## Množiny - soubor vzájemně různých prvků (naivní reorie množin) $A, B, X; a \in A, a \notin A, A \ni a$ Možinové operace - $A \cup B = \{ u \mid w \in A \vee u \in B \}$ - $A \cap B$ - $A \setminus B$ de Morganovy zákony - $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$ Rovnost dvou množin - $A = B \iff A \leq B \wedge B \leq A$ Kartézský součin množin - $A \cdot B = \{ (a, b) \mid a \in A \wedge b \in B \}$ - $B \cdot A = \{ (b,a) \mid b \in B \wedge a \in A \}$ - $A_{1}\cdot A_{2}\cdot\dots \cdot A_{n} = \{ (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}) \mid a_{i} \in A_{i} \, \forall \, i = 1, \dots, n \}$ Základní množiny číselné - $\mathbb{N}, \mathbb{N}_{0}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}$ ## Funkce $F : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ (reálné funkce reálné proměnné) $y = e^x$ (exponenciela) - důležitá funkce v DMA - def. obor $\mathbb{R}$ - obor hodnot $(0, +\infty)$ - $y' = e^x$ - $\displaystyle e^x = \sum \frac{x^n}{n!}$ - $1 + x \leq e^x$ ## Zobrazení $F : A \to B$ - $\forall \, a \in A \quad \exists \text{ nejvýše 1 } b \in B$ ## Relace Binární relace z množina A do množiny B - $\rho \leq A \times B$ n-ární relace $A_{1}, \dots, A_{n} \quad \rho \leq A_{1} \times \dots \times A_{n}$ Příklad - dělitelnost na $\mathbb{N} \dots \varrho$ - $a, b \in \mathbb{N} \quad a \, \rho \, b \iff a \mid b$ - relace rovnoběžnosti: $R^2$ přímky - $p \, \rho \, q \iff p \Vert q$ ### Obory - levý obor relace ... zobecnění definičního oboru - pravý obor relace ... zobecnění oboru hodnot Definice - $\varrho \leq A \times B$ - levý obor: $L_{\rho} = \{ a \in A \mid \exists \, b \in B : (a, b) \in \rho \}$ nebo $a \, \rho \, b$ - pravý obor: $R_{\rho} = \{ b \in B \mid \exists \, a \in A : (a, b) \in \rho \}$ nebo $a \, \rho \, b$ Příklad - $X = \{ 2, 3, 5 \} \quad Y = \{ 1, 4, 7, 10 \}$ - $\rho \leq X \times Y, \quad x \, \rho \, y \iff x \mid y$ - $\rho = \{ (2, 4), (2, 10), (5, 10) \}$ - $L_{\rho} = \{ 2, 5 \}$ - $P_{\rho} = \{ 4, 10 \}$ ### Operace s relacemi - průnik, sjednocení, ... - $\rho_{1}, \rho_{2} \leq Y \times X \qquad \rho_{1} \leq \rho_{2} \quad \rho_{1} \text{ implikuje } \rho_{2}$ Př. $X, Y$ množina osob - $\rho_{1} x \text{ si tyká s } y$ - $\rho_{2} x \text{ zná } y$ - $\rho_{1} \leq \rho_{2}$ ### Skládání relací (jako skládání funkcí) - $\rho_{1} \leq X \times Y, \quad \rho_{2} \leq Y \times Z$ - $\rho_{1} \circ \rho_{2} = \{ (x, z) \mid x \in X, z \in Z, \exists \, y \in Y : x \, \rho_{1} \, y \wedge y \, \rho_{2} \, z \}$ - obecně nekomutativní, asociativní Věta o asociativitě skládání - $X, Y, Z, W, \quad \rho_{1} \leq X \times Y, \quad \rho_{2} \leq Y \times Z, \quad \rho_{3} \leq Z \times W$, pak platí $\rho_{1} \circ (\rho_{2} \circ \rho_{3}) = (\rho_{1} \circ \rho_{2}) \circ \rho_{3}$ Dk: $x \, [\rho_{1} \circ (\rho_{2} \circ \rho_{3})] \, w$ - $\exists \, y \in Y : x \, \rho_{1} \, y \wedge y \, (\rho_{2} \circ \rho_{3}) \, w$ - $\exists \, z \in Z : x \, \rho_{2} \, z \wedge z \, \rho_{3} \, w$ - $\implies \exists \, y \in Y \exists z \in Z : x \rho_{1} y \wedge y \rho_{2} z \wedge z \rho_{3} w$ - $\implies x \, [(\rho_{1} \circ \rho_{2}) \circ \rho_{3}] \, w$ ### Relace na množině $\rho \leq X \times X$ Př. - a) dělitelnost $\mathbb{N}$ - $a \, \rho \, b \iff a \mid b \quad \rho \leq \mathbb{N} \times \mathbb{N}$ - $a \, \rho \, a \quad a \mid a \quad \forall \, a \in \mathbb{N} : a \mid a$ - reflexivita - $a \, \rho \, b \wedge b \, \rho \, a \quad \forall \, a \in \mathbb{N} : a \mid b \wedge b \mid a \implies a = b$ - slabá antisymetrie - $a \, \rho \, b \wedge b \, \rho \, c \quad \forall \, a, b, c \in \mathbb{N} : a \mid b \wedge b \mid c \implies a \mid c$ - tranzitivita - b) inkluze - $A \, \rho \, B \iff A \subseteq B$ - $\forall \, A \in X \quad A \subseteq A$ - reflexivní - $\forall \, A, B \in X \quad A \subseteq B \wedge B \subseteq A \implies A = B$ - slabě antisymetrická - $\forall \, A, B, C \in X \quad A \subseteq B \wedge B \subseteq C \implies A \subseteq C$ - tranzitivní - c) $\leq R \quad$ - $\forall \, a \in \mathbb{R} : a \leq a$ - reflexivní - $\forall \, a, b \in \mathbb{R} : a \leq b \wedge b \leq a \implies a = b$ - slabě antisymetrická - $\forall \, a, b, c \in \mathbb{R} : a \leq b \wedge b \leq c \implies a \leq c$ - tranzitivní - $< \mathbb{R} \quad \forall \, a, b \in \mathbb{R} : a < b \implies b \cancel{\lt} a$ - silná antisymetrie Vlastnosti - $\rho \leq X \times X$ - $\rho$ reflexivní, pokud $\forall \, a \in X : a \, \rho \, a$ - $\rho$ slabě antisymetrická, pokud $\forall \, a, b \in X : a \, \rho \, b \wedge b \, \rho \, a \implies a = b$ - $\rho$ silně antisymetrická, pokud $\forall \, a, b \in X : a \, \rho \, b \wedge b \, \cancel\rho \, a$ - $\rho$ symetrická, pokud $\forall \, a, b \in X : a \, \rho \, b \wedge b \, \rho \, a$ - $\rho$ tranzitivní, pokud $\forall \, a, b, c \in X : a \, \rho \, b \wedge b \, \rho \, c \implies a \, \rho \, c$ - $\rho$ ekvivalentní, pokud $\rho$ je reflexivní, symetrická a tranzitivní - $\rho$ tolerantní, pokud $\rho$ je reflexivní a symetrická Třídy ekvivalence - Př. Matice řádu $n$ ... $A \, \rho \, B \iff hod A = hod B$ ### Rozklad množiny $X, \{ B_{i} \}_{i \in I}$ 1) $B_{i} \neq \emptyset \quad \forall \, i \in I$ 2) $B_{i} \cap B_{j} = \emptyset \quad \forall \, i \neq j$ 3) $\cup_{i\in I} \, B_{i} = X$ mezi ekvivalencí a rozklady existuje vzájemně jednoznačný vztah - bijekce [?] kolik existuje rozkladů n-prvkové množiny --- ## Rekurentní počítání - Př. (Fibonacciho čísla) - 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... - Jak zjistit 1000. člen? - $F_{n} = F_{n-1} + F_{n-2}, \quad F_{1} = 1, F_{2} = 1$ - $F_n$ jako funkce n? - $F_{n-1} = F_{n-1}$ - $f_{n} = (F_{n}, F_{n-1})^T, \quad f_{n-1} = (F_{n-1}, F_{n-2})^T$ - $F_{n} = \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix} f_{n-1} = \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}^2 f_{n-2} = \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}^{n-1} f_{1}$ - $A = \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}$ - $f_{n} = A \cdot f_{n-1}$ - $A = T \cdot J \cdot T^{-1}$ - $A^n = T \cdot J^n \cdot T^{-1} = T \cdot J^n \cdot T^{-1} \cdot T \cdot J^n \cdot T^{-1} \cdot \dots \cdot T \cdot J^n \cdot T^{-1}$