# Hodnost matice

- počet nenulových řádků matice

### Řádkový a sloupcový prostor matice

U matice A typu $m/n$ je
- lineární obal všech **řádkových vektorů** (řádků) nazýván **řádkovým prostorem** matice A;
- lineární obal všech **sloupcových vektorů** (sloupců) nazýván **sloupcovým prostorem** matice A.

Dimenzi řádkového nebo sloupcového prostoru nazveme **řádkovou (sloupcovou) hodností** matice A a značíme ji $hod^r(A)$ resp. $hod^s(A)$.

$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 5 \\
-2 & 3 & -4 \\
-1 & 5 & 1
\end{bmatrix} \space \begin{matrix}
\leftarrow r_{1} \\
\leftarrow r_{2} \\
\leftarrow r_{3}
\end{matrix}
$$

$$
M = \biggl\{ \begin{bmatrix}
1 \\
2 \\
5
\end{bmatrix}; \begin{bmatrix}
-2 \\
3 \\
-4
\end{bmatrix}; \begin{bmatrix}
-1 \\
5 \\
1
\end{bmatrix} \biggl\}
$$

- M generuje řádkový lineárně vektorový prostor matice A.
- M je LZ, neboť $r_3^T = r_1^T + r_2^T$, tedy $dim(M) < 3$.
- Ale $\{r_1^T, r_2^T\}$ je LN a tedy báze, proto $hod^R(A) = 2$.

Pro každou matici A platí, že
- **řádková hodnost** je rovna té **sloupcové**, takže $hod^r(A) = hod^s(A)$;
- **hodnost transponované** matice je rovna hodnosti původní matice, takže $hod(A) = hod(A^T)$.

**Hodností matice** A nazveme hodnotu $hod^r(A)$.

### Regulární matice

| vlastnost                                 | výraz                     |
| ----------------------------------------- | ------------------------- |
| její **hodnost** se rovná jejímu **řádu** | $hod(A) = n$              |
| má **nenulový determinant**               | $\det{A} \neq 0$          |
| **existuje** k ní **inverzní matice**     | $\text{existuje } A^{-1}$ |

Každou **regulární matici** lze řádkovými elementárními úpravami převést **na jednotkovou matici**.

### Singulární matice

| vlastnost                                  | výraz                       |
| ------------------------------------------ | --------------------------- |
| její **hodnost** je **menší než její řád** | $hod(A) < n$                |
| má **nulový determinant**                  | $\det{A} = 0$               |
| **neexistuje** k ní **inverzní matice**    | $\text{neexistuje } A^{-1}$ |

### Určení hodnosti pomocí determinantu

Determinant **trojúhelníkové matice** je roven **součinu prvků na hlavní diagonále**.

Determinant libovolné **čtvercové podmatice** řádu $m$ se nazývá **minorem řádu** $m$ matice A.

**Hodnost matice** $A$ je rovna **rozměru největšího nenulového subdeterminantu**.

Nechť A je matice. Potom je $hod(A) = m$ právě tehdy,
- když v A existuje **nenulový minor řádu** $m$
- a zároveň každý **minor řádu většího než** $m$ **je nulový**.

Nechť A je čtvercová řádu $n$. Potom $hod(A) = n$, **pokud se $\det(A)$ nerová 0**.
- **DK**: Podle předchozí věty je $hod(A) = n \iff$ v A existuje nenulový minor řádu $n$.
- Víme, že jedinému minoru řádu $n$ odpovídá celá matice A, tedy $hod(A) = n \iff \det(A)$ **se nerovná 0**.

### Inverzní matice

Inverzní matice $A^{-1}$ nemusí pro matici $A$ vždy existovat. Pokud ale existuje, je jednoznačně určená.
- $A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I$
- $(AB)^{-1} = A^{-1}B^{-1}$

Inverzní matice $A^{-1}$ k matici $A$ existuje pouze, pokud je matice $A$ regulární.

### Adjungovaná matice

Adjungovaná matice je matice $A^A$, která je poskládaná z algebraických doplňků, ale **transponovaně**.

#### Určení inverzní matice pomocí determinantů

Pokud je matice A regulární, je možné získat inverzní matici.

$\displaystyle A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot A^A$

![[_assets/inverzni-matice-determinant.jpg]]