From dbe2149704fbfad400a2856b00fdde4106c97266 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Filip Znachor Date: Sun, 18 Jun 2023 17:42:09 +0200 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?P=C5=99id=C3=A1n=C3=AD=201.,=203.=20a=206.=20ot?= =?UTF-8?q?=C3=A1zky=20ke=20zkou=C5=A1ce=20z=20DMA?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- .../01. Relace, zobrazení a funkce.md | 70 +++++++++++++++++++ ...ence a rozklad množiny, Stirlingova čísla.md | 18 +++++ .../Otázky ke zkoušce/06. Grupy a tělesa.md | 18 +++++ 3 files changed, 106 insertions(+) create mode 100644 KMA DMA/Otázky ke zkoušce/01. Relace, zobrazení a funkce.md create mode 100644 KMA DMA/Otázky ke zkoušce/03. Ekvivalence a rozklad množiny, Stirlingova čísla.md create mode 100644 KMA DMA/Otázky ke zkoušce/06. Grupy a tělesa.md diff --git a/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/01. Relace, zobrazení a funkce.md b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/01. Relace, zobrazení a funkce.md new file mode 100644 index 0000000..ab64a47 --- /dev/null +++ b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/01. Relace, zobrazení a funkce.md @@ -0,0 +1,70 @@ +# Relace + +Mějme dvě množiny $X, Y$ a představme si, že každý prvek $x \in X$ může (a nemusí) být ve vztahu $R$ s libovolným počtem prvků $y \in Y$. Na tento vztah nejsou kladeny žádné další podmínky. +- tento vztah lze popsat jako výčet všech dvojic $(x, y)$ prvků, které spolu jsou ve vztahu $R$ + +Jelikož je kartézský součin definován jako **množina** všech **uspořádaných dvojic** s prvním prvek z množiny $X$ a druhým z množiny $Y$, definujeme relaci takto: + +### Definice + +Relace z množiny $X$ do množiny $Y$ je libovolná podmnožina $R$ kartézského součinu $X \times Y$. + +Jedná se o relaci **binární**, jelikož určuje vztah mezi dvěma prvky. +- definici můžeme zobecnit na **n-ární relace** (vztahy mezi n-ticemi prvků) + +### Obory + +- **levý**: $L(R) = \{ x \in X: \text{existuje nějaké } y \in Y \text{ tak, že } x \, R \, y \}$ + - všechny prvky $X$, které jsou v relaci s nějakým prvkem $Y$ +- **pravý**: $P(R) = \{ y \in Y: \text{existuje nějaké } x \in X \text{ tak, že } x \, R \, y \}$ + - všechny prvky $Y$, které jsou v relaci s nějakým prvkem $X$ + +### Znázornění relací + +- pomocí grafu + - množina $X$ vlevo, množina $Y$ vpravo + - dva body jsou spojeny čarou, pokud jsou prvky v relaci R +- pomocí kartézského součinu + - matice $X \times Y$, kde na horizontální ose jsou prvky $X$ a na vertikální ose $Y$ + - body jsou vybarveny pouze na místech matice, kde jsou prvky v relaci R + +### Vlastnosti relací + +Relace $R$ na množině $X$ je +- **reflexivní**, pokud pro každé $x \in X$ platí $x \, R \, x$, +- **symetrická**, pokud pro každé $x, y \in X$ platí + - $x \, R \, y \implies y \, R \, x$, +- **slabě antisymetrická**, pokud pro každé $x, y \in X$ platí + - $x \, R \, y$ a $y \, R \, x \implies x = y$, +- **tranzitivní**, pokud pro každé $x, y, z \in X$ platí + - $x \, R \, y$ a $y \, R \, z \implies x \, R \, z$, +- **ekvivalentní**, pokud je reflexivní, symetrická a tranzitivní, +- **tolerantní**, pokud je reflexivní a symetrická. + +### Skládání relací + +**Definice** +- Nechť $R$ je relace z množiny $X$ do množiny $Y$ a $S$ je relace z množiny $Y$ do množiny $Z$. Pak **složení relací** $R$ a $S$ je relace $R \circ S \subset X \times Z$ z množiny $X$ do množiny $Z$, definováno takto +- $(x, z) \in R \circ S$, právě když existuje $y \in Y$ tak, že $x \, R \, y$ a $y \, S \, z$, +- kde $x \in X$ a $z \in Z$. + +Skládání relací je možné pouze, pokud relace $R$ končí ve množině, kde $S$ začíná. + +Věta o asociativitě skládání relací +- Nechť $R \subset X \times Y, S \subset Y \times Z$ a $T \subset Z \times W$ jsou relace. Potom $R \circ (S \circ T) = (R \circ S) \circ T$. + +### Inverzní relace + +**Definice** +- Relace **inverzní** k relaci $R \subset X \times Y$ je relace $R^{-1} \subset Y \times X$, definovaná vztahem +- $y \, R^{-1} \, x$ právě když $x \, R \, y$ pro $x \in X, y \in Y$. + +# Zobrazení, funkce + +**Zobrazení** (nebo také **funkce**) množiny $X$ do množiny $Y$ je **relace** $f \subset X \times Y$, pro kterou platí, že pro každý prvek $x \in X$ existuje právě jeden prvek $y \in X$ tak, že $(x, y) \in f$. Skutečnost, že $f$ je zobrazením $X$ do $Y$, zapisujeme jako $f: X \to Y$. + +**Druhy zobrazení** +- Zobrazení $f: X \to Y$ je + - **prosté**, pokud každé $y \in Y$ má nejvýše jeden vzor při zobrazení $f$, + - **na**, pokud každé $y \in Y$ má alespoň jeden vzor při zobrazení $f$, + - **vzájemně jednoznačné** (nebo **bijekce**), pokud je prosté a na. \ No newline at end of file diff --git a/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/03. Ekvivalence a rozklad množiny, Stirlingova čísla.md b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/03. Ekvivalence a rozklad množiny, Stirlingova čísla.md new file mode 100644 index 0000000..d4d85b4 --- /dev/null +++ b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/03. Ekvivalence a rozklad množiny, Stirlingova čísla.md @@ -0,0 +1,18 @@ +# Ekvivalence a rozklad množiny + +**Ekvivalence** +- Ekvivalence na množině $X$ je relace $R$ na množině $X$, která je reflexivní, symetrická a tranzitivní. + +**Třídy rozkladu** +- Nechť $X$ a $I$ jsou množiny. (Neuspořádaný) soubor podmnožin $X_{i}: i \in I$ množiny $X$ je **rozklad množiny** $X$, pokud množiny $X_{i}$ jsou neprázdné, navzájem disjunktní a jejich sjednocením je celá množina $X$. Množiny $X_{i}$ nazýváme **třídy rozkladu** $X_{i}: i \in I$. ++ Soubor $S = \{\{1, 3\}, \{6\}, \{2, 4, 5\}\}$, je například rozkladem množiny $X = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, zatímco soubory $\{\{1, 2, 3\}, \{1, 4, 5\}, \{1, 5, 6\}\}$ a $\{\{1, 2\}, \{3, 4, 5\}\}$ nikoli. V rozkladu nezáleží na pořadí tříd. + +# Stirlingova čísla + +**Počet rozkladů n-prvkové množiny** +- počet prvků rozkladu $k$ +- počet všech takových rozkladů? + - $S(n, k) \qquad |x| = n$ + - $k = n \qquad S(n,n) = 1, S(n,1) = 1$ + - $S(n,k) = S(n-1,k-1) + k\cdot S(n-1,k), z \in X$ + - Stirlingova čísla (2. druhu) diff --git a/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/06. Grupy a tělesa.md b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/06. Grupy a tělesa.md new file mode 100644 index 0000000..a0e0902 --- /dev/null +++ b/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/06. Grupy a tělesa.md @@ -0,0 +1,18 @@ +# Grupa + +**Grupa** $G$ je **množina** $M$ spolu s **asociativní binární operací** $*$, ve které existuje +1) neutrální prvek + - $\exists \, e \in G : \forall \, x \in G : x \circ e = x = e \circ x$ +2) prvek $x^{-1}$ inverzní ke každému prvku + - $\forall \, x \in G : \exists \, x^{-1} \in G : x \circ x^{-1} = e$ + +Pokud je **operace** $*$ navíc **komutativní**, jedná se o **komutativní** nebo **abelovskou grupu**. + +Grupa se značí jako $G(M, *)$. + +# Těleso + +Množina $M$ spolu s operací $\oplus$ tvoří komutativní grupu s neutrálním prvkem $0$, a nechť na množině $M - \{0\}$ je určena další binární operace $\otimes$. Potom $(M, \oplus, \otimes)$ je těleso, pokud $(M - \{0\}, \otimes)$ je rovněž komutativní grupa a navíc platí distributivní zákon: +- $x \otimes (y \oplus z) = (x \otimes y) \oplus (x \otimes z)$ pro každé $x, y, z \in M$. + +Mezi tělesa patří **množiny** všech racionálních, reálných a komplexních čísel, vždy se standardními operacemi **sčítání** a **násobení**. \ No newline at end of file