FAV-ZCU/KMA LAA/10. Kvadratické formy.md

Kvadratické formy

Kvadratická forma

• matice A je reálná symetrická matice řádu n
• kvadratická forma určená maticí A je zobrazení \kappa(\vec{x}) = \vec{x}^{T}A\vec{x}
• Nechť A je reálná symetrická matice. Potom
  1. všechna vlastní čísla matice A jsou reálná;
     • DK: Nechť \lambda \in \mathbb{C} je vlastním číslem matice A s vl. vektorem \vec{u}. Tedy A \cdot \vec{u} = \lambda \cdot \vec{u}.
     • platí:

         \vec{u}^T \cdot A \cdot \overline{\vec{u}} = \vec{u}^T \cdot (A \cdot \overline{\vec{u}}) = \vec{u}^T \cdot (\overline{A} \cdot \overline{\vec{u}}) = \vec{u}^T \cdot \overline{\lambda} \cdot \overline{\vec{u}} = \overline{\lambda} \cdot \vec{u}^T \cdot \overline{\vec{u}} = \overline{\lambda} \cdot (\vec{u}, \overline{\vec{u}})

         \vec{u}^T \cdot A \cdot \overline{\vec{u}} = \vec{u}^T \cdot A^T \cdot \overline{\vec{u}} = (A \cdot \vec{u})^T \cdot \overline{\vec{u}} = (\lambda \cdot \vec{u})^T \cdot \overline{\vec{u}} = \lambda \cdot \vec{u}^T \cdot \overline{\vec{u}} = \lambda \cdot (\vec{u}, \overline{\vec{u}})

         \implies \lambda = \overline{\lambda} \implies \lambda \in \mathbb{R} \qquad \vec{u} \neq \vec{o}

  2. ke každému vlastnímu číslu existuje reálný vlastní vektor;
     • DK: A- \lambda I je reální singulární \implies \exists nenulové reálné řešení
  3. vlastní vektory příslušející různým vlastním číslům jsou ortogonální.
     • DK: Nechť \lambda_{1}, \lambda_{2} jsou různá vl. čísla s vl. vektory \vec{u}_{1}, \vec{u}_{2}.
     • platí:

         \vec{u}_{1}^T \cdot A \cdot \vec{u}_{2} = \vec{u}_{1}^T \cdot \lambda_{2} \cdot \vec{u}_{2} = \lambda_{2} \cdot \vec{u}_{1}^T \cdot \vec{u}_{2} = \lambda_{2} \cdot (\vec{u}_{1}, \vec{u}_{2})

         \vec{u}_{1}^T \cdot A \cdot \vec{u}_{2} = \vec{u}_{1}^T \cdot A^T \cdot \vec{u}_{2} = (A \cdot \vec{u}_{1})^T \cdot \vec{u}_{2} = \lambda_{1} \cdot \vec{u}_{1}^T \cdot \vec{u}_{2} = \lambda_{1} \cdot (\vec{u}_{1}, \vec{u}_{2})

         \text{protože } \lambda_{1} \neq \lambda_{2} \implies (\vec{u}_{1}, \vec{u}_{2}) = 0 \implies \vec{u}_{1} \perp \vec{u}_{2}

• Reálná symetrická matice A řádu n má n ortogonálních reálných vlastních vektorů.

Zákon setrvačnosti kvadratických forem

• Je-li kvadratická forma na \mathbb{R}^n vyjádřena dvěma způsoby jako lineární kombinace čtverců souřadnic vzhledem ke dvěma bázím, pak v obou vyjádřeních je stejný počet kladných, záporných i nulových koeficientů.
  • 2x^2 + 2y^2 = (x+y)^2 + (x-y)^2

Inercie kvadratické formy

• Nechť \kappa(\vec{x}) = \vec{x}^{T}A\vec{x} je kvadratická forma, A reálná symetrická matice. Označme
  • k - počet kladných vlastních čísel matice A (vč. násobností);
  • z - počet záporných vlastních čísel matice A;
  • d - počet nulových vlastních čísel matice A.
• Trojici čísel (k, z, $d$) nazýváme inercií kvadratické formy.
• značíme in(\kappa) = (k, z, d)

Druhy inercií

Řekněme, že kvadratická forma \kappa(\vec{x}) na \mathbb{R}^n je

typ	jestliže
pozitivně definitní	in(\kappa) = (k, 0, 0)
negativně definitní	in(\kappa) = (0, z, 0)
pozitivně semidefinitní	in(\kappa) = (k, 0, d), d > 0
negativně semidefinitní	in(\kappa) = (0, z, d), d > 0
indefinitní	in(\kappa) = (k, z, d), k > 0, z > 0
pozitivně i negativně semidefinitní	in(\kappa) = (0, 0, d)

Hlavní minory

• Nechť A = [a_{ij}] je reálná symetrická matice řádu n a A_k je její podmatice obsahující prvky a_{11}, a_{12}, \dots, a_{kk}. Potom číslo \det(A_k) nazveme hlavním minorem matice A řádu k a značí se \Delta _{k}.

Definitnost kvadratické formy (Sylvesterovo kriterium)

• Nechť A je reálná symetrická matice řádu n s hlavními minory \Delta _{1}, \Delta _{2}, \dots, \Delta _{n} \neq 0.
• Kvadratická forma \kappa(\vec{x}) = \vec{x}^{T}A\vec{x} je pozitivně definitní, jestliže \Delta _{i} > 0 pro každé i z \{1, 2, \dots, n\}.
• Kvadratická forma \kappa(\vec{x}) = \vec{x}^{T}A\vec{x} je negativně definitní, jestliže \Delta _{i} > 0 pro každé i z \{1, 2, \dots, n\} sudé a \Delta _{i} < 0 pro každé i z \{1, 2, \dots, n\} liché.