Úprava 6. a přidání 7. přednášky z DMA

This commit is contained in:
Filip Znachor 2023-03-30 16:19:19 +02:00
parent b4f7ee9dd8
commit ec1c84fb5d
2 changed files with 109 additions and 4 deletions

View File

@ -115,9 +115,9 @@ Minimalizace B. fcí
Quineho-McCluskeyho metoda
- Př.:
- ÚDNF: $\quad \overline x \overline y \overline z + \overline x \overline y z + x \overline y z + x y \overline z$
1. dvojice: $\quad \overline x \overline y (\overline z + z) = \overline x \overline y$
2. druhá dvojice: $\quad (\overline x + x) \overline y \overline z = \overline y \overline z$
- ÚDNF: $\quad \overline x \overline y \overline z + \overline x \overline y z + x \overline y \overline z + x \overline y z + x y \overline z$
- první dvojice: $\quad \overline x \overline y (\overline z + z) = \overline x \overline y$
- druhá dvojice: $\quad (\overline x + x) \overline y \overline z = \overline y \overline z$
| x | y | z | f(x, y, z) |
| --- | --- | --- | ---------- |
@ -130,4 +130,7 @@ Quineho-McCluskeyho metoda
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 |
- $f(x, y, z) = x \overline z + \overline y$
- ? vynechání některých součinů tak, že výsledek je stále roven funkci f
- f, p součin literálů je implikantem fce f, pokud $p \leq f$
- implikant je prostý, pokud součin vzniklý odstraněním libovolného literálu z p přestane být implikantem f

