diff --git a/KMA DMA/Prednaska04.md b/KMA DMA/Prednaska04.md index 09cc1e0..770f633 100644 --- a/KMA DMA/Prednaska04.md +++ b/KMA DMA/Prednaska04.md @@ -97,7 +97,4 @@ Komplement prvku: $(X, \wedge, \vee)$ konečný, 1 nejv. prvek, 0 nejm. prvek - $a \in X \quad$ komplement $\overline a \in X$ - $a \wedge \overline a = 0$ - $a \vee \overline a = 1$ -- svaz takový, že $\forall a \in X \quad \exists$ komplementární svaz - -Booleova algebra -- distributivní a komplementární svaz s 0, 1 \ No newline at end of file +- svaz takový, že $\forall a \in X \quad \exists$ komplementární svaz \ No newline at end of file diff --git a/KMA DMA/Prednaska05.md b/KMA DMA/Prednaska05.md new file mode 100644 index 0000000..46b7d26 --- /dev/null +++ b/KMA DMA/Prednaska05.md @@ -0,0 +1,128 @@ +Booleova algebra +- distributivní a komplementární svaz +- má 0 (nejmenší prvek) a 1 (největší prvek) +- ? struktura konečných B. algeber + - atom B. algebry $B = (X, \wedge, \vee, \overline{}, 0, 1)$ + - prvek $a \in X$ se nazývá atom B. algebry B, pokud + - $\forall \, x \in X: x \wedge a = 0$ nebo $x \wedge a = a$ + - Pozorování: X konečné : atom je takový prvek, jehož bezprostřední předchůdce je 0 + - jinak řečeno: výška atomu je 2 + - Tvrzení: $B = (X, \wedge, \vee, \overline{}, 0, 1)$ je konečná B. algebra, $x \in X$, $x \neq 0$, pak + - $x = a_{1} \vee a_{2} \vee \dots \vee a_{k}$ + - $a_{i}$ jsou atomy B. algebry t. ž. $a_{i} \leq x$ + - a zároveň v $\{ a_{1}, \dots, a_{k} \}$ jsou obsaženy všechny atomy $\leq x$ + - Dk.: $a_{i}, i = 1, \dots, k$ atomy $\leq x$ nechť $\exists$ atom a $a \leq x$, který ve spojení chybí $a = a \wedge x = a \wedge (a_{1} \vee a_{2} \vee \dots \vee a_{k}) = (a \wedge a_{1}) \vee (a \wedge a_{2}) \vee \dots \vee (a \wedge a_{k})$ + - $a_{i} \vee a_{2} \vee \dots \vee a_{k} \leq x$ + - pokud $a \wedge a_{1} = 0 = a \wedge a_{2} = \dots = a \wedge a_{k}$, pak $a = 0$ + - $\implies \exists \, i : a \wedge a_{i} \neq 0$ + - $a \wedge a_{1} = a = a_{1}$ spor + +Věta (Minsky) +- $P = (X, P), height(P) = h$ + - pak $\exists$ rozklad $X = A_{1} \cup \dots \cup A_{h}$, kde $A_{i}$ je antiřetězec + - $i = 1, \dots, h$ + - navíc: neexistuje rozklad na méně než h antiřetězců +- Dk.: + - $x \in X$, výška prvku x: $height(x)$ = největší t t. ž. existuje řetězec $x_{1} < \dots < x_{t-1} < x_{t} = x$ + - $A_{i} = \{ x \in X \mid height(x) = i \}$, jsou to antiřetězce: $x, y \in A_{i}$ + - $x_{1} < \dots < x_{i} = x < y = x_{i+1} \implies$ výška y alespoň $i+1$ + - spor s $y \in A_{i}$ + - sporem nechť $x \neq y$, předpokládám $x < y$ + - lépe to nejde: + - $height(P) = h \implies \exists$ řetězec na h prvkách + - $C = \{ x_{1}, \dots, x_{h} \}$ + - nechť $\exists$ rozklad na méně než h antiřetězců + - $t < h$ + - Dirichletův přihrádkový princim h prvků do $t < h$ přihrádek + +Tvrzení +- v lib. distributivním s vazu $(X, \leq)$ platí duální distributivní zákon + - $x \vee (y \wedge z) = (x \vee y) \wedge (x \vee z) \quad \forall \, x, y, z \in X$ + - původní d. z. $a \wedge (b \vee c) = (a \wedge b) \vee (a \wedge c) \quad \forall \, a, b, c \in Y, (Y, \leq)$ svaz +- Dk.: + - předpokládejme že platí + - $a \wedge (b \vee c) = (a \wedge c) \vee (a \wedge c)$ + - $a = x \vee y, b = x, c = z$ + - $(x \vee y) \wedge (x \vee z) = ((x \vee y) \wedge x) \vee ((x \vee y) \wedge z)$ + - $= [(x \wedge x) \vee (x \wedge y)] \vee [(x \wedge z) \vee (y \wedge z)]$ + - $= [x \vee (x \wedge y)] \vee [(x \wedge z) \vee (y \wedge z)]$ + - $= x \vee (x \wedge z) \vee (y \wedge z)$ + - $= x \vee (y \wedge z)$ + +Motivace komplement +- doplněk množin +- $A^{\subset} = X \setminus A$ +- $A \cap A^{\subset} = \emptyset$ +- $A \cup A^{\subset} = X$ +- $\overline a = b, c$ +- $a \wedge c = 0$ +- $a \vee c = 1$ + +Věta +- je-li svaz distributivní komplementní, pak každý prvek má právě 1 komplement +- Důsledek: distrib. svaz, pak každý prvek má nejvýše 1 komplement +- Dk.: b, předp. že existují alespoň 2 komplementy pro b + - $b_{1}, b_{2} \quad \overline b_{1} = b, \overline b_{2} = b, b_{1} \neq b_{2}$ + - $b_{1} \wedge b = 0, b_{2} \wedge b = 0$ + - $b_{1} \vee b = 1, b_{2} \vee b = 1$ + - $b_{1} = b_{1} \wedge 1 = b_{1} \wedge (b_{2} \vee b) = (b_{1} \wedge b_{2}) \vee (b_{1} \wedge b) = b_{1} \wedge b_{2}$ + - $b_{2} = b_{2} \wedge 1 = \dots = b_{2} \wedge b_{1}$ + - $\implies b_{2} = b_{1}$ + +Věta (De Morganova) +- Boolova algebra $B = (B, \wedge, \vee)$ - distributivní komplementární svaz s 0, 1 + - $\forall x, y \in B : \overline{x \vee y} = \overline x \wedge \overline y$ + - $\overline{x \wedge y} = \overline x \vee \overline y$ +- Dk.: + - $(x \vee y) \wedge (\overline x \wedge \overline y) = (x \wedge \overline x \wedge \overline y) \vee (y \wedge \overline x \wedge \overline y) = 0 \vee 0 = 0$ + - $(x \vee y) \vee (\overline x \wedge \overline y) = (x \vee \overline x \vee \overline y) \wedge (y \vee \overline x \vee \overline y) = 1 \wedge 1 = 1$ + +Věta (Booleovský kalkulus) +- $B = (X, \wedge, \vee, \overline{}) \quad x, y, z \in X$ platí + 1) $x \vee x = x \quad$ idempotentnost + 2) $x \vee y = y \vee x \quad$ komutativita + 3) $(x \vee y) \vee z = x \vee (y \vee z) \quad$ asociativita + 4) $x \vee (x \wedge y) = x \quad$ absorbce + - D) $\quad x \wedge (y \vee z) = (x \wedge y) \vee (x \wedge z) \quad$ distributivita + - N1) 0, 1 neutrální prvky + 1) $x \vee 0 = x \qquad x \wedge 1 = x$ + 2) $x \vee 1 = 1 \qquad x \wedge 0 = 0$ + - K1) $\quad \overline 0 = 1 \qquad \overline 1 = 0$ + - K2) $\quad x \vee \overline x = 1 \qquad x \wedge \overline x = 0$ + - K3) $\quad \overline{\overline x} = x \quad$ involuformost + - K4) $\quad \overline{x \vee y} = \overline x \wedge \overline y \qquad \overline{x \wedge y} = \overline x \vee \overline y$ + +Stoneova věta +- Př. dělitelé čísla 30, uspořádání dělitelnosti + - $X = \{ 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 \}$ - B. algebra +- Př. $A = \{ a, b, c \}$M.2 and 2.5" Drive + - $(2^A, \leq)$ - B. algebra +- izomorfizmus dvou B. algeber + - $B = (X, \wedge, \vee, \overline{}, 0_{B}, 1_{B}), C = (Y, n, u, ', 0_{C}, 1_{C})$ je zobrazení $F : X \to Y$, které je + 1) bijekce + 2) F zachovává všechny operace + - $F(x \wedge y) = F(x) \, n \, F(y)$ + - $F(x \vee y) = F(x) \, u \, F(y)$ + - $F(\overline x) = F(x)'$ + - $F(0_{B}) = 0_{C}, F(1_{B}) = 1_{C}$ + +Věta (Stone) +- každá konečná Booleova algebra je izomorfní +- Booleově algebře $(2^X, \leq)$ pro nějakou množinu X +- $X = At(B) \quad$ X je množina atomů B +- Dk.: + - zobrazení $\Theta, b \in B$ + - $\Theta(b) = \{ x \mid x \leq b, x \text{ atom } B \}$ + - $b = 0 \quad \Theta(0) = \emptyset$ + - $\Theta$ je + - bijekce + - prosté (injektivní) + - na (surjektivní) + - zachování operace + - $\Theta$ injektivní $b_{1} \neq b_{2} \implies \Theta(b_{1}) \neq \Theta(b_{2})$ + - $b_{1} \neq b_{2} \implies b_{1} \not\leq b_{2} \text{ nebo } b_{2} \not\leq b_{1}$ + - nechť $b_{1} \not\leq b_{2} : b_{1} \wedge b_{2} \neq b_{1}, b_{1} = b_{1} \wedge 1 = b_{1} \wedge (b_{2} \vee \overline b_{2})$ + - $= (b_{1} \wedge b_{2}) \vee (b_{1} \wedge \overline b_{2}) \implies b_{1} \wedge \overline b_{2} \neq 0$ + - $\implies \exists \text{ atom } a \in B : a \leq b_{1}, a \not\leq b_{2}$ + - $\implies a \in \Theta(b_{1}) \wedge a \not\in \Theta(b_{2})$ + - $\Theta$ surjektivní