From ec1c84fb5d27d7b51b3ef1b71cd37264557592e5 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Filip Znachor Date: Thu, 30 Mar 2023 16:19:19 +0200 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?=C3=9Aprava=206.=20a=20p=C5=99id=C3=A1n=C3=AD?= =?UTF-8?q?=207.=20p=C5=99edn=C3=A1=C5=A1ky=20z=20DMA?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- KMA DMA/Prednaska06.md | 11 +++-- KMA DMA/Prednaska07.md | 102 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 2 files changed, 109 insertions(+), 4 deletions(-) create mode 100644 KMA DMA/Prednaska07.md diff --git a/KMA DMA/Prednaska06.md b/KMA DMA/Prednaska06.md index ac6e107..7d8e9a5 100644 --- a/KMA DMA/Prednaska06.md +++ b/KMA DMA/Prednaska06.md @@ -115,9 +115,9 @@ Minimalizace B. fcí Quineho-McCluskeyho metoda - Př.: - - ÚDNF: $\quad \overline x \overline y \overline z + \overline x \overline y z + x \overline y z + x y \overline z$ - 1. dvojice: $\quad \overline x \overline y (\overline z + z) = \overline x \overline y$ - 2. druhá dvojice: $\quad (\overline x + x) \overline y \overline z = \overline y \overline z$ + - ÚDNF: $\quad \overline x \overline y \overline z + \overline x \overline y z + x \overline y \overline z + x \overline y z + x y \overline z$ + - první dvojice: $\quad \overline x \overline y (\overline z + z) = \overline x \overline y$ + - druhá dvojice: $\quad (\overline x + x) \overline y \overline z = \overline y \overline z$ | x | y | z | f(x, y, z) | | --- | --- | --- | ---------- | @@ -130,4 +130,7 @@ Quineho-McCluskeyho metoda | 1 | 1 | 0 | 1 | | 1 | 1 | 1 | 0 | - +- $f(x, y, z) = x \overline z + \overline y$ +- ? vynechání některých součinů tak, že výsledek je stále roven funkci f +- f, p součin literálů je implikantem fce f, pokud $p \leq f$ +- implikant je prostý, pokud součin vzniklý odstraněním libovolného literálu z p přestane být implikantem f \ No newline at end of file diff --git a/KMA DMA/Prednaska07.md b/KMA DMA/Prednaska07.md new file mode 100644 index 0000000..49313b0 --- /dev/null +++ b/KMA DMA/Prednaska07.md @@ -0,0 +1,102 @@ +Tabulka pokrytí + +| | x | y | z | 0 | 1 | 4 | 5 | 6 | | +| ---------- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --------------- | +| 0, 1, 4, 5 | - | 0 | - | 0 | 0 | 0 | 0 | | $\overline y$ | +| 4, 6 | 1 | - | 0 | | | 0 | | 0 | $x \overline z$ | + +- minimální disj. forma: $f(x, y, z) = \overline y + x \overline z$ +- každý prvek množiny $\{ 0, 1, 4, 5, 6 \}$ musí být obsažen v alespoň jedné množině vybraných podmnožin +- $\to$ minimalizace počtu překrývajících podmnožin + +| x | y | $x \mid y$ | $x \downarrow y$ | $(x \mid y) \mid (x \mid y)$ | $(x \downarrow y) \downarrow (x \downarrow y)$ | +| --- | --- | ---------- | ---------------- | ---------------------------- | ---------------------------------------------- | +| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | +| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | +| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | +| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | + +- Schefferova NAND + - $(x \mid y) \mid (x \mid y) = x \wedge y \quad$ "x a zároveň y" +- Peirceova NOR + - $(x \downarrow y) \downarrow (x \downarrow y) = x \vee y \quad$ "x nebo y" +- SAT úloha (SAT problem) - otázka: je B. f. splnitelná pro alespoň 1 vstup + - ? jak rychle to jde + - $P \neq NP$ + +Teorie