Úprava 8. a přidání 9. přednášky z DMA
This commit is contained in:
parent
10dccbe712
commit
f9167e6275
|
|
@ -47,4 +47,5 @@ Stromy
|
|||
|
||||
Kostry grafu
|
||||
- kostra grafu (souvislého) je libovolný faktor izomorfní se stromem
|
||||
- každý souvislý graf má kostru
|
||||
- Věta: každý souvislý graf má kostru
|
||||
- D: najdu kružnici - odstraním hranu - opakuji [reverzní mazací algoritmus]
|
||||
|
|
|
|||
|
|
@ -0,0 +1,102 @@
|
|||
**Vlastnosti souvislých grafů**
|
||||
- Věta: G je souvislý, m hran, n vrcholů, pak
|
||||
1) $m \geq n - 1$
|
||||
2) pokud $n \geq 2$, pak v G existuje $v, v \in V(G)$ tak, že $G \setminus u$ je souvislý, $G \setminus v$ je souvislý
|
||||
|
||||
**Orientované grafy**
|
||||
- Def: orientovaný graf je dvojice $G = (V, E)$, V je množina vrcholů, E je množina hran, $E \leq V \times V$
|
||||
- orientované grafy odpovídají binárním relacím
|
||||
|
||||
**Speciální grafy**
|
||||
- orientovaná cesta $P_{n}(\vec{P_{n}})$
|
||||
- cyklus $C_{n}(\vec{C_{n}})$
|
||||
|
||||
**Podgrafy a spol.**
|
||||
- G orientovaný graf
|
||||
- **podgraf**: $H \leq G : V(H) \leq V(G), E(G) \leq E(G)$
|
||||
- **indukovaný podgraf**: $H \leq G : V(H) \leq V(G), E(H) = E(G) \cap (V(H) \times V(H))$
|
||||
- **faktor**: $V(H) = V(G), E(H) \leq E(G)$
|
||||
- **vlastní faktor**: H je vl. faktor G : H je faktor $\wedge H \neq G$
|
||||
|
||||
**Symetrizace orientovaného grafu**
|
||||
- symetrizace H, or. graf G
|
||||
- z hran v G "odmažu" orientaci
|
||||
- smažu násobné hrany
|
||||
- smažu smyčku
|
||||
- $E(H) = \{ \{x, y\} | (x, y) \in E(G), x \neq y \}$
|
||||
- $V(H) = V(G)$
|
||||
- orientace neorientovaného grafu H - přiřaďme orientaci neorientovaným hranám
|
||||
- $2^n$ možných orientací
|
||||
- v orientaci neor. grafu nejsou smyčky ani prituchůdné hrany
|
||||
|
||||
**Okolí a stupně v orientovaných grafech**
|
||||
- G or. graf, $G = (V, E)$
|
||||
- $v \in V(G)$
|
||||
- $N^{out}(v) = \{ u \in V(G) \mid (v, u) \in E(G) \}$
|
||||
- vstupní okolí $N^+, N^-$
|
||||
- $N^{in}_{G}(v) = \{ u \in V(G) \mid (u, v) \in E(G) \}$
|
||||
- výstupní stupeň
|
||||
- $d^{out}_{G}(v) = \vert N^{out}(v) \vert$
|
||||
- vstupní stupeň
|
||||
- $d^{in}(v) = \vert N^{in}(v) \vert$
|
||||
- $\sum_{ n\in V(G)} d^{out}_{G}(v) = \sum_{n \in V(G)} d^{in}_{G}(v) = m$
|
||||
- m je # hran or. grafu
|
||||
- D: každá hrana započtena 1x
|
||||
|
||||
**Slabá souvislost** or. grafu G
|
||||
- Def: or. graf G je slabě souvislý, pokud je jeho symetrizace souvislá
|
||||
- $\to$ komponenty slabé souvislosti
|
||||
|
||||
**Orientované sledy, tahy a cesty**
|
||||
- **orientovaný sled** - posloupnost vrcholů $v_{1}, v_{2}, \dots, v_{l}$ tak, že $(v_{i}, v_{i+1}) \in E(G)$
|
||||
- **orientovaný tah** - neopakují se hrany
|
||||
