \vec y \in \mathcal{U}$ a pro každé $c \in \mathbb R$ platí: 1. $\mathbb{L}(\vec x + \vec y) = \mathbb{L}(\vec x) + \mathbb{L}(\vec y)$ -2. $\mathbb{L}(k \cdot \vec x) = k \cdot \mathbb{L}(\vec x)$ +2. $\mathbb{L}(c \cdot \vec x) = c \cdot \mathbb{L}(\vec x)$ **Identické zobrazení** - Zobrazení $\mathbb F$ definované vztahem $\mathbb F(x) = (x)$. -**Jádro lineárního zobrazení** - Množina všech prvků $\vec x \in \mathcal{U}$ takových, že $\mathbb L(\vec x) = \vec o$. Značíme ji $\text{Ker}(\mathbb L) = \{ \vec x \in \mathcal{U}; \mathbb L(\vec x) = \vec o \}$. +**Jádro lineárního zobrazení** - Množina všech prvků $\vec x \in \mathcal{U}$ takových, že $\mathbb L(\vec x) = \vec o_{v}$. Značíme ji $\text{Ker}(\mathbb L) = \{ \vec x \in \mathcal{U}; \mathbb L(\vec x) = \vec o_{v} \}$. -**Obraz lineárního zobrazení** - Množina všech prvků $\vec y \in \mathcal{V}$ takových, že existuje $\vec x \in \mathcal{U}$ tak, že $\mathbb L(\vec x) = \vec y$. Značí se $\text{Im}(\mathbb L) = \{ \vec y \in \mathcal{V}; \exists \vec x \in \mathcal{U} \text { tak, že } \mathbb L(\vec x) = \vec y \}$. +**Obraz lineárního zobrazení** - Množina všech prvků $\vec y \in \mathcal{V}$ takových, že existuje $\vec x \in \mathcal{U}$ tak, že $\mathbb L(\vec x) = \vec y$. Značí se $\text{Im}(\mathbb L) = \{ \vec y \in \mathcal{V}; \exists \vec x \in \mathcal{U}, \mathbb L(\vec x) = \vec y \}$. **Izomorfní zobrazení** - Lineární zobrazení $\mathbb L$, jestliže je prostě a zároveň na. **Izomorfní prostory** - Prostory $\mathcal{U}, \mathcal{V}$, pokud existuje izomorfní zobrazení z $\mathcal{U}$ do $\mathcal{V}$. -Matice přechodu ?? +**Matice lineárního zobrazení** - Nechť $\mathcal{U}, \mathcal{V}$ jsou LVP a $\mathbb{L} : \mathcal{U} \to \mathcal{V}$ lineární zobrazení. **Matice lineárního zobrazení** je matice M pro kterou platí: $\widehat{\mathbb{L}(\vec{u})} = M \cdot \vec u$. +- $M = \begin{bmatrix}\widehat{\mathbb{L}(\vec{u}_1)} & \widehat{\mathbb{L}(\vec{u}_2)} & \dots & \widehat{\mathbb{L}(\vec{u}_n)}\end{bmatrix}$ + +**Matice přechodu** - Nechť $\mathcal{U}, \mathcal{V}$ jsou LVP a $\mathbb{L} : \mathcal{U} \to \mathcal{V}$ lineární zobrazení. Matice přechodu $T$ od báze $D$ k bázi $C$ je matice, pro kterou platí: $T \cdot \vec{x}_{c} = \widehat{I \cdot \vec{x}_{d}}$. ### Soustavy lineárních rovnic @@ -167,6 +173,7 @@ Matice přechodu ?? **Charakteristická rovnice** - Rovnice $\det(A - \lambda I) = 0$, kde se charakteristický polynom rovná nule. **Spektrum matice** - Soubor všech vlastních čísel matice A, značíme ho $\text{Sp}(A)$. +- $\text{Sp}(A) = \{ 3^2; -1 \}$ **Podobnost matice** - Matice A a B jsou čtvercové, matice A je podobná matici B, jestliže existuje regulární matice T taková, že $A = T^{-1}BT$. Značíme $A \approx B$. @@ -195,17 +202,21 @@ kde $\mathcal{U}$ je LVP nad $\mathbb{R}$. **Eukleidovský prostor** - LVP se skalárním součinem. **Norma** - Zobrazení $\Vert \text.