From f9167e6275ccdb5d67cec0c49910e48145347011 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Filip Znachor Date: Fri, 21 Apr 2023 08:11:31 +0200 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?=C3=9Aprava=208.=20a=20p=C5=99id=C3=A1n=C3=AD?= =?UTF-8?q?=209.=20p=C5=99edn=C3=A1=C5=A1ky=20z=20DMA?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- KMA DMA/Prednaska08.md | 3 +- KMA DMA/Prednaska09.md | 102 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 2 files changed, 104 insertions(+), 1 deletion(-) create mode 100644 KMA DMA/Prednaska09.md diff --git a/KMA DMA/Prednaska08.md b/KMA DMA/Prednaska08.md index 4110511..92eb201 100644 --- a/KMA DMA/Prednaska08.md +++ b/KMA DMA/Prednaska08.md @@ -47,4 +47,5 @@ Stromy Kostry grafu - kostra grafu (souvislého) je libovolný faktor izomorfní se stromem -- každý souvislý graf má kostru \ No newline at end of file +- Věta: každý souvislý graf má kostru + - D: najdu kružnici - odstraním hranu - opakuji [reverzní mazací algoritmus] diff --git a/KMA DMA/Prednaska09.md b/KMA DMA/Prednaska09.md new file mode 100644 index 0000000..d227a9e --- /dev/null +++ b/KMA DMA/Prednaska09.md @@ -0,0 +1,102 @@ +**Vlastnosti souvislých grafů** +- Věta: G je souvislý, m hran, n vrcholů, pak + 1) $m \geq n - 1$ + 2) pokud $n \geq 2$, pak v G existuje $v, v \in V(G)$ tak, že $G \setminus u$ je souvislý, $G \setminus v$ je souvislý + +**Orientované grafy** +- Def: orientovaný graf je dvojice $G = (V, E)$, V je množina vrcholů, E je množina hran, $E \leq V \times V$ +- orientované grafy odpovídají binárním relacím + +**Speciální grafy** +- orientovaná cesta $P_{n}(\vec{P_{n}})$ +- cyklus $C_{n}(\vec{C_{n}})$ + +**Podgrafy a spol.** +- G orientovaný graf +- **podgraf**: $H \leq G : V(H) \leq V(G), E(G) \leq E(G)$ +- **indukovaný podgraf**: $H \leq G : V(H) \leq V(G), E(H) = E(G) \cap (V(H) \times V(H))$ +- **faktor**: $V(H) = V(G), E(H) \leq E(G)$ +- **vlastní faktor**: H je vl. faktor G : H je faktor $\wedge H \neq G$ + +**Symetrizace orientovaného grafu** +- symetrizace H, or. graf G +- z hran v G "odmažu" orientaci +- smažu násobné hrany +- smažu smyčku +- $E(H) = \{ \{x, y\} | (x, y) \in E(G), x \neq y \}$ +- $V(H) = V(G)$ +- orientace neorientovaného grafu H - přiřaďme orientaci neorientovaným hranám +- $2^n$ možných orientací +- v orientaci neor. grafu nejsou smyčky ani prituchůdné hrany + +**Okolí a stupně v orientovaných grafech** +- G or. graf, $G = (V, E)$ +- $v \in V(G)$ +- $N^{out}(v) = \{ u \in V(G) \mid (v, u) \in E(G) \}$ + - vstupní okolí $N^+, N^-$ +- $N^{in}_{G}(v) = \{ u \in V(G) \mid (u, v) \in E(G) \}$ +- výstupní stupeň + - $d^{out}_{G}(v) = \vert N^{out}(v) \vert$ +- vstupní stupeň + - $d^{in}(v) = \vert N^{in}(v) \vert$ +- $\sum_{ n\in V(G)} d^{out}_{G}(v) = \sum_{n \in V(G)} d^{in}_{G}(v) = m$ + - m je # hran or. grafu + - D: každá hrana započtena 1x + +**Slabá