# Mirskyho a Dilworthova věta

**Věta** (Dilworthova)
- Nechť $\mathcal P = (X, P)$ POSET a $\text{width}(\mathcal P) = w$. Pak existuje rozklad množiny $X, X = C_{1} \cup C_{2} \cup \dots \cup C_{w}$, kde $C_{i}, i = 1 \dots, w$ je řetězec. Navíc, neexistuje rozklad množiny $X$ na méně než $w$ řetězců.

**Věta** (Mirskyho, duální Dilworthova)
- Nechť $\mathcal P = (X, P)$ POSET a $\text{height}(\mathcal P) = h$. Pak existuje rozklad množiny $X, X = A_{1} \cup A_{2} \cup \dots \cup A_{h}$, kde $A_{i}, i = 1\dots,h$ je antiřetězec. Navíc, neexistuje rozklad množiny $X$ na méně než $h$ antiřetězců.