\Vert : \mathcal{U} \to \mathbb{R}$ v lineárním vektorovém prostoru $\mathcal{U}$, které má vlastnosti -1. $\Vert \vec{x} \Vert \geq 0 \, \forall \vec{x} \in U;\space \Vert \vec{x} \Vert = 0$, právě když $\vec{x} = \vec{o}$, +1. $\Vert \vec{x} \Vert \geq 0 \, \forall \vec{x} \in U;\space \Vert \vec{x} \Vert = 0$ právě když $\vec{x} = \vec{o}$, 2. $\Vert k\vec{x} \Vert = \vert k \vert \cdot \Vert \vec{x} \Vert \ \forall\vec{x} \in U$ a $\forall k \in \mathbb{R}$, 3. $\Vert \vec{x} + \vec{y} \Vert \leq \Vert \vec{x} \Vert + \Vert \vec{y} \Vert \ \forall \vec{x}, \vec{y} \in \mathbb{R}$. **Ortogonální prvky** - Dva prvky $\vec x, \vec y$ Eukleidovského prostoru, jestliže $(\vec x, \vec y) = 0$. Píšeme $\vec x \perp \vec y$. Množiny $X, Y \subset \mathcal{U}$ jsou ortogonální, jestoiže $\vec x \perp \vec y$ pro každé $\vec x \in X, \vec y \in Y$. +**Ortogonální průmět** - Nechť $\mathcal{V}$ je Eukleidovský prostor, $\mathcal{U}$ podprostor $\mathcal{V}$ a $\vec{v} \in \mathcal{V}, \vec{v} \notin \mathcal{U}$. **Ortogonální průmět** prvku $\vec{v}$ do podprostoru $\mathcal{U}$ je prvek $\vec{v}_{0}$, pokud platí: +- $\vec{v}_{0} \in \mathcal{U}$, +- $(\vec{v}-\vec{v}_{0}) \perp \mathcal{U}$. + **Ortogonální báze** - Báze Eukleidovského prostoru, jejíž každé dva prvky jsou ortogonální. Unitární prostor ?? -**Ortogonální doplňek** - Ortogonální doplněk $\mathcal{V}^{\perp}$ podprostoru $\mathcal{U}$ v $\mathcal{U}$ je množina všech vektorů z $\mathcal{U}$, které jsou kolmé na $\mathcal{V}$, tedy na každý prvek $\mathcal{V}$, kde $\mathcal{V}$ je podprostor Eukleidovského prostoru $\mathcal{U}$. Píšeme $V^{\perp} = \{\vec{u} \in \mathcal{U}; \vec{u} \perp \vec{v} \text{ pro každé } \vec{v} \in V\}$. +**Ortogonální doplňek** - Ortogonální doplněk $\mathcal{V}^{\perp}$ podprostoru $\mathcal{V}$ v $\mathcal{U}$ je množina všech vektorů z $\mathcal{U}$, které jsou kolmé na $\mathcal{V}$, tedy na každý prvek $\mathcal{V}$, kde $\mathcal{V}$ je podprostor Eukleidovského prostoru $\mathcal{U}$. Píšeme $V^{\perp} = \{\vec{u} \in \mathcal{U}; \vec{u} \perp \vec{v}; \forall \vec{v} \in V\}$. **Ortonormální báze** - Ortogonální báze $B = \{ \vec b_{1}, \vec b_{2}, \dots, \vec b_{k} \}$, kde $(\vec b_{i}, b_{i}) = 1$ pro každé $i = 1, 2, \dots, k$. @@ -215,7 +226,7 @@ Unitární prostor ?? **Inercie kvadratické formy** - Označme $k$ počet kladných vlastních čísel matice A, $z$ počet záporných a $d$ počet vlstních čísel matice A rovných nule, inercií kvadratické formy označíme trojici čísel $(k, z, d)$ a značíme $in(\kappa) = (k, z, d)$, kde $\kappa(\vec x) = \vec x^TA\vec x$ je kvadratická forma a A je reálná symetrická matice. -Řekněme, že kvadratická forma $\kappa(\vec x)$ na $\mathbb{R}^5$ je +**Definitnost kvadratické formy** - Řekněme, že kvadratická forma $\kappa(\vec x)$ na $\mathbb{R}^5$ je | typ | jestliže | | --------------------------------------- | -------------------------------------- | diff --git a/KMA LAA/Pojmy_Vojta.md b/KMA LAA/Pojmy_Vojta.md deleted file mode 100644 index 56344cd..0000000 --- a/KMA LAA/Pojmy_Vojta.md +++ /dev/null @@ -1,188 +0,0 @@ -# Pojmy z LAA -### inverzní matice, regulární a singulární matice -- **inverzní matice** - - X je inverzní k A, jestliže platí $A * X = X * A = I$ - -- **regulární matice** - - **čtvercová** matice - | vlastnost | výraz | - | ----------------------------------------- | ------------------------- | - | její **hodnost** se rovná jejímu **řádu** | $hod(A) = n$ | - | má **nenulový