102
KMA DMA/Prednaska07.md Normal file
View File

@ -0,0 +1,102 @@
Tabulka pokrytí
| | x | y | z | 0 | 1 | 4 | 5 | 6 | |
| ---------- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --------------- |
| 0, 1, 4, 5 | - | 0 | - | 0 | 0 | 0 | 0 | | $\overline y$ |
| 4, 6 | 1 | - | 0 | | | 0 | | 0 | $x \overline z$ |
- minimální disj. forma: $f(x, y, z) = \overline y + x \overline z$
- každý prvek množiny $\{ 0, 1, 4, 5, 6 \}$ musí být obsažen v alespoň jedné množině vybraných podmnožin
- $\to$ minimalizace počtu překrývajících podmnožin
| x | y | $x \mid y$ | $x \downarrow y$ | $(x \mid y) \mid (x \mid y)$ | $(x \downarrow y) \downarrow (x \downarrow y)$ |
| --- | --- | ---------- | ---------------- | ---------------------------- | ---------------------------------------------- |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
- Schefferova NAND
- $(x \mid y) \mid (x \mid y) = x \wedge y \quad$ "x a zároveň y"
- Peirceova NOR
- $(x \downarrow y) \downarrow (x \downarrow y) = x \vee y \quad$ "x nebo y"
- SAT úloha (SAT problem) - otázka: je B. f. splnitelná pro alespoň 1 vstup
- ? jak rychle to jde
- $P \neq NP$
Teorie grafů
- Neorientované grafy
- X množina (konečná), $x \choose 2$ - množina všech dvouprvkových podmnožin množiny X, ta má $\mid x\mid\choose 2$
- neorientovaný graf $G = (V, E)$ - V vertex, E edge
- V konečná množina [množina vrcholů]
- $E \leq {V\choose 2}$ [množina hran]
- odpovídá relaci na V, která je antireflexivní a symetrická
- speciální grafy
- cesta $1 - 2 - 3 - 4 - \dots - n$ na $n$ vrcholech $Pn$ délky $n-1$
- bipartitní graf $K_{m, n}$
- $V = A \cup B, A \cap B = \emptyset$
- $E \subseteq \{ \{a,b\} \mid a \in A, b \in B \}$
- $K_{2,3}$
- úplný graf $K_{n}$
- $V = \{ 1, \dots, n \}$
- $E = {V\choose 2}$
- diskrétní graf
- $E = \emptyset$
- Rovnost grafů $G_{1} = G_{2}$
- $G_{1} = (V_{1}, E_{1}), G_{2} = (V_{2}, E_{2})$, pokud $V_{1} = V_{2}, E_{1} = E_{2}$
- Homomorfismus
- $G_{1} = (V_{1}, E_{1})$
- $G_{2} = (V_{2}, E_{2})$
- $f: V_{1} \to V_{2}$ je homomorfismus, pokud platí
- $xy \in E_{1} \implies f(x)f(y) \in E_{2}$
- zobrazení indukované zobrazením $f$: $f^*$
- $f^* : {V_{1}\choose 2} \to {V_{2}\choose 2}$
- $f^*(uv) = f(u)f(v)$
- Morfismy grafů
- $f$ se nazývá
- vzcholový monomorfismus, j-li $f$ prosté (injektivní)
- vrcholový epimorfismus, je-li $f$ na (surjektivní)
- hranový monomorfismus, je-li $f^*$ prosté
- hranový epimorfismus, je-li $f^*$ na
- monomorfismus, jsou-li $f, f^*$ prosté
- epimorfismus, je-li $f, f^*$ na
- izomorfizmus, je-li $f, f^*$ prosté i na
- $G_{1}, G_{2}$ jsou izomorfní $G_{1} \approxeq G_{2}$, pokud existuje izomorfizmus
- $f: V(G_{1}) \to V(G_{2})$
- přenáší hrany na hrany a nehrany na nehrany
- ? jak rychle rozhodnout, zda 2 grafy jsou izomorfní ?
- automorfisms grafu $G:$ izomorfismus $G \to G$
- všechny izomorfismy $G \to G$ triviální: identické zobrazení
- složení izomorfismů (automorfismů) je opět izomorfismus (automorfismus)
- $\forall$ izomorfismus (automorfismus) $\exists$ izomorfismus (automorfismus) inverzní
- $\exists$ identický automorfismus
- množina automorfismů s operací skládání tvoří grupu
- Aut(G)
- stupeň vrcholu v
- okolí vrcholu v
- otevřené okolí: $N(v) = \{ u \in V \mid uv \in E \}$
- uzavřené okolí: $N[v] = N(v) \cup \{ v \}$
- $\deg_{G}(v) = \text{d}_{G}(v) = \vert N(v) \vert$
- minimální stupeň grafu
- $\delta(G) = \min\{ \deg_{G}(v) \mid v \in V \}$
- maximální stupeň grafu
- $\Delta(G) = \max\{ \deg_{G}(v) \mid v \in V \}$
- časté značení $\vert V(G) \vert = n$, $\vert E(G)\vert = m$
- $\deg_{G}(v) \leq n-1 = \vert V(G) \vert - 1$
- $\Delta(G) \leq \vert V(G) \vert - 1$
- Věta: $\sum_{v \in V} \deg_{G}(V) = 2m = 2 \cdot \vert E(G) \vert$
- důsledek: počet vrcholů lichého stupně je v grafu vždy sudý
- handshaking lemma
- skóre grafu
- posloupnost stupňů všech vrcholů seřazená nerostoucím způsobem
- graf $\to$ skóre (soubor stupňů)
- ? posloupnost čísel $\to$ skóre
- pro danou posloupnost rozhodnout, zda je skóre nějakého grafu
- např. 6, 6, 6 - graf neexistuje
- Věta (Havel, Hakimi)
- $d = (d_{1}, d_{2}, \dots, d_{n}) \quad d_{1} \geq d_{2} \geq \dots \geq d_{n}, n \geq 2$
- je grafová, právě tehdy když
- $d' = (d_{2}-1, \dots, d_{d_{1}+1}-1, d_{d_{1}+2}, \dots, d_{n})$ je grafová
- Př.: $4, 4, 3, 2, 1, 1 \to 3, 2, 1, 0, 1 \to 3, 2, 1, 1, 0 \to 1, 0, 0, 0$
- není grafová