FAV-ZCU/KMA LAA/2. Matice.md

Matice

Maticí typu m/n nazveme soubor (tabulku) m x n prvků (čísel) a_{ij} zapsaných do m řádků a n sloupců.

značení	význam
(i, j)	pozice v matici
a_{ij}	prvek na pozici (i, j)
i	řádkový index
a_{kk}	diagonální prvek matice
m/n	typ matice: m řádků, n sloupců

Názvy matic

Tvarové

• Čtvercová matice
  • mají stejný počet řádků a sloupců
• Obdélníková matice
  • rozdílný počet řádků a sloupců
• $m$-složkový sloupcový vektor
  • matice typu m/1 (jeden sloupec)
• $n$-složkový řádkový vektor
  • matice typu 1/n (jeden řádek)

Další

• Nulová matice
  • matice typu m/n plná nul, značíme 0
  • A_{ij} = 0

    \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

• Diagonální matice
  • čtvercová matice s nenulovými čísly pouze na hlavní diagonále
  • pro i \neq j : A_{ij} = 0

    diag\{1, -3, 0\} = A = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

• Jednotková matice
  • diagonální matice s 1 na hlavní diagonále
  • pro i \neq j : a_{ij} = 0, a_{ii} = 1

    I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

• Symetrická matice
  • čtvercová matice, kde se a_{ij} rovná a_{ji}
  • \forall i, j : a_{ij} = a_{ji}

    A_{1} = \begin{bmatrix} 1 & \underline{2} & \underline{1} \\ \underline{2} & 1 & \underline{0} \\ \underline{1} & \underline{0} & 3 \end{bmatrix}

• Antisymetrická matice
  • čtvercová matice, kde se a_{ij} rovná -a_{ji}
  • na hlavní diagonále musí mít nuly, protože 0 = -0
  • \forall i, j : a_{ij} = -a_{ji}

    A_{2} = \begin{bmatrix} 0 & \underline{2} & \underline{-1} \\ \underline{-2} & 0 & \underline{3} \\ \underline{1} & \underline{-3} & 0 \end{bmatrix}

  • Poznámka: V antisymetrické matici jsou všechny prvky a_{ii} = 0
• Horní a dolní trojúhelníková matice
  • Pro H platí pro všechna i > j, že a_{ij} = 0
  • Pro D platí pro všechna i < j, že a_{ij} = 0

    H = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} \quad D = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}

Operace

• Rovnost
  • A = B pokud všechny a_{ij} = b_{ij}
• Opačná matice
  • matice [-a_{ij}] značená -A je opačná matice k matici A
• Transponovaná matice
  • matice a_{ji} typu n/m značená A^T je transponovaná k matici a_{ij} typu m/n značené A

    A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ \ \ A^T = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}

  • z toho plyne:
    • A je symetrická, právě když A = A^T
    • A je antisymetrická, právě když A = -A^T
    • (A^T)^T = A
• Sčítání a odčítání
  • sčítáme/odčítáme prvky na stejných pozicí
• Násobení konstantou
  • vynásobíme všechny členy konstantou
• Násobení dvou matic
  • nekomutativní
  • pouze když násobíme matici A_{m/\underline{n}} maticí B_{\underline{n}/p}
  • výsledná matice bude C_{m/p}

Pivot

Pivotem v řádku i je první nenulové číslo v tomto řádku zleva.

Matice ve stupňovitém tvaru

Matice A, kde pro každý řádek platí:

1. Je-li v $i$-tém řádku pivot na pozici j, ve všech dalších řádcích je na pozici j' > j.
2. Je-li řádek nulový, každý další je také nulový.