determinant** | $\det{A} \neq 0$ | - | **existuje** k ní **inverzní matice** | $\text{existuje } A^{-1}$ | - - Každou **regulární matici** lze řádkovými elementárními úpravami převést **na jednotkovou matici**. - -- **singulární matice** - | vlastnost | výraz | - | ------------------------------------------ | --------------------------- | - | její **hodnost** je **menší než její řád** | $hod(A) < n$ | - | má **nulový determinant** | $\det{A} = 0$ | - | **neexistuje** k ní **inverzní matice** | $\text{neexistuje } A^{-1}$ | - -### lineární, identické zobrazení, jádro, obraz, matice lineárního zobrazení a přechodu -- zobrazení (funkce) => množiny M do množiny N je předpis, kdy každému prvku z M je přiřazen právě jeden prvek z N -- **lineární zobrazení** (homomorfizmus) - - máme ***L. V. P.***: $U, V$ - - Zobrazení $\mathbb{L} : U \rightarrow V$ je **lineární zobrazení** pokud $\forall x, y \in U$ a $\forall c \in \mathbb{R}$ platí: - - 1. $\mathbb{L}(x+y) = \mathbb{L}(x) + \mathbb{L}(y)$ - - 2. $\mathbb{L}(c*x) = c * \mathbb{L}(x)$ - -- **identické zobrazení** - - zobrazení $\mathbb{F}$ pro které platí $\mathbb{F}(x) = (x)$ - -- **jádro** - - Máme ***L. V. P.***: $U, V$ a ***linerní zobrazení*** $\mathbb{L} : U \rightarrow V$ - - **jádro lineárního zobrazení** $\mathbb{L}$ je množina všech prvků $x \in U$ takových, že $\mathbb{L}(x) = 0_v$: - - Ker($\mathbb{L}) = \left \{ x \in U; \mathbb{L}(x) = 0_v\right \}$ - -- **obraz** - - Máme ***L. V. P.***: $U, V$ a ***linerní zobrazení*** $\mathbb{L} : U \rightarrow V$ - - **obraz lineárního zobrazení** $\mathbb{L}$ je množina všech prvků $y \in V$ takových, že $\exists \space x \in U$ tak, že $\mathbb{L}(x) = y$: - - $Im \space \mathbb{L} = \{y \in V; \space \exists x \in U, \space \mathbb{L}(x) = y \}$ - -- **matice lineárního zobrazení** - - Máme ***L. V. P.***: $U, V$ a ***linerní zobrazení*** $\mathbb{L} : U \rightarrow V$ - - **matice lineárního zobrazení** je matice M pro kterou platí: $\widehat{\mathbb{L}(u)} = M * \vec u$ - - M = [$\widehat{\mathbb{L}(u_1)} \space\space \widehat{\mathbb{L}(u_2)} \space\space ... \space\space \widehat{\mathbb{L}(u_n)}$] - -- **matice přechodu** - - Máme ***L. V. P.***: $U, V$ a ***linerní zobrazení*** $\mathbb{L} : U \rightarrow V$ - - **matice přechodu $T$** je matice pro kterou platí: $T* \vec x_c = \widehat {I * \vec x_d}$ - - matice přechodu $T$ od báze $D$ k bázi $C$ - -### determinant matice, hodnost matice, algebraický doplněk matice -- **determinant** - - **Determinantem** čtvercové matice $A = [a_{ij}]$ řádu $n$ nazveme číslo - - $$\det(A) = \sum_{\pi}^{} zn(\pi)a_{1\pi(1)}a_{2\pi(2)}\dots a_{n\pi(n)}$$ - - kde sčítáme přes všechny permutace na množině $\{1, 2, \dots, n\}$. - - součet všech permutací vzniklých z diagonálního řádku matice, kde sudá permutace je s kladným znaménkém a lichá se záporným - - v součinu prvků v definici determinantu je z každého řádku a z každého sloupce vybrán právě jeden prvek - -- **hodnost matice** - - počet nenulových řádků / sloupců matice - - **dimenze lineárního obalu souboru řádků / sloupců matice** - - Je to číslo, které představuje maximální počet lineárně nezávislých řádků / sloupců matice. - -- **algebraický