- **orientovaná cesta** - neopakují se vrcholy
|
||||
- další 3 možné pohledy
|
||||
- uzavřený orientovaný sled - počáteční a koncový vrchol posloupnosti stejné
|
||||
- uzavřený orientovaný tah
|
||||
- cyklus (uz. or. cesta)
|
||||
- Def: orientovaný graf G je **silně souvislý**, pokud $\forall$ dvojice vrcholů $x, y \in V(G)$ platí, že v G $\exists$ orientovaný xy-sled (cesta) $\wedge \, \exists$ or. yx-sled (cesta)
|
||||
- nejkratší or. xy-sled je xy-cestou
|
||||
- Věta: G je or. graf, slabě souvislý
|
||||
- G je silně souvislé $\iff$ každá hrana je obsažena v nějakém cyklu
|
||||
|
||||
**Relace oboustranné dosažitelnosti**
|
||||
- or. G, $x, y \in V(G)$
|
||||
- relace ob. dosažitelnosti $x \sim y$, pokud $\exists$ or. xy-sled $\wedge \, \exists$ or. yx-sled
|
||||
- reflexivní
|
||||
- symetrická
|
||||
- tranzitivní - $x \sim y \wedge y \sim z \implies x \sim z$
|
||||
- je to ekvivalence
|
||||
- $\implies$ rozklad V(G) na třídy ekvivalence
|
||||
- silná komponenta - je podgraf indukovaný na třídě ekvivalence (maximální silně souvislý podgraf)
|
||||
|
||||
**Kondenzace** or. grafu G
|
||||
- $V_{C} =$ množina silných komponent G
|
||||
- $G_{C} = (V_{C}, E_{C})$
|
||||
- $Q_{1}Q_{2} \in E_{C}$, pokud v G $\exists \, x_{1} \in V(Q_{1}), \exists \, x_{2} \in V(Q_{2})$ tak, že $(x_{1}, x_{2}) \in E$
|
||||
|
||||
**Acyklické or. grafy**
|
||||
- or. graf bez cyklů
|
||||
- Acyklické grafy odpovídají POSETům
|
||||
- sledová relace [walk relation] $\quad x\sim y \quad x, y \in V(G)$, pokud $\exists$ or. xy-sled
|
||||
- reflexivní $x\sim y$ [sled nulové délky]
|
||||
- antisymetrická
|
||||
- tranzitivní
|
||||
- každý POSET odpovídá sledová relace nějakého acykl. grafu [bisekce]
|
||||
- minimální prvky $\quad d^{in}_{G}(v) = 0\quad$ - vstupní vrchol
|
||||
- maximální prvky $\quad d^{out}_{G}(v) = 0\quad$ - výstupní vrchol
|
||||
- každý podgraf acyklického grafu je acyklický [acyklicita je dědičná]
|
||||
- $\implies$ každý acyklický graf má topologické uspořádání vrcholů (odtrhávání vstupních vrcholů a jejich postupné číslování)
|
||||
- lineární (topologické) uspořádání
|
||||
- očíslování vrcholů ac. grafu tak, že $(i,j) \in E(G) \implies i < j$
|
||||
- or. graf G je acyklický $\iff$ vrcholy G lze lineárně uspořádat
|
||||
- Věta: G or. graf
|
||||
1) kondenzace $G^C$ je acyklická
|
||||
2) G je silně souvislý $\iff$ $G^C$ má jediný vrchol
|
||||
3) G acyklický $\iff G^C = G$
|
||||
|
||||
**Matice přířazené grafům** (or. & neor.)
|
||||
- Laplaceova matice L(G) neorientovaného grafu G řádu $n = \vert V(G) \vert$
|
||||
- redukovaná Laplaceova matice $L_{R}(G)$
|
||||
- vynecháním i-tého řádku a i-tého sloupce pro nějaké (pevné) i
|
||||
- Věta: počet různých koster neor. grafu G je roven $\det L_{R}(G)$
|
||||
Loading…
Reference in New Issue