Booleova algebra - distributivní a komplementární svaz - má 0 (nejmenší prvek) a 1 (největší prvek) - ? struktura konečných B. algeber - atom B. algebry $B = (X, \wedge, \vee, \overline{}, 0, 1)$ - prvek $a \in X$ se nazývá atom B. algebry B, pokud - $\forall \, x \in X: x \wedge a = 0$ nebo $x \wedge a = a$ - Pozorování: X konečné : atom je takový prvek, jehož bezprostřední předchůdce je 0 - jinak řečeno: výška atomu je 2 - Tvrzení: $B = (X, \wedge, \vee, \overline{}, 0, 1)$ je konečná B. algebra, $x \in X$, $x \neq 0$, pak - $x = a_{1} \vee a_{2} \vee \dots \vee a_{k}$ - $a_{i}$ jsou atomy B. algebry t. ž. $a_{i} \leq x$ - a zároveň v $\{ a_{1}, \dots, a_{k} \}$ jsou obsaženy všechny atomy $\leq x$ - Dk.: $a_{i}, i = 1, \dots, k$ atomy $\leq x$ nechť $\exists$ atom a $a \leq x$, který ve spojení chybí $a = a \wedge x = a \wedge (a_{1} \vee a_{2} \vee \dots \vee a_{k}) = (a \wedge a_{1}) \vee (a \wedge a_{2}) \vee \dots \vee (a \wedge a_{k})$ - $a_{i} \vee a_{2} \vee \dots \vee a_{k} \leq x$ - pokud $a \wedge a_{1} = 0 = a \wedge a_{2} = \dots = a \wedge a_{k}$, pak $a = 0$ - $\implies \exists \, i : a \wedge a_{i} \neq 0$ - $a \wedge a_{1} = a = a_{1}$ spor Věta (Minsky) - $P = (X, P), height(P) = h$ - pak $\exists$ rozklad $X = A_{1} \cup \dots \cup A_{h}$, kde $A_{i}$ je antiřetězec - $i = 1, \dots, h$ - navíc: neexistuje rozklad na méně než h antiřetězců - Dk.: - $x \in X$, výška prvku x: $height(x)$ = největší t t. ž. existuje řetězec $x_{1} < \dots < x_{t-1} < x_{t} = x$ - $A_{i} = \{ x \in X \mid height(x) = i \}$, jsou to antiřetězce: $x, y \in A_{i}$ - $x_{1} < \dots < x_{i} = x < y = x_{i+1} \implies$ výška y alespoň $i+1$ - spor s $y \in A_{i}$ - sporem nechť $x \neq y$, předpokládám $x < y$ - lépe to nejde: - $height(P) = h \implies \exists$ řetězec na h prvkách - $C = \{ x_{1}, \dots, x_{h} \}$ - nechť $\exists$ rozklad na méně než h antiřetězců - $t < h$ - Dirichletův přihrádkový princim h prvků do $t < h$ přihrádek Tvrzení - v lib. distributivním s vazu $(X, \leq)$ platí duální distributivní zákon - $x \vee (y \wedge z) = (x \vee y) \wedge (x \vee z) \quad \forall \, x, y, z \in X$ - původní d. z. $a \wedge (b \vee c) = (a \wedge b) \vee (a \wedge c) \quad \forall \, a, b, c \in Y, (Y, \leq)$ svaz - Dk.: - předpokládejme že platí - $a \wedge (b \vee c) = (a \wedge c) \vee (a \wedge c)$ - $a = x \vee y, b = x, c = z$ - $(x \vee y) \wedge (x \vee z) = ((x \vee y) \wedge x) \vee ((x \vee y) \wedge z)$ - $= [(x \wedge x) \vee (x \wedge y)] \vee [(x \wedge z) \vee (y \wedge z)]$ - $= [x \vee (x \wedge y)] \vee [(x \wedge z) \vee (y \wedge z)]$ - $= x \vee (x \wedge z) \vee (y \wedge z)$ - $= x \vee (y \wedge z)$ Motivace komplement - doplněk množin - $A^{\subset} = X \setminus A$ - $A \cap A^{\subset} = \emptyset$ - $A \cup A^{\subset} = X$ - $\overline a = b, c$ - $a \wedge c = 0$ - $a \vee c = 1$ Věta - je-li svaz distributivní komplementní, pak každý prvek má právě 1 komplement - Důsledek: distrib. svaz, pak každý prvek má nejvýše 1 komplement - Dk.: b, předp. že existují alespoň 2 komplementy pro b - $b_{1}, b_{2} \quad \overline b_{1} = b, \overline b_{2} = b, b_{1} \neq