doplněk matice** - - Subdeterminant (minor) vzniklý z matice vynecháním $i$-tého řádku a $j$-tého sloupce. - - $(-1)^{i+j} * \det A[\cancel{i/j}]$ - -### polynom proměnné x -- polynom je funkce ve tvaru součtu násobků mocninných funkcí -- $$\displaystyle p(x) = \sum^n_{i=0} a_{i}x^i \ \ \forall x \in C, a_{n} \neq 0$$ - -- $$p(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + . . . + a_{1}x + a_0 \ \ \ \forall x \in C, a_{n} \neq 0$$ - -### vlastní číslo, vektor, spektrum matice -- **vlastní číslo matice** - - máme čtvercovou matici - $A$, vlastní vektor matice $A$ - $\vec{u}$, vlastní číslo matice $A$ - $\lambda$ - - pro vlastní číslo musí platit: $A * \vec u = λ * \vec u$ - -- **spektrum matice** - - Nechť A je čtvercová matice - - soubor všech vlastních čísel matice A - - značí se $Sp(A)$ - - např.: $Sp(A) = \{3^2; -1\}$ - -- **vlastní vektor matice** - - Nechť A je čtvercová matice - - **nenulový** vektor $\vec u$ je vlastním vektorem matice $A$ příslušnému vlastnímu číslu $\lambda$, jestliže $A * \vec u = λ * \vec u$ - -### báze L.V.P., dimenze L.V.P., podprostor -- **báze L.V.P.** - - množina LN vektorů, které generují daný prostor -- **dimenze L.V.P.** - - počet prvků báze - - značí se: $dim(V)$ -- **podprostor** - - máme lineární vektorový prostor $V$ a jeho podprostor $U \subset V$, jestliže - - 1. pro každé $\vec{u}, \vec{v} \in U$ je $\vec{u} + \vec{v} \in U$ - - 2. pro každé $\vec{u} \in U$ a pro každé $a \in K$ je $a \cdot \vec{u} \in U$ - - vyplývá, že v podprostoru $U$ bude vždy i nulový vektor ($a = 0$) - - - každý podprostor vektorového prostoru je také vektorovým prostorem - -### ortogonální doplněk podprostoru -- máme $V\leftarrow$ podprostor Eukleidovského prostoru $W$ -- **ortogonální doplněk $V^{\perp}$ podprostoru** $V$ v $U$ je množina všech vektorů z $U$, které jsou kolmé na $V$ -- $V^{\perp} = \{ \vec u \in U; \forall \space \vec v \in V; \vec u \perp \vec v \}$ -- $dim(V) + dim(V^{\perp}) = dim(W)$ - -### lineárně závislé prvky, lin. kombinace prvků -- **lineárně závislé prvky** - - máme L. V. P.: $V$ - - máme prvky $\vec v_1, \vec v_2, ..., \vec v_n \in V$ a koeficienty $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n \in \mathbb{R}$ - - prvky jsou **lineárně závislé** (LZ) pokud LK $\neq 0$: $\lambda_1 * \vec v_1 + \lambda_2 * \vec v_2 + ... + \lambda_n * \vec v_n \neq 0$ -- **lineárně nezávislé prvky** - - máme L. V. P.: $V$ - - máme prvky $\vec v_1, \vec v_2, ..., \vec v_n \in V$ a koeficienty $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n \in \mathbb{R}$ - - prvky jsou **lineárně nezávislé** (LN) pokud LK $\neq 0$: $\lambda_1 * \vec v_1 + \lambda_2 * \vec v_2 + ... + \lambda_n * \vec v_n = 0$ -- **lineární kombinace prvků** - - máme L. V. P.: $V$ - - máme prvky $\vec v_1, \vec v_2, ..., \vec v_n \in V$ a koeficienty $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n \in \mathbb{R}$ - - **lineární kombinace prvků**: $\lambda_1 * \vec v_1 + \lambda_2 * \vec v_2 + ... + \lambda_n * \vec v_n$ - -### kvadratická forma, inercie, definitnost kvadratické formy, hlavní minor -- **kvadratická forma** - - Nechť **A** je reálná symetrická matice řádu n - - **kvadratická forma** určená maticí **A** je