grafů +- Neorientované grafy + - X množina (konečná), $x \choose 2$ - množina všech dvouprvkových podmnožin množiny X, ta má $\mid x\mid\choose 2$ + - neorientovaný graf $G = (V, E)$ - V vertex, E edge + - V konečná množina [množina vrcholů] + - $E \leq {V\choose 2}$ [množina hran] + - odpovídá relaci na V, která je antireflexivní a symetrická + - speciální grafy + - cesta $1 - 2 - 3 - 4 - \dots - n$ na $n$ vrcholech $Pn$ délky $n-1$ + - bipartitní graf $K_{m, n}$ + - $V = A \cup B, A \cap B = \emptyset$ + - $E \subseteq \{ \{a,b\} \mid a \in A, b \in B \}$ + - $K_{2,3}$ + - úplný graf $K_{n}$ + - $V = \{ 1, \dots, n \}$ + - $E = {V\choose 2}$ + - diskrétní graf + - $E = \emptyset$ +- Rovnost grafů $G_{1} = G_{2}$ + - $G_{1} = (V_{1}, E_{1}), G_{2} = (V_{2}, E_{2})$, pokud $V_{1} = V_{2}, E_{1} = E_{2}$ +- Homomorfismus + - $G_{1} = (V_{1}, E_{1})$ + - $G_{2} = (V_{2}, E_{2})$ + - $f: V_{1} \to V_{2}$ je homomorfismus, pokud platí + - $xy \in E_{1} \implies f(x)f(y) \in E_{2}$ + - zobrazení indukované zobrazením $f$: $f^*$ + - $f^* : {V_{1}\choose 2} \to {V_{2}\choose 2}$ + - $f^*(uv) = f(u)f(v)$ +- Morfismy grafů + - $f$ se nazývá + - vzcholový monomorfismus, j-li $f$ prosté (injektivní) + - vrcholový epimorfismus, je-li $f$ na (surjektivní) + - hranový monomorfismus, je-li $f^*$ prosté + - hranový epimorfismus, je-li $f^*$ na + - monomorfismus, jsou-li $f, f^*$ prosté + - epimorfismus, je-li $f, f^*$ na + - izomorfizmus, je-li $f, f^*$ prosté i na + - $G_{1}, G_{2}$ jsou izomorfní $G_{1} \approxeq G_{2}$, pokud existuje izomorfizmus + - $f: V(G_{1}) \to V(G_{2})$ + - přenáší hrany na hrany a nehrany na nehrany + - ? jak rychle rozhodnout, zda 2 grafy jsou izomorfní ? + - automorfisms grafu $G:$ izomorfismus $G \to G$ + - všechny izomorfismy $G \to G$ triviální: identické zobrazení + - složení izomorfismů (automorfismů) je opět izomorfismus (automorfismus) + - $\forall$ izomorfismus (automorfismus) $\exists$ izomorfismus (automorfismus) inverzní + - $\exists$ identický automorfismus + - množina automorfismů s operací skládání tvoří grupu + - Aut(G) +- stupeň vrcholu v + - okolí vrcholu v + - otevřené okolí: $N(v) = \{ u \in V \mid uv \in E \}$ + - uzavřené okolí: $N[v] = N(v) \cup \{ v \}$ + - $\deg_{G}(v) = \text{d}_{G}(v) = \vert N(v) \vert$ + - minimální stupeň grafu + - $\delta(G) = \min\{ \deg_{G}(v) \mid v \in V \}$ + - maximální stupeň grafu + - $\Delta(G) = \max\{ \deg_{G}(v) \mid v \in V \}$ + - časté značení $\vert V(G) \vert = n$, $\vert E(G)\vert = m$ + - $\deg_{G}(v) \leq n-1 = \vert V(G) \vert - 1$ + - $\Delta(G) \leq \vert V(G) \vert - 1$ + - Věta: $\sum_{v \in V} \deg_{G}(V) = 2m = 2 \cdot \vert E(G) \vert$ + - důsledek: počet vrcholů lichého stupně je v grafu vždy sudý + - handshaking lemma +- skóre grafu + - posloupnost stupňů všech vrcholů seřazená nerostoucím způsobem + - graf $\to$ skóre (soubor stupňů) + - ? posloupnost čísel $\to$ skóre + - pro danou posloupnost rozhodnout, zda je skóre nějakého grafu + - např. 6, 6, 6 - graf neexistuje + - Věta (Havel, Hakimi) + - $d = (d_{1}, d_{2}, \dots, d_{n}) \quad d_{1} \geq d_{2} \geq \dots \geq d_{n}, n \geq 2$ + - je grafová, právě tehdy když + - $d' = (d_{2}-1, \dots, d_{d_{1}+1}-1, d_{d_{1}+2}, \dots, d_{n})$ je grafová + - Př.: $4, 4, 3, 2, 1, 1 \to 3, 2, 1, 0, 1 \to 3, 2, 1, 1, 0 \to 1, 0, 0, 0$ + - není grafová +