b_{2}$ - $b_{1} \wedge b = 0, b_{2} \wedge b = 0$ - $b_{1} \vee b = 1, b_{2} \vee b = 1$ - $b_{1} = b_{1} \wedge 1 = b_{1} \wedge (b_{2} \vee b) = (b_{1} \wedge b_{2}) \vee (b_{1} \wedge b) = b_{1} \wedge b_{2}$ - $b_{2} = b_{2} \wedge 1 = \dots = b_{2} \wedge b_{1}$ - $\implies b_{2} = b_{1}$ Věta (De Morganova) - Boolova algebra $B = (B, \wedge, \vee)$ - distributivní komplementární svaz s 0, 1 - $\forall x, y \in B : \overline{x \vee y} = \overline x \wedge \overline y$ - $\overline{x \wedge y} = \overline x \vee \overline y$ - Dk.: - $(x \vee y) \wedge (\overline x \wedge \overline y) = (x \wedge \overline x \wedge \overline y) \vee (y \wedge \overline x \wedge \overline y) = 0 \vee 0 = 0$ - $(x \vee y) \vee (\overline x \wedge \overline y) = (x \vee \overline x \vee \overline y) \wedge (y \vee \overline x \vee \overline y) = 1 \wedge 1 = 1$ Věta (Booleovský kalkulus) - $B = (X, \wedge, \vee, \overline{}) \quad x, y, z \in X$ platí 1) $x \vee x = x \quad$ idempotentnost 2) $x \vee y = y \vee x \quad$ komutativita 3) $(x \vee y) \vee z = x \vee (y \vee z) \quad$ asociativita 4) $x \vee (x \wedge y) = x \quad$ absorbce - D) $\quad x \wedge (y \vee z) = (x \wedge y) \vee (x \wedge z) \quad$ distributivita - N1) 0, 1 neutrální prvky 1) $x \vee 0 = x \qquad x \wedge 1 = x$ 2) $x \vee 1 = 1 \qquad x \wedge 0 = 0$ - K1) $\quad \overline 0 = 1 \qquad \overline 1 = 0$ - K2) $\quad x \vee \overline x = 1 \qquad x \wedge \overline x = 0$ - K3) $\quad \overline{\overline x} = x \quad$ involuformost - K4) $\quad \overline{x \vee y} = \overline x \wedge \overline y \qquad \overline{x \wedge y} = \overline x \vee \overline y$ Stoneova věta - Př. dělitelé čísla 30, uspořádání dělitelnosti - $X = \{ 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 \}$ - B. algebra - Př. $A = \{ a, b, c \}$M.2 and 2.5" Drive - $(2^A, \leq)$ - B. algebra - izomorfizmus dvou B. algeber - $B = (X, \wedge, \vee, \overline{}, 0_{B}, 1_{B}), C = (Y, n, u, ', 0_{C}, 1_{C})$ je zobrazení $F : X \to Y$, které je 1) bijekce 2) F zachovává všechny operace - $F(x \wedge y) = F(x) \, n \, F(y)$ - $F(x \vee y) = F(x) \, u \, F(y)$ - $F(\overline x) = F(x)'$ - $F(0_{B}) = 0_{C}, F(1_{B}) = 1_{C}$ Věta (Stone) - každá konečná Booleova algebra je izomorfní - Booleově algebře $(2^X, \leq)$ pro nějakou množinu X - $X = At(B) \quad$ X je množina atomů B - Dk.: - zobrazení $\Theta, b \in B$ - $\Theta(b) = \{ x \mid x \leq b, x \text{ atom } B \}$ - $b = 0 \quad \Theta(0) = \emptyset$ - $\Theta$ je - bijekce - prosté (injektivní) - na (surjektivní) - zachování operace - $\Theta$ injektivní $b_{1} \neq b_{2} \implies \Theta(b_{1}) \neq \Theta(b_{2})$ - $b_{1} \neq b_{2} \implies b_{1} \not\leq b_{2} \text{ nebo } b_{2} \not\leq b_{1}$ - nechť $b_{1} \not\leq b_{2} : b_{1} \wedge b_{2} \neq b_{1}, b_{1} = b_{1} \wedge 1 = b_{1} \wedge (b_{2} \vee \overline b_{2})$ - $= (b_{1} \wedge b_{2}) \vee (b_{1} \wedge \overline b_{2}) \implies b_{1} \wedge \overline b_{2} \neq 0$ - $\implies \exists \text{ atom } a \in B : a \leq b_{1}, a \not\leq b_{2}$ - $\implies a \in \Theta(b_{1}) \wedge a \not\in \Theta(b_{2})$ - $\Theta$ surjektivní