zobrazení $\kappa(\vec{x}) = \vec{x}^{T}A\vec{x}$ -- **inercie** - - Nechť $\kappa(\vec{x}) = \vec{x}^{T}A\vec{x}$ je kvadratická forma, **A** reálná symetrická matice - - **inercie** je Trojice čísel ($k$, $z$, $d$) - - $k$ - počet kladných vlastních čísel matice **A**; - - $z$ - počet záporných vlastních čísel matice **A**; - - $d$ - počet nulových vlastních čísel matice **A**. -- **definitnost kvadratické formy** - - vyjadřuje, jakých hodnot nabývá forma pro všechny nenulové vektory - - pozitivně definitní: $in(\kappa) = (k, 0, 0)$ - - negativně definitní: $in(\kappa) = (0, z, 0)$ - - pozitivně semidefinitní: $in(\kappa) = (k, 0, d)$ - - negativně semidefinitní: $in(\kappa) = (0, z, d)$ - - indefinitní: $in(\kappa) = (k, z, d)$ - -- **hlavní minor** - - Nechť $A = [a_{ij}]$ je reálná symetrická matice řádu $n$ a $A_k$ je její podmatice obsahující prvky $a_{11}, a_{12}, \dots, a_{kk}$. Potom číslo $\det(A_k)$ nazveme **hlavním minorem matice** $A$ **řádu** $k$ a značí se $\Delta _{k}$. - -### kořen polynomu, stupeň polynomu -- Nechť $p(x)$ je polynom proměnné $x$ -- **kořenem polynomu** $p(x)$: $c \in C$ takové, že $p(c) = 0$ -- **stupeň polynomu**: nejvyšší mocnina proměnné x u níž je nenulový koeficient - -### diagonální, symetrická, trojúhelníková, . . . matice -- **diagonální matice** - - čtvercová matice s nenulovými čísly pouze na hlavní diagonále - - pro $i \neq j : A_{ij} = 0$ - $$diag\{1, -3, 0\} = A = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$ - -- **symetrická matice** - - čtvercová matice, kde se $a_{ij}$ rovná $a_{ji}$ - - $\forall i, j : a_{ij} = a_{ji}$ - $$A_{1} = \begin{bmatrix} 1 & \underline{2} & \underline{1} \\ \underline{2} & 1 & \underline{0} \\ \underline{1} & \underline{0} & 3 \end{bmatrix}$$ - -- **Antisymetrická matice** - - čtvercová matice, kde se $a_{ij}$ rovná $-a_{ji}$ - - na hlavní diagonále musí mít nuly, protože $0 = -0$ - - $\forall i, j : a_{ij} = -a_{ji}$ - $$A_{2} = \begin{bmatrix} 0 & \underline{2} & \underline{-1} \\ \underline{-2} & 0 & \underline{3} \\ \underline{1} & \underline{-3} & 0 \end{bmatrix}$$ - - **Poznámka**: V antisymetrické matici jsou všechny prvky $a_{ii} = 0$ - -- **trojúhelníková matice** - - Pro **horní trojúhelníkovou** platí pro všechna $i > j$, že $a_{ij} = 0$ - - Pro **dolní trojúhelníkovou** platí pro všechna $i < j$, že $a_{ij} = 0$ - $$H = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} \quad D = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}$$ - -### Ortogonální průmět a jeho vlastnosti -- Nechť V je euklidovský prostor -- Nechť $U$ je podprostor prostoru $V$ -- nechť $v \in V$, $v \notin U$ -- **ortogonální průmět** prvku $v$ do podprostoru $U$ je prvek $v_0$ pokud platí: - - $v_0 \in U$ - - $(v - v_0) \perp U$ -- ortogonální průmět $v_0$ tedy realizuje vzdálenost $v$ od $U$ (vzdálenost je zde definována ) - -### Norma -- máme $L. V. P.: V$ -- norma je zobrazení $||x||: V \rightarrow R$ - - 1. $$||x+y|| \leq ||x|| + ||y|| \ \forall {x,y} \in V $$ - - 2. $$ ||\lambda * x|| = ||\lambda|| * ||x|| \ \forall {x} \in V \ \forall \lambda \in \mathbb R$$ - - 3. $||x|| \geq 0 \ \forall x \in \mathbb R, \ ||x|| = 0 <=> x = 0$ \ No newline at end of file