souvislost** or. grafu G +- Def: or. graf G je slabě souvislý, pokud je jeho symetrizace souvislá + - $\to$ komponenty slabé souvislosti + +**Orientované sledy, tahy a cesty** +- **orientovaný sled** - posloupnost vrcholů $v_{1}, v_{2}, \dots, v_{l}$ tak, že $(v_{i}, v_{i+1}) \in E(G)$ +- **orientovaný tah** - neopakují se hrany +- **orientovaná cesta** - neopakují se vrcholy +- další 3 možné pohledy + - uzavřený orientovaný sled - počáteční a koncový vrchol posloupnosti stejné + - uzavřený orientovaný tah + - cyklus (uz. or. cesta) +- Def: orientovaný graf G je **silně souvislý**, pokud $\forall$ dvojice vrcholů $x, y \in V(G)$ platí, že v G $\exists$ orientovaný xy-sled (cesta) $\wedge \, \exists$ or. yx-sled (cesta) + - nejkratší or. xy-sled je xy-cestou +- Věta: G je or. graf, slabě souvislý + - G je silně souvislé $\iff$ každá hrana je obsažena v nějakém cyklu + +**Relace oboustranné dosažitelnosti** +- or. G, $x, y \in V(G)$ +- relace ob. dosažitelnosti $x \sim y$, pokud $\exists$ or. xy-sled $\wedge \, \exists$ or. yx-sled + - reflexivní + - symetrická + - tranzitivní - $x \sim y \wedge y \sim z \implies x \sim z$ + - je to ekvivalence +- $\implies$ rozklad V(G) na třídy ekvivalence +- silná komponenta - je podgraf indukovaný na třídě ekvivalence (maximální silně souvislý podgraf) + +**Kondenzace** or. grafu G +- $V_{C} =$ množina silných komponent G +- $G_{C} = (V_{C}, E_{C})$ +- $Q_{1}Q_{2} \in E_{C}$, pokud v G $\exists \, x_{1} \in V(Q_{1}), \exists \, x_{2} \in V(Q_{2})$ tak, že $(x_{1}, x_{2}) \in E$ + +**Acyklické or. grafy** +- or. graf bez cyklů +- Acyklické grafy odpovídají POSETům +- sledová relace [walk relation] $\quad x\sim y \quad x, y \in V(G)$, pokud $\exists$ or. xy-sled + - reflexivní $x\sim y$ [sled nulové délky] + - antisymetrická + - tranzitivní +- každý POSET odpovídá sledová relace nějakého acykl. grafu [bisekce] +- minimální prvky $\quad d^{in}_{G}(v) = 0\quad$ - vstupní vrchol +- maximální prvky $\quad d^{out}_{G}(v) = 0\quad$ - výstupní vrchol +- každý podgraf acyklického grafu je acyklický [acyklicita je dědičná] +- $\implies$ každý acyklický graf má topologické uspořádání vrcholů (odtrhávání vstupních vrcholů a jejich postupné číslování) +- lineární (topologické) uspořádání + - očíslování vrcholů ac. grafu tak, že $(i,j) \in E(G) \implies i < j$ +- or. graf G je acyklický $\iff$ vrcholy G lze lineárně uspořádat +- Věta: G or. graf + 1) kondenzace $G^C$ je acyklická + 2) G je silně souvislý $\iff$ $G^C$ má jediný vrchol + 3) G acyklický $\iff G^C = G$ + +**Matice přířazené grafům** (or. & neor.) +- Laplaceova matice L(G) neorientovaného grafu G řádu $n = \vert V(G) \vert$ +- redukovaná Laplaceova matice $L_{R}(G)$ + - vynecháním i-tého řádku a i-tého sloupce pro nějaké (pevné) i +- Věta: počet různých koster neor. grafu G je roven $\det L_{R}(G)$ \ No newline at end of file