# Souvislost orientovaného grafu

Pojmy **podgraf** a **indukovaný podgraf** jsou definovány stejně jako u neorientovaných grafů.

### Symetrizace orientovaného grafu

**Symetrizací orientovaného grafu** $\vec{G}$ nazveme neorientovaný graf $G$, kde $V(G) = V(\vec{G})$ a $E(G) = \left\{ \{ x, y \}; (x, y) \in E(\vec{G}) \right\}$.

Z orientovaného grafu můžeme snadno vyrobit neorientovaný graf tím, že "zapomeneme" orientaci všech hran. Případné smyčky odstraníme a násobné hrany nahradíme jednoduchými.

### Orientace neorientovaného grafu

**Orientací neorientovaného grafu** $G$ nazveme orientovaný graf $\vec{G}$ s $V(\vec{G}) = V(G)$ a pro každou hranu $e \in E(G)$ zvolíme v $\vec{G}$ jednu ze dvou možných orientací.

**Symetrickou orientací neorientovaného grafu** $G$ nazveme graf $\vec{G}_{s}$ takový, že $V(\vec{G}_{s}) = V(G)$ a $E(\vec{G}_{s}) = \left\{ (x, y), (y, x); \{ x, y \} \in E(G) \right\}$.
- vrcholy jsou stejné a hrany tohoto grafu jsou obousměrné (oběma směry)

## Okolí a stupně orientovaných grafů

Mějme orientovaný graf $\vec{G}$ a vrchol $v \in V(\vec{G})$.

**Vstupním okolím** vrcholu $x$ v $\vec{G}$ nazveme vrcholy $N^\text{in}(x) = \left\{ v \in V(\vec{G}) ; (v, x) \in H(\vec{G}) \right\}$.

**Výstupním okolím** vrcholu $x$ v $\vec{G}$ nazveme vrcholy $N^\text{out}(x) = \left\{ v \in V(\vec{G}) ; (x, v) \in H(\vec{G}) \right\}$.

**Vstupním stupněm vrcholu** $x$ nazveme číslo $d^\text{in}(x) = \vert N^\text{in}(x) \vert$.

**Výstupním stupněm vrcholu** $x$ nazveme číslo $d^\text{out}(x) = \vert N^\text{out}(x) \vert$.

Nechť $\vec{G}$ je orientovaný graf, potom
- $\displaystyle\sum_{v \in V(\vec{G})} d^\text{in}(v) = \sum_{v \in V(\vec{G})} d^\text{out}(v) = m$.
- V grafu je stejný počet vstupních hran jako výstupních (jen jsou u jiných vrcholů) a tvoří všechny hrany daného grafu.

## Slabá souvislost

Řekneme, že orientovaný graf $\vec{G}$ je (**slabě**) **souvislý**, je-li jeho symetrizace $G$ souvislý graf.

## Silná souvislost

Pro orientované grafy lze snadno upravit definice sledů, cest a kružnicí v grafu.

**Orientovaný sled** z vrcholu $x$ do vrcholu $y$ v orientovaném grafu $\vec{G}$
je posloupnost vrcholů $(x = v_{0}, v_{1}, \dots, v_{k} = y)$, ve které je pro každé $i = 1, \dots, k$
dvojice $v_{i−1}v_{i}$ hranou grafu $\vec{G}$.

**Orientovaná cesta** v $\vec{G}$ je orientovaný sled, který obsahuje každý vrchol nejvýše jednou.

Orientovaný graf $\vec{G}$ je **silně souvislý**, pokud v něm pro každou dvojici vrcholů $x, y$ existuje **orientovaná cesta** z $x$ do $y$ i orientovaná cesta z $y$ do $x$.

### Cyklus

**Cyklus** v $\vec{G}$ je orientovaný sled, ve kterém je $v_{0} = v_{k}$, tento vrchol je v něm obsažen právě dvakrát a všechny ostatní nejvýše jednou.

Graf $\vec{G}$ je silně souvislý právě tehdy, pokud je jeho každá hrana obsažena v nějakém cyklu.

Graf $\vec{G}$ je **acyklický**, jestliže $\vec{G}$ neobsahuje jako podgraf žádný cyklus.

## Relace oboustranné dosažitelnosti

Nechť $G$ je orientovaným grafem. Potom na vrcholech $x, y \in V(G)$ definujeme **relaci oboustranné dosažitelnosti** $x \sim y$, pokud v $G$ existuje orientovaná cesta z $x$ do $y$ i naopak.
- tato relace je
	- reflexivní
	- symetrická
	- tranzitivní - $x \sim y \wedge y \sim z \implies x \sim z$
	- je to ekvivalence
- $\implies$ rozklad V(G) na třídy ekvivalence

**Kvazikomponentou (silnou komponentou)** nazveme maximální silně souvislý podgraf grafu $\vec{G}$.
- jedná se o podgraf indukovaný na třídě ekvivalence
- dvě různé kvazikomponenty $\vec{G}$ nemají společný vrchol

![[_assets/kvazikomponenty.png]]

### Kondenzace

**Kondenzace orientovaného grafu** $G$ je orientovaný graf $G_{c}$, jehož vrcholy jsou kvazikomponenty grafu $G$, a pro různé kvazikomponenty $Q_{1}, Q_{2} \in V(G_{c})$ platí:
- $Q_{1}Q_{2} \in E(G_{c})$, pokud pro nějaké $x_{1} \in V(Q_{1}), x_{2} \in V(Q_{2})$ je $x_{1}x_{2} \in E(G)$.